簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中彈簧振子周期公式的證明

張曉琳

高考越來(lái)越注重對(duì)基本知識(shí)、基本規(guī)律的考查，如：2015年北京卷23.（1）、2014年北京卷24.（1）、2013年北京卷24.（1）b等.我們復(fù)習(xí)時(shí)不能再是只通過(guò)做題來(lái)回顧知識(shí)，而是要把做題的時(shí)間省出來(lái)一些，去思考和自己推導(dǎo)學(xué)習(xí)到的概念和模型，真正通過(guò)思考與推導(dǎo)變成自身的理解.

但高中物理中有些公式或結(jié)果是直接給出而沒有推導(dǎo)或證明過(guò)程的，如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中彈簧振子的周期公式T=2πmk等.那么，此問題真的不能用中學(xué)的方法證明嗎？其實(shí)不然，下面我就用中學(xué)所學(xué)的方法證明之.

1參考圓的建立

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：

（1）動(dòng)力學(xué)特征：F=-kx，a=Fm=-kmx.

（2）參考圓：由實(shí)驗(yàn)可得，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)（彈簧振子m）在其直徑上的投影的運(yùn)動(dòng)，是以圓心O為平衡位置的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).通常稱這樣的圓為參考圓，半徑大小為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅A.

2證明過(guò)程

方法一利用機(jī)械能守恒定律.

既然勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么振子從P點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到任意一點(diǎn)N的線速度v的水平速度v2，與N到x軸的投影M的速度vM大小相等，方向相同.

方法二利用簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程求解，如圖2所示.

勻速圓周運(yùn)動(dòng)在x軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么振子從P點(diǎn)經(jīng)時(shí)間t運(yùn)動(dòng)到任意一點(diǎn)N到x軸的投影為M點(diǎn).

若規(guī)定沿x軸方向?yàn)檎较?，則M點(diǎn)的位移方程——（x是對(duì)平衡位置的位移）