從分散建模走向整體建模

張衛(wèi)星

2015年9月，我參加了浙江省信息技術(shù)應(yīng)用提升工程培訓(xùn)，選擇的項(xiàng)目是小學(xué)數(shù)學(xué)交互式教學(xué)的初級(jí)水平。根據(jù)要求，我校至少要有一位數(shù)學(xué)教師拍攝40分鐘的教學(xué)視頻。由于我調(diào)到白塔二小擔(dān)任分管教學(xué)副校長(zhǎng)不足三個(gè)月，為了營(yíng)造教研氛圍，我決定承擔(dān)40分鐘的教學(xué)視頻這一任務(wù)。選什么內(nèi)容呢？我思索了好幾天，最后確定執(zhí)教人教版五年級(jí)上冊(cè)的《植樹問(wèn)題》第一課時(shí)。

《植樹問(wèn)題》我在2008年11月就上過(guò)。當(dāng)初我是采用分散建模教學(xué)的，在教學(xué)時(shí)做了兩個(gè)處理：一是對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了簡(jiǎn)化。關(guān)于一條線段的植樹問(wèn)題有三種情形，但我為了突出基本模型的構(gòu)建，只教學(xué)了一種情形——兩端都種。這樣，學(xué)生就有了足夠的時(shí)間和空間進(jìn)行建模體驗(yàn)。二是充實(shí)建模過(guò)程。為了讓學(xué)生真正理解植樹問(wèn)題的基本模型，我把建模過(guò)程分成八小步進(jìn)行，即：創(chuàng)設(shè)原型，理解間隔與間隔數(shù)；解讀問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息；教師模擬栽樹；學(xué)生第一次利用泡沫和牙簽?zāi)M栽樹；學(xué)生利用畫線段圖的方式第二次模擬栽樹；學(xué)生第三次模擬栽樹；信息匯總，植樹問(wèn)題基本模型水到渠成；解釋植樹模型中“1”的含義。

七年后重新執(zhí)教這一課，我不可能重走老路。七年前我也曾想過(guò)用整體建模來(lái)教學(xué)這一課，但自己說(shuō)服不了自己，最終選擇了分散建模。七年后，我的經(jīng)歷更加豐富，理應(yīng)給自己一個(gè)挑戰(zhàn)。于是，我決定用整體建模的策略演繹這一課。

一、紙上談兵——預(yù)設(shè)整體建模思路

整體思路已定，如何展開(kāi)？我又陷入了沉思。如果在一節(jié)課內(nèi)同時(shí)構(gòu)建植樹問(wèn)題的三種基本模型，肯定要?jiǎng)?chuàng)設(shè)一個(gè)集中的探究平臺(tái)。而要讓這個(gè)探究平臺(tái)有效，只能選擇一種模擬植樹的方法，否則時(shí)間無(wú)法保證。經(jīng)再三斟酌，決定采用畫線段圖的方式進(jìn)行模擬植樹。而要讓學(xué)生經(jīng)歷畫線段圖的模擬過(guò)程，又必須要解決間隔、間隔數(shù)、棵數(shù)等基本概念，還要讓學(xué)生事先感受三種植樹類型的特征。經(jīng)過(guò)這樣一個(gè)層次一個(gè)層次的推考，整體建模的思路就理順了。

二、牛刀小試——檢驗(yàn)預(yù)設(shè)是否可行

事先預(yù)設(shè)思路是否可行，終究要經(jīng)過(guò)課堂檢驗(yàn)。于是，第一次試教便開(kāi)始了。當(dāng)教學(xué)進(jìn)行到學(xué)生畫線段圖探索三種植樹規(guī)律時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生的思維出現(xiàn)混亂，找到的植樹規(guī)律偏差較大。這樣一來(lái)，筆者只能一個(gè)模型一個(gè)模型輪流著導(dǎo)過(guò)去，結(jié)果得出三個(gè)模型后，下課鈴就響了。

