引例說明數(shù)列問題求解方略

◇　山東　王　慧

(作者單位：山東省棗莊市棗莊八中南校)

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引例說明數(shù)列問題求解方略

◇山東王慧

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)主干內(nèi)容之一,其中與數(shù)列的前n項(xiàng)和、遞推關(guān)系有關(guān)的內(nèi)容是高考重要考查點(diǎn).問題處理的關(guān)鍵是通過構(gòu)造、轉(zhuǎn)化,將一般數(shù)列化歸為特殊數(shù)列求解．下面引例說明．

(1) 求a1的值;

(2) 求證:(n-2)an+1=(n-1)an-1(n≥2);

(3) 判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并說明理由.

本題以等差數(shù)列為背景,給出其前n項(xiàng)和公式,證明其遞推關(guān)系,并判斷{an}為等差數(shù)列．

第(1)問屬于基礎(chǔ)題,下面對(duì)第(2)、(3)問的解答進(jìn)行探究．

1　常規(guī)解答

與通項(xiàng)公式有關(guān)的內(nèi)容主要有: 1) 給出前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式．求解方法通常是利用公式an=Sn-Sn-1(n≥2)． 2) 給出遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式．此類問題的求解方法較多,但本質(zhì)是“構(gòu)造”,即根據(jù)已知遞推關(guān)系將其構(gòu)造為特殊的等差或等比數(shù)列,再利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．

(3) 方法1數(shù)列{an}是等差數(shù)列.理由如下:

因?yàn)閚≥3, 所以an-2an-1+an-2=0,即an-an-1=an-1-an-2(n≥3). 所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、a2-1為公差的等差數(shù)列.

2　思路拓展

方法4若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則有an=a1+(n-1)d,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

當(dāng)n=1時(shí),等式成立; 設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí),等式成立,即ak=1+(k-1)d．

當(dāng)n=k+1時(shí),

(k-1)ak+1+1=kak.

又因?yàn)閍k=1+(k-1)d,所以

(k-1)ak+1+1=k[1+(k-1)d],

即ak+1=1+kd,所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、d為公差的等差數(shù)列.

3　變式探究

證明必要性：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d．

充分性：數(shù)學(xué)歸納法證明.

設(shè)ak=a1+(k-1)d．由已知等式可得

①

②

將式①代入式②得

在此式兩端同乘以a1akak+1,得

(k-1)ak+1+a1=kak.

③

(作者單位：山東省棗莊市棗莊八中南校)