星級復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性參數(shù)

張其斌，沙孝聰，王　娜，徐惠萍，馬　驥

（1.甘肅省計算中心，蘭州　730030；2.蘭州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)系，蘭州　730030）

星級復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性參數(shù)

張其斌1，沙孝聰2，王娜1，徐惠萍1，馬驥1

（1.甘肅省計算中心，蘭州730030；2.蘭州大學(xué) 計算機科學(xué)與技術(shù)系，蘭州730030）

在減少復(fù)雜子系統(tǒng)線性組合的系統(tǒng)復(fù)雜性中，可靠性參數(shù)扮演著非常重要的角色.本文定義了一種新的復(fù)雜系統(tǒng)，即star-k-out-of-n：F系統(tǒng)，而且同時計算了這個系統(tǒng)的可靠性參數(shù).

可靠性參數(shù)；復(fù)雜系統(tǒng)；star-k-out-of-n：F系統(tǒng)

0　引　言

在復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性分析中，復(fù)雜系統(tǒng)的失敗一般出現(xiàn)在線性平行系統(tǒng)的合并中.線性合并中的協(xié)同因素也就是可靠性參數(shù)，是由g（n,i）定義的，這就是

定義1把Fn定義為某個由n個落在［0，t］事件區(qū)間的部分組成，q表示在［0，t］區(qū)間內(nèi)每個系統(tǒng)組成部分失敗的可能性，而且r表示能造成整個復(fù)雜系統(tǒng)失敗的最小組成部分失敗數(shù).則整個系統(tǒng)失敗的可能性公式可以表示為

這樣的話，g（n,i）（r≤i≤n）可以被說成是可靠性參數(shù).

Petakos和Tsapelas［1］給出了可靠性參數(shù)的性質(zhì)，而且研究了star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的協(xié)調(diào)因素，star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)是在可靠性學(xué)說中最有趣的.Li和Zhao［2］指出g（n,i）獨立于時間的，而且僅僅是依賴系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu).對于其他關(guān)于k-out-of-n系統(tǒng)的理論，請參看文獻［3-11］.

在這篇論文中，我們介紹了star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)，而且研究了可靠性參數(shù).文章的結(jié)構(gòu)是∶第1節(jié)介紹可靠性參數(shù)的兩種性質(zhì)；第2節(jié)展示star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的定義；第3節(jié)stark-out-of-n∶F系統(tǒng)的可靠性分析.第4節(jié)提供一些數(shù)據(jù)表來證明這些協(xié)同因素；第5節(jié)總結(jié).

1　可靠性參數(shù)的性質(zhì)

首先，我們要展示可靠性參數(shù)的兩種有用的性質(zhì)（由K.Petakos和T.Tsapelas發(fā)現(xiàn)的）.用Z表示系統(tǒng)中失敗的組成部分，即有以下兩種性質(zhì)［1］.

2　Star-k-out-of-n:F系統(tǒng)

在真實的生活中，我們經(jīng)常遇到的情況是一個主要的組成部分控制系統(tǒng)的運行，而其他的組成部分為次要部分.比如說，在本地的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，服務(wù)器是主要部分，而其他的客戶端電腦則是輔助設(shè)備.如果服務(wù)器奔潰了，那么整個網(wǎng)絡(luò)就不會工作了.這樣的系統(tǒng)，就是我們所知道的star-k-out-of-n∶F系統(tǒng).

2.1Star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)

在star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)中存在一個主要的中心組成部分和n個葉子組成部分.我們用K1,n來表示star-k-out-of-n∶F系統(tǒng).例如，在圖1中展示了K1,4的結(jié)構(gòu)，頂點O是一個中心組成部分，然后其他的定點是葉子組成部分.

圖1　K1,4系統(tǒng)Fig.1　K1,4system

2.2Star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的失敗運行機制

在star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)中，有兩種系統(tǒng)崩潰的例子，分別是由中心組成部分和葉子組成部分的損壞造成的.

情況1∶中心節(jié)點崩潰.

情況2∶中心節(jié)點未發(fā)生崩潰，但是知道有k個葉子組成部分崩潰.

