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    三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現(xiàn)象

    2016-11-12 16:20:16林永靜溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系浙江溫州325035
    關(guān)鍵詞:試探算例方程組

    林永靜(溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系,浙江 溫州 325035)

    三維延拓Kantorovich法的迭代不收斂現(xiàn)象

    林永靜(溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系,浙江 溫州 325035)

    將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法時(shí),通過(guò)大量數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新現(xiàn)象,即如果采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法,那么會(huì)遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。對(duì)此數(shù)值現(xiàn)象進(jìn)行定性分析,可得出結(jié)論:三維延拓Kantorovich法并不是二維延拓Kantorovich法的簡(jiǎn)單推廣,二者有著本質(zhì)的不同。

    三維延拓Kantorovich法;簡(jiǎn)單形式;迭代不收斂

    0 引 言

    在已有研究[1-4]的數(shù)值算例中,二維延拓Kantorovich法表現(xiàn)出顯著的計(jì)算優(yōu)越性,既有很高的計(jì)算精度,又有很高的計(jì)算效率。一元函數(shù)乘積和的函數(shù)逼近形式帶來(lái)很高的逼近精度,往往2~3項(xiàng)就有足夠的精度。對(duì)兩個(gè)維度“分而治之”的迭代策略大大減少了計(jì)算量,帶來(lái)很高的計(jì)算效率。

    考慮到延拓Kantorovich法具有高精度、高效率的特點(diǎn),尤其是“分而治之”的迭代策略在三維問(wèn)題中可能有高效率的表現(xiàn),因而將二維延拓Kantorovich法推廣到三維延拓Kantorovich法。原本預(yù)計(jì)該項(xiàng)新研究屬于推廣性研究,后來(lái)發(fā)現(xiàn)這低估了研究的意義和難度。通過(guò)大量數(shù)值算例發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新現(xiàn)象,即如果采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法,會(huì)遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。

    1 模型方程

    以三維立方體域上的Poisson方程為例,三維Poisson方程對(duì)應(yīng)的能量泛函為:

    其中Ω為規(guī)則區(qū)域[-a, a]×[-b, b]×[-c, c]。

    仿照二維延拓Kantorovich法,取試探函數(shù)構(gòu)造形式為:

    這種簡(jiǎn)單的函數(shù)構(gòu)造形式在三個(gè)維度上是對(duì)稱的。

    2 算法實(shí)施

    2.1 積分微分方程組

    將(2)式代入(1)式,通過(guò)取變分,可得到一套耦合的積分微分方程組為:

    邊界條件為:

    其中的各項(xiàng)系數(shù)為:

    2.2 迭代步驟

    因?yàn)樵冢?)式的函數(shù)逼近式中,三個(gè)維度輪換對(duì)稱,所以算法的迭代過(guò)程將按三個(gè)維度輪換迭代求解。一個(gè)循環(huán)過(guò)程由(a)→(b)→(c)共三步組成(不失一般性地,假定在第一步(a)中已知{X}、{Y}而去求{Z}):

    (a)固定{X}、{Y},則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組(3c)、(4c),求解常微分方程組(3c)、(4c)得{Z};

    (b)固定{Y}、{Z},則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組(3a)、(4a),求解常微分方程組(3a)、(4a)得{X};

    (c)固定{X}、{Z},則積分微分方程組簡(jiǎn)化為常微分方程組(3b)、(4b),求解常微分方程組(3b)、(4b)得{Y}。

    至此已完成了一個(gè)循環(huán)過(guò)程,檢驗(yàn)數(shù)值解的誤差是否已小于誤差限,若是則結(jié)束迭代,否則返回(a)進(jìn)入新一輪的循環(huán)。

    3 數(shù)值算例

    數(shù)值算例中的常微分方程組采用常微分方程求解器COLSYS[5-6]來(lái)求解。

    算例 三維Poisson方程。

    設(shè)定邊界條件為:u=0, on x=±a, y=±b, z=±c,給定數(shù)據(jù)為:a=b=c=1,f=2,如圖1所示。取初始試探函數(shù)為:

    計(jì)算結(jié)果由圖2~圖3給出。需要說(shuō)明的是,輪數(shù)與次數(shù)不同,輪數(shù)是指大的循環(huán)過(guò)程的個(gè)數(shù),而次數(shù)是指小的迭代步驟的個(gè)數(shù)。對(duì)于簡(jiǎn)單形式,每一輪循環(huán)里包含三次迭代。

    3.1 取兩項(xiàng)試探函數(shù)

    (1)前20輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移。由圖2可知,在前10輪循環(huán)內(nèi),迭代比較快地趨向于一個(gè)數(shù)值。但需要注意的是,迭代過(guò)程并不收斂,由局部放大圖可看出,后1 0輪循環(huán)的變化比較均勻,并不趨于收斂。

    圖1 三維Poisson方程

    (2)前1 000輪循環(huán)的后10輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移。由圖3可知,在后10輪循環(huán)內(nèi),迭代變化均勻。均勻的迭代變化趨勢(shì)顯示,這個(gè)迭代過(guò)程并不收斂。

    3.2 取三項(xiàng)試探函數(shù)

    限于篇幅,這里不再列出具體數(shù)據(jù)。取三項(xiàng)試探函數(shù)與取兩項(xiàng)試探函數(shù)相比,其迭代變化情況相似,后

    10 輪循環(huán)的迭代變化也均勻,迭代過(guò)程也并不收斂。

    以上數(shù)值試驗(yàn)表明,簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法,當(dāng)取多項(xiàng)時(shí)將遇到迭代不收斂的數(shù)值困難。盡管開(kāi)始階段能較快地(在10輪循環(huán)內(nèi))趨于某個(gè)固定值,但迭代過(guò)程仍不收斂,后面的迭代過(guò)程都在均勻地變化,沒(méi)有收斂的趨勢(shì)。

