反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

覃春玲

摘 要 本文主要剖析了中學(xué)數(shù)學(xué)里常用到的使用反證法來證明命題，從六個(gè)方面進(jìn)行了深入的研究。探討反證法在使用中常見的問題，揭示了反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用中有重要的、特殊的地位。

關(guān)鍵詞 反證法 中學(xué)數(shù)學(xué) 教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）21-0088-02

在數(shù)學(xué)證題當(dāng)中常常會(huì)運(yùn)用到反證法，牛頓說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。通常來說，反證法通常用以去證明的題型有：“至少”或“至多”、命題的結(jié)論以“否定形式”“無限”“唯一”等形式出現(xiàn)的命題；或是否定結(jié)論更簡(jiǎn)單、具體、明顯的命題；或是直接去證明比較難解出的命題，變換其思維方式，從結(jié)論下手使用反面思考，可能問題會(huì)柳暗花明。

一、基本命題

例1.已知：如圖1所示，AB⊥EF 于M，CD⊥EF 于N。求證：AB∥CD。

證明：假設(shè)AB，CD不平行，即AB，CD交于點(diǎn)P，則過點(diǎn)P有AB⊥EF，且CD⊥EF，與“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線垂直與已知直線”矛盾?！郃B∥CD。

二、結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類命題

例2.求證：在一個(gè)三角形中，不能有兩個(gè)角是鈍角。

證明：已知∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角。

求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個(gè)鈍角。

假如∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A>90埃搖螧>90埃頡螦+∠B+∠C>180啊U庥搿叭切文誚嗆臀80啊閉庖歡ɡ硐嗝埽省螦、∠B均大于90安懷閃ⅰK裕桓鋈切尾豢贍苡辛礁齠勱恰

三、關(guān)于唯一性、存在性的命題

例3.試證明：在平面上所有通過點(diǎn)（，0）的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有一條且只有一條。

證明：先證存在性

因?yàn)橹本€y=0，顯然通過點(diǎn)（，0），且直線y=0至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)，例如它通過（0，0）和（1，0）。這說明滿足條件的直線有一條。

再證唯一性

假設(shè)除了直線y=0外還存在一條直線y=kx+b（k≠0或b≠0）通過點(diǎn)，0），且該直線通過有理點(diǎn)A（x1，y1）與B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均為有理數(shù)。

因?yàn)橹本€y=kx+b通過點(diǎn)（，0），所以b=-k，于是y=k（x-），且k≠0.又直線通過A（x1，y1）與B（x2，y2）兩點(diǎn)，

所以 y1=k（x1-） ①

y2=k（x2-） ②

①-②，得y1-y2=k（x1-x2） ③

因?yàn)锳、B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且k≠0，所以x1≠x2，y1≠y2，

由③，得k=，且k是不等于零的有理數(shù)。

由①，得=x1-

此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。

所以，平面上通過點(diǎn)（，0）的直線中，至少通過兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。

綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。

四、結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題

問題以“至少”“至多”“最多”或“不多于”等方式出現(xiàn)的命題，我們能找到直接論證的理論根據(jù)很少，所以用直接證法有一定的困難。不過如果運(yùn)用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)，就可以推出更多的結(jié)論，從而容易使命題獲證。

例4已知：如圖3，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD=1。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于。

證明：假設(shè)四邊形的邊都小于，由于四邊形中至少有一個(gè)角不是鈍角（這一結(jié)論也可用反證法證明），不妨設(shè)∠A≤90埃縈嘞葉ɡ恚肂D2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤<=1

這與已知四邊形BD=1矛盾。

所以，四邊形中至少有一條邊不小于。

五、結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體、更容易研究的命題

例5.求證：是無理數(shù)。（古希臘人引自百科全書）

分析：由于題目給我們可供使用的條件實(shí)在太少，以至于正面向前進(jìn)一小步都非常困難。而無理數(shù)又是無限不循環(huán)的，“無限”與“不循環(huán)”都很難表示出來。當(dāng)反設(shè)是有理數(shù)時(shí)，就增加了一個(gè)具體而有效的“條件”，使得能方便地將表示為一個(gè)分?jǐn)?shù)。

證明：假設(shè)是有理數(shù)，則存在a，b∈N，且a，b互質(zhì)，使=→a2→2b2從而，a為偶數(shù)，記為a=2c，∴a2=4c2，∴2c2=b2，則b也是偶數(shù)。由a，b均為偶數(shù)與a，b互質(zhì)矛盾，故是無理數(shù)。

六、“必然性”問題

例6.若x1，x2，…，xn，xn+1均為小于1的非負(fù)實(shí)數(shù)，試證：其中一定存在兩個(gè)數(shù)，其差的絕對(duì)值小于 。

證明：不妨設(shè)x1

故xi（i=1，2，…，n+1）中一定存在兩個(gè)數(shù)，其差的絕對(duì)值小于。