求解彈性波方程的高精度ONAD方法及其波場(chǎng)模擬

張朝元

(大理大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 云南 大理 671003)

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求解彈性波方程的高精度ONAD方法及其波場(chǎng)模擬

張朝元

(大理大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院， 云南 大理 671003)

基于彈性波傳播方程，發(fā)展了一種高精度低數(shù)值頻散的八階ONAD(optimal nearly-analytic discrete)方法，該方法利用八階精度的近似解析離散算子對(duì)空間高階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，采用四階精度的截?cái)嗵├照归_(kāi)式離散時(shí)間高階導(dǎo)數(shù)。八階ONAD方法被用于模擬地震波在VTI介質(zhì)模型和2個(gè)復(fù)雜層狀介質(zhì)模型中的傳播。計(jì)算效率結(jié)果表明，該方法在運(yùn)算速度和存儲(chǔ)量上明顯優(yōu)越于八階LWC方法。波場(chǎng)模擬結(jié)果顯示，八階ONAD方法在粗網(wǎng)格條件下可有效消除由速度強(qiáng)間斷所造成的數(shù)值頻散，有利于在強(qiáng)間斷介質(zhì)中使用粗網(wǎng)格進(jìn)行波場(chǎng)模擬，是一種在地震勘探領(lǐng)域有著巨大應(yīng)用潛力的數(shù)值方法。

彈性波方程；ONAD方法；數(shù)值頻散；波場(chǎng)模擬；高精度

眾所周知，正演模擬是地球物理學(xué)中開(kāi)展地震波全波形反演的一個(gè)關(guān)鍵步驟和核心環(huán)節(jié)。如果正演數(shù)值模擬方法過(guò)多地消耗和占用計(jì)算資源，如占用計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間過(guò)多和計(jì)算運(yùn)行速度過(guò)慢等，則必定會(huì)降低全波形反演速度，增加地震反演成本，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致地震反演不能成功實(shí)現(xiàn)。因此，研究效果好、精度高的正演地震模擬方法，成為地震波方程全波反演研究工作中非常關(guān)鍵的問(wèn)題。

在已經(jīng)發(fā)展的地震數(shù)值模擬方法[1-8]中，有限差分法因其計(jì)算機(jī)編程簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)且并行性強(qiáng)、同網(wǎng)格數(shù)下相比存儲(chǔ)量小和計(jì)算速度快等優(yōu)點(diǎn)，被有效地應(yīng)用于地震數(shù)值模擬中。但傳統(tǒng)中的有限差分方法在數(shù)值離散地震波方程時(shí)，由于數(shù)值波速?lài)?yán)重受波數(shù)的非線(xiàn)性函數(shù)影響與真實(shí)波速有差異，因此在層間速度反差大或大尺度粗網(wǎng)格時(shí)，進(jìn)行地震波數(shù)值模擬會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的數(shù)值頻散。為了避免這個(gè)問(wèn)題，Yang等人于2003年率先通過(guò)引入近似解析離散(NAD)算子替代傳統(tǒng)的差分算子來(lái)對(duì)波動(dòng)方程中的空間高階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散化[9]，從而發(fā)展了一系列具有低數(shù)值頻散的數(shù)值方法[9-17]。但是這些基于NAD算子的數(shù)值方法在空間離散上僅為四階精度，還沒(méi)有更高精度的研究。為了進(jìn)一步提高數(shù)值模擬精度，本文在Yang等人[10]研究基礎(chǔ)上，基于彈性波方程，在空間上采用Tong等人發(fā)展的八階精度NAD算子對(duì)高階偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，在時(shí)間上采用四階截?cái)嗟奶├照归_(kāi)式對(duì)高階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，得到時(shí)間精度為四階、空間精度為八階的ONAD方法[17]，稱(chēng)為八階ONAD方法。

