多剛體系統(tǒng)的一致性控制研究

熊 濤

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

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多剛體系統(tǒng)的一致性控制研究

熊 濤

(南京郵電大學(xué) 自動化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

基于非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論，以非完整移動機(jī)器人為研究對象，研究多剛體系統(tǒng)的一致性問題，提出了一種新的分布式控制器。通過引入持續(xù)激勵擾動項，驗證了無論參考信號是否為持續(xù)激勵信號，所提出的控制器都能實現(xiàn)系統(tǒng)一致性的目的，且能一致到期望的參考值。利用李雅普諾夫方法對系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。最后，對所提控制器進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果驗證了所提出的控制器的有效性。

非自治級聯(lián)系統(tǒng)；多剛體系統(tǒng)；持續(xù)激勵；非完整移動機(jī)器人

0 引言

多剛體系統(tǒng)的一致性控制在多機(jī)器人合作控制、交通車輛控制、無人機(jī)編隊和網(wǎng)絡(luò)資源分配等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。多剛體系統(tǒng)姿態(tài)同步的控制方法主要包括：主從式控制法、基于行為的控制法以及虛擬結(jié)構(gòu)控制法。文獻(xiàn)[1]中，WANG P K和HADAEGH F Y提出了主從式(Leader-Follower)控制法，該控制方法將同步問題轉(zhuǎn)化為一般的跟蹤問題，優(yōu)點是可以單獨分析某個剛體的跟蹤性能，而缺點是一旦Leader發(fā)生故障或失效，其他剛體將失去參考信號，無法完成同步目標(biāo)，造成系統(tǒng)混亂。文獻(xiàn)[1]作為該領(lǐng)域的開創(chuàng)性成果，研究了多領(lǐng)導(dǎo)者情況下的多剛體姿態(tài)協(xié)調(diào)控制，運用了近鄰控制器的概念，使系統(tǒng)達(dá)到了全局漸近穩(wěn)定。BALCH T和ARKIN R C提出了基于行為(Behaviour-based)的控制法[2]，根據(jù)相鄰剛體的姿態(tài)變化來調(diào)整自身的變化，優(yōu)點是某個剛體的故障或失效并不會影響到整個剛體群的運動，而只是影響相鄰剛體的運動。文獻(xiàn)[3]憑借局部信息交換，設(shè)計有效的控制律，解決了一隊剛體的姿態(tài)對齊問題。 REN W和BEARD R W提出了虛擬結(jié)構(gòu)(Virtual Structure)控制法[4]，假設(shè)剛體群中存在虛擬的單個剛體，每個剛體都根據(jù)該虛擬剛體調(diào)整自身的姿態(tài)。文獻(xiàn)[4]中提出的集中式虛擬結(jié)構(gòu)法使剛體群依賴于唯一的虛擬剛體，容易使其成為單個失效點，而文獻(xiàn)[5-7]提出的分布式虛擬結(jié)構(gòu)法則避免了該缺點。因此，后來的姿態(tài)同步問題多運用分布式控制法。本文針對平面二維多剛體系統(tǒng)，基于圖論、非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論等方法，對多剛體系統(tǒng)的一致性控制問題進(jìn)行探討。

符號說明:令R表示實數(shù)集合，Rn表示n維實數(shù)列向量集合，Rm×n表示m×n實數(shù)矩陣集合，xT表示實數(shù)向量x的轉(zhuǎn)置，diag{x1,x2,…,xN}表示對角元素為x1,x2,…,xN的對角矩陣，IN表示N階單位矩陣，G表示圖。

1 問題描述

本文以非完整移動機(jī)器人為研究對象，考慮由N個具有相同機(jī)械結(jié)構(gòu)的非完整移動機(jī)器人組成的系統(tǒng)，運動方程由以下方程組表示：

(1)

其中，i=1,2,…,N。當(dāng)i=d時，表示移動機(jī)器人組的期望參考軌跡，ud、ωd是已知的時變函數(shù)。根據(jù)相關(guān)圖論知識，這N個移動機(jī)器人可以表示為圖G=(V,E)的N個節(jié)點。通過輸入和狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)(1)可被轉(zhuǎn)化為如下級聯(lián)形式：

(2)

其中，xi1=θi，xi2=xi，xi3=yi，ui1=ωi，ui2=uicosθi。當(dāng)i=d時，表示參考機(jī)器人方程的級聯(lián)形式。

根據(jù)上述系統(tǒng)模型，控制目標(biāo)可以概括為：對于每一個追隨者，基于其本身及其鄰居的狀態(tài)，設(shè)計一個控制器，使系統(tǒng)中的機(jī)器人狀態(tài)達(dá)到一致，且都一致于期望狀態(tài)。但是在實際情況中，由于外部干擾、通信時延等因素的影響，要達(dá)到理想的一致是比較困難的，因此，實際的控制目標(biāo)為：在合適的控制器和通信拓?fù)湎拢到y(tǒng) (1) 中所有機(jī)器人的狀態(tài)收斂到期望值的一個鄰域內(nèi)，即對系統(tǒng)(2)設(shè)計控制律使得：