    圖2 前20輪循環(huán)的中心點(diǎn)位移及其后10輪的局部放大

    4 定性分析

    4.1 與二維延拓Kantorovich法的比較

    與二維延拓Kantorovich法相比,三維延拓Kantorovich法的迭代收斂更困難,其簡(jiǎn)單形式甚至迭代不收斂。

    (2)迭代效率。二維延拓Kantorovich法的迭代收斂非常迅速,一般只需2~3次迭代。簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法遇到了迭代不收斂的數(shù)值困難。

    4.2 迭代不收斂的原因

    在三維延拓Kantorovich法中,迭代不收斂的原因,可從最小計(jì)算代價(jià)的角度給出一個(gè)定性討論。

    對(duì)于簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法,多項(xiàng)試探函數(shù)的逼近精度較高,相應(yīng)地需要較高的計(jì)算代價(jià),而每個(gè)維度的計(jì)算量卻都很小,從而導(dǎo)致這種高逼近精度無(wú)法通過(guò)單個(gè)維度的計(jì)算量的累加達(dá)到??梢?jiàn),迭代不收斂似乎與計(jì)算代價(jià)過(guò)少有關(guān)。

    從這個(gè)角度看,三維延拓Kantorovich法要想實(shí)現(xiàn)迭代收斂,則不能過(guò)度地節(jié)省計(jì)算量,需要考慮增加更多的計(jì)算量。文獻(xiàn)[7-8]證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn):采用張量積的函數(shù)構(gòu)造形式,其中一個(gè)方向上有n2個(gè)函數(shù)變量,比起簡(jiǎn)單形式在每個(gè)方向上只有n個(gè)函數(shù)變量,函數(shù)變量的個(gè)數(shù)大大增加,相應(yīng)的計(jì)算量大大增加,結(jié)果實(shí)現(xiàn)了迭代收斂。張量積形式的中心點(diǎn)位移大約經(jīng)過(guò)3輪循環(huán)趨于收斂,其迭代計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

    表1 張量積形式的中心點(diǎn)位移的迭代計(jì)算結(jié)果

    5 結(jié)束語(yǔ)

    根據(jù)以上數(shù)值算例和定性分析,可得出關(guān)于三維延拓Kantorovich法的以下結(jié)論:

    (1)采用簡(jiǎn)單形式的三維延拓Kantorovich法會(huì)遇到數(shù)值困難。當(dāng)取多項(xiàng)試探函數(shù)時(shí),函數(shù)值迭代不收斂,泛函值的單調(diào)下降也極其緩慢;當(dāng)循環(huán)輪數(shù)非常高時(shí),這種均勻變化的不收斂趨勢(shì)更加明顯。

    (2)數(shù)值困難顯示,三維延拓Kantorovich法與二維延拓Kantorovich法有著本質(zhì)的不同。

    [1]KANTOROVICH L V,KRYLOV V L.Approximate Methods of Higher Analysis[M].New York:Interscience,1958.

    [2]KERR D.An Extension of the Kantorovich Method[J].Quarterly of Applied Mathematics,1968(26):219-229.

    [3]KERR A D,ALEXANDER H.An Application of the Extended Kantorovich Method to the Stress Analysis of a Clamped Rectangular Plate[J].Acta Mechanica,1968(2/3):180-196.

    [4]WEBBER J P H.On the Extension of the Kantorovich Method[J].The Aeronautical Journal,1970,74:146-149.

    [5]ASCHER U,CHRISTIANSEN J,RUSSELL R D.Collocation Software for Boundary-Value ODEs[J].ACM Transactions on Mathematical Software,1981(2):209-222.

    [6]袁駟.介紹一個(gè)常微分方程邊值問(wèn)題求解通用程序—COLSYS[J].計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用,1990(2):104-105.

    [7]林永靜,袁駟.張量積形式的三維延拓Kantorovich法[J].工程力學(xué),2012(5):8-12.

    [8]林永靜.張量積形式的三維延拓Kantorovich法求解彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題[J].現(xiàn)代工業(yè)經(jīng)濟(jì)和信息化,2016(6):110-112.

    [責(zé)任編輯:武云鵬]

    Iteration Non-Convergence Phenomenon of Three-Dimensional Extended Kantorovich Method

    LIN Yongjing (Architecture Engineering Department, Wenzhou Vocational & Technical College, Wenzhou, 325035, China)

    When two-dimensional extended Kantorovich method is introduced to three-dimensional extended Kantorovich method, a large number of numerical examples reveals a new phenomenon: if the simple three-dimensional extended Kantorovich method is used, the numerical difficulty of iteration non-convergence will occur.Qualitative analysis on this numerical phenomenon indicates that three-dimensional extended Kantorovich method is not a simple introduction of two-dimensional extended Kantorovich method, and they are different in nature.

    Three-dimensional extended Kantorovich method; Simple form; Iteration non-convergence

    10.13669/j.cnki.33-1276/z.2016.060

    TU318;O343.2

    A

    1671-4326(2016)03-0047-04

    2016-06-08

    浙江省教育廳一般科研項(xiàng)目(Y201225911);溫州市科技計(jì)劃項(xiàng)目(S20110002)

    林永靜(1975—),男,浙江樂(lè)清人,溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系講師,博士.

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