事先我已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生解讀過(guò)棵數(shù)、間隔數(shù)，也示范過(guò)畫線段圖，為什么還會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢？我百思不得其解，只得私下向幾個(gè)學(xué)生進(jìn)行了解，原因漸漸明朗，經(jīng)梳理主要有兩個(gè)：一個(gè)是學(xué)生不知道如何畫線段圖，不知道該畫幾個(gè)間隔。另一個(gè)是學(xué)生不知道在一端栽一端不栽和兩端不栽的情況下，棵數(shù)和間隔數(shù)如何確定。

既然找到原因，就要想辦法去破解。針對(duì)第一個(gè)原因，我專門做了一張動(dòng)態(tài)模擬畫線段圖的幻燈片，到時(shí)讓學(xué)生模仿著畫。針對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，我在教學(xué)植樹三種情況時(shí)，就讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)間隔數(shù)和棵數(shù)的過(guò)程，讓學(xué)生明白其中的奧秘?？梢?jiàn)，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的手段！只有經(jīng)過(guò)實(shí)踐，才能知道問(wèn)題出在哪里，才能找到補(bǔ)救的措施。

三、真槍實(shí)彈——正式拍攝教學(xué)視頻

由于時(shí)間緊，任務(wù)重，一次試教后，正式教學(xué)視頻拍攝便開(kāi)始了。課前忐忑不安，課后卻成功滿滿，我不得不為自己點(diǎn)個(gè)贊。其中最引以為自豪的是如下這一幕：

在學(xué)生厘清了植樹類型及經(jīng)歷了模擬植樹后，我及時(shí)拋出任務(wù)：同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，有幾種栽法？請(qǐng)?jiān)诒砀駜?nèi)用線段圖表示出來(lái)，同時(shí)完成表格其他任務(wù)。接著，我又提出四個(gè)要求：1.先想一想要畫幾個(gè)間隔才是20米；2.每個(gè)間隔盡量一樣長(zhǎng)；3.獨(dú)立完成后小組交流；4.線段圖要求用直尺畫。

學(xué)生都開(kāi)始動(dòng)起來(lái)了，認(rèn)認(rèn)真真地畫線段圖并努力思考相關(guān)任務(wù)，不到5分鐘就有學(xué)生完成了任務(wù)。不一會(huì)兒，教室便由靜轉(zhuǎn)動(dòng)，大家爭(zhēng)著要發(fā)言。

于是，我把一位小臉發(fā)紅、眼睛發(fā)亮的小女生的作品放到展臺(tái)上，輕輕地問(wèn)道：“你畫的全長(zhǎng)是20米嗎？”這位小女生斬釘截鐵地說(shuō)：“是呀！一個(gè)間隔5米，我畫了4個(gè)間隔，就是20米?！蔽壹傺b懷疑，不相信地說(shuō)：“好像不對(duì)，你上來(lái)數(shù)數(shù)看！”這位小女生快速走上來(lái)，面對(duì)全體學(xué)生，邊指邊說(shuō)：“1個(gè)間隔；2個(gè)間隔；3個(gè)間隔；4個(gè)間隔。1個(gè)間隔5米，4個(gè)間隔就是20米?！蔽椅⑿χc(diǎn)了點(diǎn)頭，小女孩一臉自豪，同學(xué)們也報(bào)以熱烈的掌聲。 “你畫的第一條線段圖屬于哪一種類型？”我趁勢(shì)問(wèn)道。這位小女生響亮地說(shuō)：“兩端都有一棵樹，屬于兩端都栽！”“那么里面有幾棵樹？幾個(gè)間隔？”我繼續(xù)追問(wèn)。這位小女生不慌不忙地說(shuō)：“里面有5棵樹，4個(gè)間隔?！薄翱脴浜烷g隔樹之間又有什么關(guān)系？”我又迫不及待地追問(wèn)。小女孩自信滿滿地說(shuō)：“棵樹=間隔數(shù)+1?！敝链?，我不得不說(shuō)：“感謝你的精彩回答！相信你以后定能成為數(shù)學(xué)明星！大家掌聲鼓勵(lì)！”旋即，教室里的掌聲此起彼伏。