(3)

(4)

其中，i，j=1,2,…,N，ε是一個大于0的常數(shù)，代表誤差范圍。

系統(tǒng)(1)寫成矩陣形式為：

(5)

根據(jù)李代數(shù)相關(guān)秩的條件[8]，很容易證明系統(tǒng) (5) 是可控的。然而，一個無漂移常規(guī)系統(tǒng)光滑穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)輸入的數(shù)量等于狀態(tài)的數(shù)量，因此，找不到靜態(tài)光滑或連續(xù)的反饋控制器來穩(wěn)定系統(tǒng) (1) 。查閱文獻(xiàn)[9]可知，運用線性時不變連續(xù)狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)系統(tǒng)的一致性。本節(jié)接下來將會研究已知期望參考軌跡的多剛體系統(tǒng)的一致性問題。

2 控制律設(shè)計

基于前述級聯(lián)系統(tǒng)的形式及前期工作中已有的控制律：

(6)

其中，k0>0,k1>0是正常數(shù)，aij是系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的鄰接矩陣的元素，aij=1表示剛體i可以接收剛體j的狀態(tài)信息，ai0=1表示剛體i可以接收參考剛體的狀態(tài)信息；相反地，aij=0和ai0=0表示剛體i和剛體j以及參考剛體之間沒有通信，無法得知它們的狀態(tài)信息。

結(jié)合協(xié)調(diào)控制律ui2：

(7)

其中，k2>0，k3>0是正常數(shù)。

通過仿真研究可以看到，所有狀態(tài)無法都達(dá)到一致，這說明基于積分器系統(tǒng)或線性系統(tǒng)的一致性結(jié)果不能直接沿用到非完整移動機(jī)器人系統(tǒng)中?；诖?，本文針對兩種不同期望的參考信號重新設(shè)計了控制律。

定義1[10]：存在正常數(shù)α1、α2和δ使以下不等式對所有t>0成立：

(8)

則稱ud為持續(xù)激勵。

(1)控制律ui1的設(shè)計

當(dāng)ud1是持續(xù)激勵信號時，顯然，系統(tǒng)(1)的所有狀態(tài)都是可控的。仍然采用控制器(6)來控制(1)的第一個子系統(tǒng)。

當(dāng)ud1→0(或甚至ud1=0)時，首先定義剛體i與其鄰居之間的平均距離為：

(9)

構(gòu)造控制律ui1如下：

(10)

(2)控制律ui2的設(shè)計

首先，定義矩陣Z2=[x12,x22,…,xN2]T和Z3=[x13,x23,…,xN3]T?；诜峭暾苿訖C(jī)器人系統(tǒng)控制方面的研究結(jié)果，無論ui1收斂到持續(xù)激勵信號或者是零，構(gòu)造如下控制律：

ui2=-k2LZ2-k3ui1LZ3

(11)

其中，L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣。

從公式(11)的結(jié)構(gòu)可以看出，如果ud1→0(或甚至ud1=0)，那么所有xi1達(dá)到一致的速度快于Z2和Z3的一致速度，所以狀態(tài)xi3將達(dá)不到一致。但由于控制律ui1設(shè)計時引入的持續(xù)激勵擾動項ksin(t)，使系統(tǒng)保持可控，此時，運用所提出的控制律ui2可以使所有狀態(tài)變量都達(dá)到一致。

3 穩(wěn)定性分析

定理1 如果φ(t)是一個持久激勵信號，k2>0和k3>0是常數(shù)，且L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統(tǒng)：

(12)

將達(dá)到指數(shù)一致。

證明：考慮無向圖G的Laplacian勢能相關(guān)函數(shù)作為Lyapunov函數(shù)：

(13)

當(dāng)G是連通圖時，上式為半正定，對其求導(dǎo)得：

(14)

可以看出，其導(dǎo)數(shù)為負(fù)半定。

{[Z2,Z3]T|LZ2=0,LZ3=0}

(15)

定理2(當(dāng)ud1是持續(xù)激勵信號時的一致性定理)假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是無向連通的，且至少有一個剛體能接收參考信號xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(8)和(13)的控制下能達(dá)到一致。

證明：在控制器(6) 和(11)的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

(16)

(17)

其中，Λui1=diag{u11,u21,…,uN1},Z1=diag{x11,x21,…,xN1},Λai0=diag{a10,a20,…,aN0}，Zd1=diag{xd1,xd1,…,xd1}。

將系統(tǒng)(16)中的ui1用ud1來替代，則系統(tǒng)(16)可視作系統(tǒng)：

(18)

被

(19)

級聯(lián)，級聯(lián)項為：

(20)

(1)如果系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個剛體可以接收參考信號系統(tǒng)(2)的信息，則子系統(tǒng)將指數(shù)一致到ud1。