我們將該方法應(yīng)用到彈性波在垂直對(duì)稱(chēng)的單層橫向各向同性介質(zhì)、雙層均勻各向同性介質(zhì)和三層均勻橫向各向同性介質(zhì)中的傳播模擬中。數(shù)值結(jié)果表明，同具有相同精度的八階LWC方法[18,19][精度為O(Δt4+Δx8+Δz8)]相比，本文提出的八階ONAD方法具有計(jì)算速度快和存儲(chǔ)量小等優(yōu)勢(shì)，可有效消除由粗網(wǎng)格條件或?qū)訝钏俣确床钶^大所引起的數(shù)值頻散，能在強(qiáng)間斷介質(zhì)中很好地進(jìn)行粗網(wǎng)格或大尺度條件下的地震波場(chǎng)數(shù)值模擬。

1 八階ONAD方法的計(jì)算公式

在Yang等人[10]的研究基礎(chǔ)上，我們發(fā)展了一種求解彈性波方程的八階ONAD方法。設(shè)二維彈性波傳播方程如下

(1)

其中:下標(biāo)j=1,3;σij和ρ=ρ(x,z)分別代表應(yīng)力和介質(zhì)密度;fi和ui分別為i方向的震源函數(shù)分量和位移分量。在后面的波場(chǎng)模擬實(shí)驗(yàn)中，我們選擇隨時(shí)間變化的震源函數(shù)為

exp[-8(0.6f0t-1)2]

(2)

其中:f(t)為地震波震源主頻f0的Ricker子波;f0是震源函數(shù)的頻率。

(3)

其中D是三階微分算子。

(4)

(5)

(6)

將(5)式和(6)式相加，可得

(7)

(8)

我們把用于計(jì)算二維彈性波方程(1)式的逼近方程(8)稱(chēng)為八階ONAD方法。

對(duì)于八階ONAD方法，由截?cái)嗟奶├照归_(kāi)式得到時(shí)間離散方程(8)，其時(shí)間誤差精度為O(Δt4)；由插值函數(shù)和泰勒展開(kāi)式離散表達(dá)式(8)右邊的高階空間偏導(dǎo)數(shù)，其逼近公式的空間誤差精度[17]為O(Δx8+Δz8)。因此，二維彈性波方程求解的八階ONAD方法的誤差精度為O(Δt4+Δx8+Δz8)。

2 計(jì)算效率分析

衡量地震波模擬方法優(yōu)越的重要標(biāo)準(zhǔn)就是考察該方法的計(jì)算效率，而計(jì)算效率主要包括計(jì)算耗時(shí)和計(jì)算存儲(chǔ)量。為研究八階ONAD方法的計(jì)算效率和模擬精度，在這里我們分別用八階ONAD方法和具有相同精度的八階LWC方法[精度為O(Δt4+Δx8+Δz8)]在粗網(wǎng)格條件下對(duì)具有垂直對(duì)稱(chēng)軸的橫向各向同性介質(zhì)(記為VTI)模型進(jìn)行波場(chǎng)模擬，同時(shí)與八階LWC方法在細(xì)網(wǎng)格下模擬的結(jié)果進(jìn)行比較。

該模型的彈性系數(shù)和介質(zhì)密度分別為c11=45 GPa,c13=9.6 GPa,c33=37.5 GPa,c44=12 GPa和ρ=1.0 g/cm3。模型的模擬區(qū)域?yàn)?≤(x,z)≤12 km；采用頻率f0=30 Hz的Ricker震源子波函數(shù)，f1=f3=f(t)，震源位于模擬區(qū)域中央。設(shè)定時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=0.8 ms，空間步長(zhǎng)為Δx=Δz=40 m,接收器位于R(6 km, 5 km)。