“那第二條線段圖屬于哪種類型？棵樹和間隔樹之間又有什么關(guān)系？誰(shuí)來(lái)回答？”我趁勢(shì)繼續(xù)問(wèn)道，并把問(wèn)題簡(jiǎn)化了。學(xué)生搶著回答：“第二條線段屬于兩端不栽，棵樹=間隔數(shù)-1?！?/p>

“那栽法3有什么特點(diǎn)？”我繼續(xù)補(bǔ)問(wèn)，問(wèn)題進(jìn)一步簡(jiǎn)化。學(xué)生有條理地回答：“栽法3是一端栽一端不栽，棵數(shù)=間隔數(shù)。”

接著，我又和學(xué)生一起驗(yàn)證這三個(gè)模型，結(jié)果準(zhǔn)確無(wú)誤。

最后，課件呈現(xiàn)如下內(nèi)容：

四、及時(shí)反思——分析建模成功原因

為什么學(xué)生能夠這樣有效地整體建構(gòu)出這三個(gè)模型呢？其實(shí)，經(jīng)過(guò)第一次試教后，我重新調(diào)整了對(duì)策。我有意識(shí)地讓學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)階段模擬植樹的過(guò)程。第一階段是教師模擬。教學(xué)伊始，我的第一次模擬植樹形象地展示出植樹的全過(guò)程，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)間隔及間隔數(shù)。我的第二次模擬重在讓學(xué)生認(rèn)識(shí)植樹的類型及特點(diǎn)。我的第三次模擬重在讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何用畫線段圖的方式模擬植樹，為下面學(xué)生的模擬做好準(zhǔn)備。第二階段是學(xué)生模擬。由于有前三次的示范，學(xué)生基本上能完成模擬任務(wù)。在模擬的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主提煉出三個(gè)植樹模型。這樣的模型，學(xué)生記憶特別深刻。第三階段是模擬驗(yàn)證。學(xué)生提煉出的模型是著眼于一種情況的，能否通用必須要經(jīng)歷驗(yàn)證的過(guò)程。為此，我在學(xué)生得出模型后，借助課件和學(xué)生一起驗(yàn)證這三種模型。經(jīng)歷驗(yàn)證后，學(xué)生對(duì)這三個(gè)模型就深信不疑?？梢?jiàn)，整體建模前需要做足功課。

與前一次相比，這次教學(xué)主要有如下三個(gè)改變：

一是教學(xué)策略的改變。前一次的教學(xué)策略是分散建模，主要建構(gòu)一個(gè)模型，后一次教學(xué)的策略是整體建模，也就是說(shuō)在第一節(jié)課整體建構(gòu)三種植樹模型。事實(shí)表明，在教師的引導(dǎo)下同時(shí)建構(gòu)三種模型，學(xué)生能夠領(lǐng)悟，而且對(duì)植樹類型及相應(yīng)的模型印象深刻。

二是探究?jī)?nèi)容的改變。前一次教學(xué)主要探究?jī)啥硕荚缘那闆r下，路長(zhǎng)、植樹棵數(shù)、間隔長(zhǎng)度和間隔數(shù)之間的關(guān)系。而后一次教學(xué)卻探究三種類型的植樹情況下，路長(zhǎng)、植樹棵數(shù)、間隔長(zhǎng)度和間隔數(shù)之間的關(guān)系。因此，用線段圖畫出相應(yīng)類型的植樹模型是后一次教學(xué)的難點(diǎn)所在。由于有事先的示范模擬，學(xué)生基本能畫出。特別是探究表格的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的探究思路更加清晰。同時(shí)，為了讓學(xué)生相信自己得出的三個(gè)模型，我教學(xué)時(shí)還安排了一個(gè)交互式的驗(yàn)證環(huán)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)自己的發(fā)現(xiàn)深信不疑。