(2)根據(jù)定理1，當(dāng)ud1是持續(xù)激勵信號時，子系統(tǒng)(18)將達(dá)到指數(shù)一致。

(3)級聯(lián)項(20)滿足[Z2,Z3]T的線性增長條件。

那么，基于以上3個條件，并根據(jù)非自治級聯(lián)系統(tǒng)的理論[10-12]，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是聯(lián)通的，且至少有一個剛體可以接收參考信號時，系統(tǒng)中的N個剛體在控制器(6)和(11)的控制下能夠達(dá)到期望的一致。

定理3(當(dāng)ud1→0(或ud1=0)時的一致性定理)假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)涫菬o向連通的，且至少有一個剛體能接收xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(10)和(11)的控制下達(dá)到一致。

證明:

(1)當(dāng)ρi≥ε時

這種情況下，在控制器ui1的設(shè)計中引入持久激勵信號來保證整個系統(tǒng)的可控性，例如控制器(10)中的ksin(t)。對于子系統(tǒng)(19)，在連通通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，ui1將收斂到ksin(t)。對于子系統(tǒng)，在控制器(10)的控制下，根據(jù)非自治系統(tǒng)的級聯(lián)理論，以及φ(t)=ksin(t)時定理1的指數(shù)一致結(jié)果，可得出ρi<ε。

(2)當(dāng)ρi<ε時

在這種情況下，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個剛體能接收參考信號，當(dāng)ρi在ε領(lǐng)域內(nèi)自由取值時，系統(tǒng)(19)能收斂到原始的參考信號。那么，在控制器(10)和(11)控制下，多剛體系統(tǒng)的實際一致性問題得到解決。

基于定理2和定理3，通過證明可知，在重新設(shè)計的控制器中，無論ud1是否是持續(xù)激勵信號，多剛體系統(tǒng)都能達(dá)到一致性。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將所提出的控制器與前期工作所設(shè)計的控制器進(jìn)行比較。在現(xiàn)有的控制律(6)和(7)下，基于無向連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，k0=1,k1=1,k2=5,k3=6。從圖1中可以看到，無法讓第三個狀態(tài)達(dá)到一致。

圖1 每個剛體的運動軌跡

由于參考信號趨于零的情況下非完整移動機(jī)器人系統(tǒng)的一致性研究較少，為了闡述本文所提出的控制器的有效性，以下將進(jìn)行兩種不同參考信號的仿真。

(1)ud1=0

選取系數(shù)：k0=1,k1=1,k2=5,k3=6，誤差范圍為：ε=0.000 01。系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

基于定理3中提出的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果顯示如圖2～圖5，從圖中可以看到，每個機(jī)器人狀態(tài)都能達(dá)到一致。

圖2 ud1=0時第1個狀態(tài)的一致性

圖3 ud1=0時第2個狀態(tài)的一致性

圖4 ud1=0時第3個狀態(tài)的一致性

圖5 ud1=0時每個剛體的運動軌跡

(2)ud1=3sin (0.2t)

這種情況下，參考信號為一個持久曲線信號，取k0=8,k1=1,k2=5,k3=6，系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

仿真結(jié)果如圖6～圖9，基于定理2中的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果表明每個剛體都能達(dá)到一致，從運動軌跡圖中可以看到，所有的剛體最后都收斂到一起，并呈一定的曲線運動，從仿真圖中可以看出本文所提控制器能有效實現(xiàn)系統(tǒng)一致性。

圖6 ud1=3sin (0.2t)時第1個狀態(tài)的一致性

圖7 ud1=3sin (0.2t)時第2個狀態(tài)的一致性

圖8 ud1=3sin (0.2t)第3個狀態(tài)的一致性

圖9 ud1=3sin (0.2t)時每個剛體的運動軌跡

5 結(jié)論

本文利用非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論，提出了一種具備無論系統(tǒng)參考信號是否為持續(xù)激勵信號都能實現(xiàn)系統(tǒng)一致性的分布式控制器。該控制器的設(shè)計通過在控制律中引入持續(xù)激勵擾動項，改善了前期工作的缺點，在參考信號不為持續(xù)激勵信號時，也能讓系統(tǒng)達(dá)到一致性。最后，將所提控制方法應(yīng)用到兩種不同參考信號的情況中，仿真結(jié)果驗證了所提出的控制方法的有效性。

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Research on consistency control of multiple rigid systems

Xiong Tao

(College of Automation,Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023,China)

This paper proposes a new distributed controller to control nonholonomic mobile robot,which as a special object of multi-rigid-body system,by utilizing the nonautonomous cascade system basic theory.By introducing a persistent excitation disturbance term,it is verified that the proposed controller can achieve system consistency and even can converge to expected reference value for all robots,whatever the

ignal is persistent excitation disturbance.A stability analysis is presented using Lyapunov’s direct method.Finally,simulation results illustrate the efficiency of proposed controller compared with the previous works.

nonautonomous cascade system; multiple rigid systems; persistent excitation; nonholonomic mobile robot

TP273

A DOI：10.19358/j.issn.1674-7720.2016.19.025

熊濤.多剛體系統(tǒng)的一致性控制研究[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2016,35(19)：84-88,94.

2016-06-15)

熊濤(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向：非線性系統(tǒng)，協(xié)調(diào)控制，魯棒控制。