圖1是粗網(wǎng)格(Δx=Δz=40 m)下分別由八階ONAD和八階LWC兩種方法在t=0.6 s時(shí)刻產(chǎn)生的水平位移方向的瞬時(shí)波場(chǎng)快照。從圖1可知，八階ONAD方法產(chǎn)生的快照?qǐng)D(圖1-A)非常清晰，無(wú)可見(jiàn)數(shù)值頻散，可觀(guān)測(cè)到清晰的尖點(diǎn)與三叉區(qū)，各種波形清晰分明；而八階LWC方法卻存在明顯的數(shù)值頻散(圖1-B)，尤其在三叉區(qū)和尖點(diǎn)等處存在嚴(yán)重的數(shù)值頻散。在相同Courant數(shù)下，當(dāng)取空間步長(zhǎng)為Δx=Δz=18 m時(shí)，八階LWC方法此時(shí)能有效地消除數(shù)值頻散。但在計(jì)算機(jī)環(huán)境Intel(R) Core(TM) 2Duo CPU和2G內(nèi)存下，該兩種方法為抑制數(shù)值頻散所花費(fèi)的存儲(chǔ)量和CPU時(shí)間卻明顯不同。在存儲(chǔ)量上，八階LWC方法需要6個(gè)存儲(chǔ)規(guī)模為667×667，但是八階ONAD方法需要18個(gè)存儲(chǔ)規(guī)模僅為300×300，這說(shuō)明八階ONAD方法需要的存儲(chǔ)量是八階LWC方法的60.69%。在CPU時(shí)間上，八階LWC方法為消除數(shù)值頻散所消耗的CPU時(shí)間為784 s，而用八階ONAD方法模擬得到圖1-A所消耗的時(shí)間僅為314 s，這表示八階ONAD方法的計(jì)算速度約為八階LWC方法的2.5倍。

我們以八階LWC方法在細(xì)網(wǎng)格條件(Δx=Δz=18 m)下模擬所得到的結(jié)果作為精確解。圖2分別給出了粗網(wǎng)格條件(Δx=Δz=40 m)下由八階ONAD方法(圖2-A)和八階LWC方法(圖2-B)模擬得到在接收器R(6 km, 5 km)處的波形記錄，同時(shí)分別與精確解進(jìn)行比較。從圖2可知，八階ONAD方法與精確解的波形基本一致，而八階LWC方法與精確解卻有著明顯的誤差。這意味著，同八階LWC方法相比，八階ONAD方法在粗網(wǎng)格條件下能夠提供更加精確的數(shù)值解。因此，八階ONAD方法有望在大尺度規(guī)模地震波模擬中得到推廣和應(yīng)用。

圖1 在t=0.6 s時(shí)刻由八階ONAD方法和八階LWC方法產(chǎn)生的水平位移分量的波場(chǎng)快照Fig.1 Snapshots of wave fields at time t=0.6 s on the horizontal displacement component

圖2 分別由精確解與八階ONAD方法和八階LWC方法計(jì)算得到在接收器R(6 km, 5 km)處的水平位移分量的波形記錄比較Fig.2 Comparison of waveforms recorded at the receiver R(6 km, 5 km) on the horizontal displacement component by the analytic solutions

3 波場(chǎng)模擬

為考察本文發(fā)展的八階ONAD方法模擬彈性波傳播的效果及壓制數(shù)值頻散的能力，我們利用該方法來(lái)模擬彈性波在雙層均勻各向同性介質(zhì)(記為HI)和三層均勻橫向各向同性介質(zhì)(記為T(mén)I)中的傳播。為體現(xiàn)本文提出的八階ONAD方法的優(yōu)越性，我們將數(shù)值模擬結(jié)果同具有相同精度的八階LWC方法進(jìn)行比較。

3.1 雙層HI介質(zhì)模型

研究地震波在層狀介質(zhì)模型的傳播規(guī)律有利于人們對(duì)地球深層內(nèi)部結(jié)構(gòu)進(jìn)行合理有效的了解，從而，有效模擬彈性波在地球內(nèi)部介質(zhì)分層界面的折射反射等具有深刻意義。其中，雙層介質(zhì)模型是層狀介質(zhì)模型中最重要的又是最簡(jiǎn)單的模型。為了考察八階ONAD方法模擬地震波在強(qiáng)間斷介質(zhì)傳播的有效性，我們進(jìn)行一個(gè)強(qiáng)間斷雙層HI介質(zhì)模型的數(shù)值模擬。

實(shí)驗(yàn)中，設(shè)0≤(x,z)≤4 km為雙層HI介質(zhì)模型的計(jì)算區(qū)域，z0=2.4 km為分層界面。上層介質(zhì)中的彈性系數(shù)和介質(zhì)密度分別為λ1=1.5 GPa,μ1=2.5 GPa,ρ1=1.5 g/cm3；下層介質(zhì)中的彈性系數(shù)和介質(zhì)密度分別為λ2=11.0 GPa,μ2=15.0 GPa,ρ2=2.0 g/cm3。設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為Δt=1 ms，空間步長(zhǎng)為Δx=Δz=20 m。震源位于O(2 km, 1.85 km)，震源函數(shù)為f0=22 Hz的Ricker子波，且f1(x)=f3(x)=f(t)。一個(gè)SV波的波長(zhǎng)內(nèi)包含3.2個(gè)空間采樣點(diǎn)。