三是教學(xué)媒體的改變。前一次教學(xué)主要借助簡(jiǎn)易多媒體，后一次教學(xué)主要借助電子白板。為此，我苦練課件制作水平。特別是模擬植樹這一環(huán)節(jié)，一開(kāi)始就想制作動(dòng)態(tài)植樹的課件，但卻一直找不到竅門。后來(lái)無(wú)意間想到用插入文本框的方法，從而制作出模擬植樹的動(dòng)態(tài)課件，使得課堂教學(xué)更加高效。為了充分嘗試交互式教學(xué)，我還努力鉆研電子白板的使用方法，并設(shè)計(jì)了以前從未設(shè)計(jì)過(guò)的流程圖（如下圖）?？梢哉f(shuō)，教學(xué)媒體的改變使我的信息技術(shù)應(yīng)用能力得到了快速提升。

其中，最為重要的是教學(xué)策略的改變。事后我努力分析分散建模與整體建模的優(yōu)劣，兩者主要區(qū)別有三點(diǎn)：

一是視野不同。分散建模只見(jiàn)“樹木”，不見(jiàn)“森林”。分散建?？梢宰寣W(xué)生建立穩(wěn)固的“兩端都栽”的植樹模型，但卻不能溝通與其他植樹模型之間的聯(lián)系。學(xué)生見(jiàn)到的是一個(gè)又一個(gè)的模型——“樹”，很難見(jiàn)到模型之間的聯(lián)系——“森林”，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)往往錯(cuò)誤百出。整體建模，既見(jiàn)“樹木”，又見(jiàn)“森林”。整體建模要求學(xué)生在整體感知、理解教材的過(guò)程中盡快找到解決某一類問(wèn)題的方法和規(guī)律。由于教師一下子把全部問(wèn)題或主要問(wèn)題交給學(xué)生，學(xué)生就會(huì)從整體上想辦法解決，而不是解決一個(gè)再等老師布置下一個(gè)。學(xué)生在整體建構(gòu)的過(guò)程中只要找到了解決這一類問(wèn)題的模型和方法，就能做到舉一反三，事半功倍。

二是效率不同。分散建模用時(shí)較多，效率低下。分散建模著眼于單個(gè)植樹模型的建立。如果后續(xù)教學(xué)要溝通這些模型，至少還要花一節(jié)課的時(shí)間去梳理。因此，按照分散建模的策略教學(xué)完植樹問(wèn)題至少要5課時(shí)。而這在數(shù)學(xué)課時(shí)有限的情況下，著實(shí)不劃算。整體建模，用時(shí)較少，效率較高。有了比較，學(xué)生能快速認(rèn)識(shí)植樹問(wèn)題的三種類型及特點(diǎn)，能較好地厘清三種植樹模型之間的聯(lián)系與區(qū)別。在解決問(wèn)題時(shí)，只要思考一下屬于哪一種類型，就可以用相應(yīng)的模型去解決。這樣一來(lái)，植樹問(wèn)題3課時(shí)就能學(xué)完。

三是程度不同。分散建模不信學(xué)生，缺乏挑戰(zhàn)。采用分散建模的原因是怕學(xué)生一下子掌握不了這么多模型，實(shí)際上是對(duì)學(xué)生的不相信?！爸矘鋯?wèn)題”已從四年級(jí)下冊(cè)編排到五年級(jí)上冊(cè)，如果再用原先的方法，真的就和學(xué)生的現(xiàn)實(shí)能力脫節(jié)，也就缺乏挑戰(zhàn)性了。整體建模相信學(xué)生，學(xué)有所成。敢于以整體建模的策略進(jìn)行教學(xué)，實(shí)際上就是對(duì)學(xué)生的相信。事實(shí)上，只要教學(xué)貼近學(xué)生的真實(shí)思維，學(xué)生的整體建模就會(huì)有成果。如最后的問(wèn)題：樹還能換成別的事物嗎？促使學(xué)生努力尋找生活原型。事后，學(xué)生會(huì)自然而然地認(rèn)識(shí)到植樹問(wèn)題與生活息息相關(guān)，從而拓展植樹問(wèn)題的應(yīng)用范圍。

