線性規(guī)劃問(wèn)題中慎用頂點(diǎn)代入比較法——由一道高考試題引出的思考

◇　江蘇　魏美云

(作者單位：江蘇省沛縣湖西中學(xué))

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線性規(guī)劃問(wèn)題中慎用頂點(diǎn)代入比較法
——由一道高考試題引出的思考

◇江蘇魏美云

圖1

這是2016年高考江蘇卷的第12題,考查的是線性規(guī)劃、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí).對(duì)于線性規(guī)劃問(wèn)題,很多學(xué)生遇到此類題目不問(wèn)青紅皂白,一律將可行域的頂點(diǎn)代入比較大小求最值.本題中目標(biāo)函數(shù)的最小值不在頂點(diǎn)處取得,但很多學(xué)生并不理解線性規(guī)劃問(wèn)題的解題依據(jù),盲目機(jī)械地用頂點(diǎn)代入.雖然很多題目都是在頂點(diǎn)處取得最值,但也有不少題目最值并不在頂點(diǎn)處取得,甚至不在可行域的邊界上取得.下面列舉幾種不適合用頂點(diǎn)代入法求解的例子,不求全面,只求拋磚引玉,引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地去理解線性規(guī)劃的求解原理.

1　最值不一定在可行域的頂點(diǎn)處取得

(1) 求z=x2+(y-1)2+5的最大值和最小值;

圖2

方法2因?yàn)閗DC

特別需要注意的是最小距離不一定在可行域的頂點(diǎn)處取得,它有可能是定點(diǎn)到一條邊界線的距離,如第(1)題結(jié)合圖形很容易判斷.但是第(2)題僅從圖形難以判斷DP的最小值是DC還是DH.此時(shí)可以求出垂足H的坐標(biāo),判斷垂足H是否在可行域內(nèi);也可比較DC和DH的斜率,再結(jié)合圖形來(lái)判斷.

2　最值不一定在可行域的邊界處取得

圖3

3　可行域是無(wú)界區(qū)域時(shí)不適合用頂點(diǎn)代入法

圖4

4　范圍問(wèn)題用頂點(diǎn)代入只能確定區(qū)間的端點(diǎn)

圖5

圖6

(作者單位：江蘇省沛縣湖西中學(xué))