圖3是八階ONAD方法模擬獲得t=0.6 s時(shí)刻在水平位移分量(圖3-A)和垂直位移分量(圖3-B)的瞬時(shí)波場(chǎng)快照。圖4是八階LWC方法模擬獲得t=0.6 s時(shí)刻在水平位移分量(圖4-A)和垂直位移分量(圖4-B)的瞬時(shí)波場(chǎng)快照。從圖3與圖4比較可看出，八階LWC方法取得的模擬波場(chǎng)快照在間斷面鄰域和速度較低的上層有較為嚴(yán)重的數(shù)值頻散，而同時(shí)刻下八階ONAD方法模擬取得的波場(chǎng)快照則非常清晰，沒(méi)有可見(jiàn)的數(shù)值頻散。這表明八階ONAD方法在大尺度粗網(wǎng)格條件下能很好地抑制因強(qiáng)間斷速度所導(dǎo)致的數(shù)值頻散，有利于在強(qiáng)間斷介質(zhì)中使用大尺度粗網(wǎng)格進(jìn)行地震波場(chǎng)數(shù)值模擬，從而提高模擬精度。因此，八階ONAD方法對(duì)于二維彈性波在強(qiáng)間斷層狀介質(zhì)中有著良好的地震波傳播模擬效果。

3.2 三層HI介質(zhì)模型

為進(jìn)一步體現(xiàn)本文提出的八階ONAD方法的優(yōu)勢(shì)，我們選擇了三層TI介質(zhì)模型的地震波模擬，并同八階LWC方法的數(shù)值結(jié)果進(jìn)行比較。三層TI介質(zhì)模型中的模型參數(shù)如表1所示。實(shí)驗(yàn)的模擬區(qū)域?yàn)?≤(x,z)≤12 km，選擇頻率f0=20 Hz的Ricker震源子波函數(shù)，同樣f1=f3=f(t)，震源位于模擬區(qū)域中央，取Δx=Δz=40 m為空間模擬步長(zhǎng)，取Δt=2 ms為時(shí)間模擬步長(zhǎng)。

圖3 八階ONAD方法在t=0.6 s時(shí)刻水平位移分量和垂直位移分量的波場(chǎng)瞬時(shí)快照Fig.3 Snapshots of wave fields on the horizontal and vertical components generated by the eighth-order ONAD method at time t=0.6 s

圖4 八階LWC方法在t=0.6 s時(shí)刻水平位移分量和垂直位移分量的波場(chǎng)瞬時(shí)快照Fig.4 Snapshots of wave fields on the horizontal and vertical components generated by the eighth-order LWC method at time t=0.6 s

表1 三層介質(zhì)模型中的參數(shù)

圖5給出了粗網(wǎng)格(Δx=Δz=40 m)情況下在t=1.2 s時(shí)刻分別由八階ONAD方法(圖5-A)和八階LWC方法(圖5-B)模擬獲得在水平位移方向的波場(chǎng)瞬時(shí)快照。從圖5可以觀(guān)察出，這2種方法模擬的數(shù)值波場(chǎng)幾乎相同，但是圖5-B說(shuō)明八階LWC方法有著明顯的數(shù)值頻散現(xiàn)象。同樣模擬條件下，我們發(fā)展的新方法獲得了清晰的波場(chǎng)瞬時(shí)快照(圖5-A)，沒(méi)有看到數(shù)值頻散。因此，在高采樣點(diǎn)即粗網(wǎng)格條件下，八階ONAD方法在抑制數(shù)值頻散上明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的八階LWC方法，能很好地應(yīng)用于復(fù)雜介質(zhì)模型地震波場(chǎng)數(shù)值模擬研究中。