那整體建模為什么會(huì)有如此力量呢？原來(lái)人們認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律是先整體后部分，經(jīng)過(guò)幾個(gè)循環(huán)往復(fù)，最后形成對(duì)事物的清晰認(rèn)識(shí)。系統(tǒng)思維也告訴我們，統(tǒng)攬全局，著眼整體，才談得上循序操作，層層落實(shí)。與分散建模教學(xué)相比，整體建模更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)資源的整合與生成，著眼于學(xué)習(xí)的實(shí)踐性，重視學(xué)生學(xué)的過(guò)程，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)活動(dòng)的整體推進(jìn)。因此，整體建模應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的主流。通過(guò)前后兩次教學(xué)對(duì)比，我最大的收獲有如下三點(diǎn)：

一是通讀教材，合理分塊。數(shù)學(xué)知識(shí)的單元編排，是將有內(nèi)在聯(lián)系的、具有共同主題的內(nèi)容構(gòu)成一個(gè)整體，并且根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，由淺入深、由易到難進(jìn)行編排。但如果教師對(duì)教材解讀不當(dāng)，按部就班地照本宣科，則容易步入“教學(xué)雷同、環(huán)節(jié)反復(fù)、練習(xí)重復(fù)”的局面。因此，通讀教材，用整體的視角對(duì)單元教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行準(zhǔn)確定位、合理分塊，是實(shí)施整體建模的一個(gè)必要環(huán)節(jié)。如“植樹問(wèn)題”這個(gè)單元，主要內(nèi)容分成兩塊，一是線段植樹，二是環(huán)形植樹。而線段植樹的三種類型難度系數(shù)相近，完全可以分在一塊。

二是有機(jī)整合，創(chuàng)設(shè)基點(diǎn)。有時(shí)候一節(jié)課包含的知識(shí)點(diǎn)比較多，這時(shí)候就要對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，有機(jī)整合，力求把這些知識(shí)點(diǎn)融合在一個(gè)探究平臺(tái)中。然后以這個(gè)探究平臺(tái)為基點(diǎn)，順勢(shì)解決所有的知識(shí)點(diǎn)。如四年級(jí)《三角形的分類》這一課，可以先讓學(xué)生統(tǒng)計(jì)教材上提供的6個(gè)三角形中銳角、鈍角和直角的個(gè)數(shù)，然后以這個(gè)統(tǒng)計(jì)表為基礎(chǔ)，從中發(fā)現(xiàn)角的個(gè)數(shù)規(guī)律，從而揭示出三種三角形的概念。接著，通過(guò)這張表來(lái)揭示這三種三角形之間的關(guān)系。最后還是回到這張表，讓學(xué)生回答為什么有了直角就不會(huì)出現(xiàn)鈍角。為下一節(jié)課《三角形內(nèi)角和》埋下伏筆。這樣以統(tǒng)計(jì)表為基點(diǎn)展開(kāi)建模，整體感明顯，效果顯著。

三是提煉任務(wù)，整體解決。即要求老師一下把全部任務(wù)交給學(xué)生，要求學(xué)生一次性思考解決這些問(wèn)題。如后一次的《植樹問(wèn)題》教學(xué)就是把構(gòu)建三個(gè)植樹模型的任務(wù)一次性布置給學(xué)生，學(xué)生在模擬植樹的過(guò)程中整體建構(gòu)，并通過(guò)比較，深刻領(lǐng)會(huì)各模型之間的聯(lián)系與區(qū)別。