4 結(jié) 論

彈性波在地球內(nèi)部介質(zhì)中的傳播本質(zhì)上是一個(gè)波動(dòng)方程的正演模擬行為，為了更好地掌握地下信息，正演模擬技術(shù)成了計(jì)算數(shù)學(xué)和地球物理學(xué)中一個(gè)非常重要的研究項(xiàng)目。為了進(jìn)一步提高正演數(shù)值方法的計(jì)算速度和模擬精度，在Yang等人[10]的研究基礎(chǔ)上，本文發(fā)展了一種八階ONAD數(shù)值模擬方法?；诙S彈性波傳播方程，本方法以八階精度的近似解析離散(NAD)算子[17]替代傳統(tǒng)有限差分方法的差分算子對(duì)空間偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散，以截?cái)嗵├照归_(kāi)式對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行四階離散。

圖5 t=1.2 s時(shí)刻由八階ONAD方法和八階LWC方法產(chǎn)生的水平位移分量的波場(chǎng)快照Fig.5 Snapshots of wave fields for the horizontal displacement component at time t=1.2 s

以VTI介質(zhì)模型為例進(jìn)行了波場(chǎng)模擬以考察八階ONAD方法的計(jì)算效率，結(jié)果表明八階ONAD方法在粗網(wǎng)格條件下能夠提供高精度的數(shù)值解，且存儲(chǔ)量是八階LWC方法的60.69%，計(jì)算速度約為傳統(tǒng)八階LWC方法的2.5倍。為進(jìn)一步體現(xiàn)本文提出的八階ONAD方法數(shù)值模擬的優(yōu)越性，我們將該方法模擬二維彈性波在多層復(fù)雜介質(zhì)中的傳播。數(shù)值結(jié)果顯示，八階ONAD方法在高采樣點(diǎn)即粗網(wǎng)格條件下能很好地抑制由強(qiáng)間斷速度引起的數(shù)值頻散結(jié)果，有利于強(qiáng)間斷介質(zhì)模型中使用高采樣點(diǎn)進(jìn)行地震波場(chǎng)模擬?？傊?，本文所提出的八階ONAD方法是一種高效率、高精度的正演數(shù)值模擬方法。

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附錄A：空間高階偏導(dǎo)數(shù)的逼近公式

利用局部插值近似方法，可以得到位移關(guān)于空間的二階和三階偏導(dǎo)數(shù)的逼近公式，具體推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)參考文獻(xiàn)[17]。這里，只給出了關(guān)于位移的高階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式

(A1)

(A2)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

其中:Δx,Δz分別代表x方向和z方向的空間步長(zhǎng)。

A high-accuracy ONAD method and its wave-field simulation for solving elastic wave equation

ZHANG Chao-yuan

CollegeofMathematicsandComputer,DaliUniversity,Dali671003,China

Based on the elastic wave equation, this paper develops an eighth-order ONAD (optimal nearly-analytic discrete) method with high accuracy and low numerical dispersion. This new method uses the nearly analytic discrete operators with eighth-accuracy to approximate the high-order derivatives in space and the truncated Taylor series expansion with fourth-order accuracy to discretize the temporal high-order derivatives. The eighth-order ONAD method is used to model the elastic wave propagations through the VTI medium and two complex layered media. The results of the computational efficiency show that this method is obviously superior to the eighth-order Lax-Wendroff Correction (LWC) method in the computation speed and the storage capacity. The wave-fields modeling results show that the eighth-order ONAD method can effectively eliminate the numerical dispersion caused by the speed of strong discontinuity in the coarse grid, and is conducive to the wave-field simulation in the discontinuous medium using a coarse grid. Therefore, the eighth-order ONAD method has great application potentiality in seismic exploration.

elastic wave equation; ONAD method; numerical dispersion; wave-field simulation; high accuracy

10.3969/j.issn.1671-9727.2016.05.13

1671-9727(2016)05-0623-07

2014-01-09。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41230210, 41464004); Statoil Company資助項(xiàng)目(4502502663); 云南省教育廳科學(xué)研究基金重點(diǎn)項(xiàng)目(2013Z152)。

張朝元(1978-),男,副教授,研究方向:地震波方程的數(shù)值方法及波場(chǎng)模擬, E-mail:zcy_km@163.com。

P631.4; O241

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