現(xiàn)在給star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)下定義.

定義2如果一個系統(tǒng)有2.1部分中的拓撲結(jié)構(gòu)而且有2.2中的失敗運行機制，那么它就會被稱為一個star-k-out-of-n∶F系統(tǒng).而且，如果一個系統(tǒng)中所有的組成部分都是獨立的，且可靠性都是相同的，那么這個系統(tǒng)就會被稱為是一個獨立的star-k-out-of-n∶F系統(tǒng).

3　Star-k-out-of-n:F系統(tǒng)的可靠性分析

在這個部分中，我們將計算star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)中的可靠性因子.

通過star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的崩潰機制，最小的可能導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰的節(jié)點崩潰數(shù)r=1.從式（1）中可以知道，所有組成系統(tǒng)的節(jié)點數(shù)目是n+1，star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的崩潰可能性可以用方程

來表示.

同樣地，通過式（2）可得

在式（3）和式（4）中，我們用gk（n+1,i）來表示star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的可靠性參數(shù).注意這些依然與參數(shù)k有關(guān).

作為本文的主要結(jié)果，我們給出定理1和定理2.

定理1獨立的star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)在某種條件下崩潰的可能性中，所能容忍的節(jié)點崩潰數(shù)量是

證明很明顯，在k=1或j≥k＞1的情況下，P［Fn|Z=j］=1.因此我們只需要考慮1≤j＜k的情況.

通過條件可能性公式

注意到star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)中共有n+1個相互獨立且失效的概率都為q的節(jié)點，所以Z服從參數(shù)為n+1和q的二項分布，即

用A表示中心組成部分崩潰，用X表示葉子組成部分崩潰的可能性，有

因為j＜k和A并沒有發(fā)生，所以

除此之外，因為｛Fn+1,Z=j,A｝?｛Fn+！,X=j-1,A｝?｛X=j-1,A｝，而且注意組成部分是相互獨立的，然后

很明顯，X服從參數(shù)n和q的二項分布，因此

而且因為

把式（8）和式（9）代入式（7），可得

把式（6）和式（10）代入式（5），可得

這樣的話就有

定理1被證明.從定理1，我們可以得到star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的可靠性參數(shù).

定理2獨立的star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)的可靠性參數(shù)方程式為

證明把式（12）代入式（4），可得

定理2被證明.

4　數(shù)值模擬

在這部分中，我們提供很多不同的數(shù)據(jù)表來證明gk（n+1,i）的價值.表1指的是star-2-out-of-10∶F系統(tǒng)；表2指的是star-3-out-of-10∶F系統(tǒng)，表3指的是star-4-out-of-10∶F系統(tǒng).

表1　star-2-out-of-10：F系統(tǒng)的相關(guān)性參數(shù)Tab.1　The reliability coefficients g（n，i）for a star-2-out-of-10：F system

表2　star-3-out-of-10：F系統(tǒng)的相關(guān)性參數(shù)Tab.2　The reliability coefficients g（n，i）for a star-3-out-of-10：F system

表3　star-4-out-of-10：F系統(tǒng)的相關(guān)性參數(shù)Tab.3　The reliability coefficients g（n，i）for a star-4-out-of-10：F system

5　總　結(jié)

star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)可靠性系數(shù)計算公式的給出，有利于我們評價分析系統(tǒng)的可靠性和并據(jù)此進一步進行最優(yōu)設(shè)計.

本文僅基于獨立star-k-out-of-n∶F系統(tǒng)得到了可靠性系數(shù).后續(xù)可研究非獨立或元件失效概率不同情形下系統(tǒng)的可靠性系數(shù)；研究其他復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性系數(shù)也是進一步的研究方向.

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［12］康慶德.組合學(xué)筆記［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

（責(zé)任編輯：李藝）

Reliability coefficient of star complex system

ZHANG Qi-bin1，SHA Xiao-cong2，WANG Na1，XU Hui-ping1，MA Ji1
（1.Gansu Computing Center，Lanzhou730030，China；2.Department of Computer Science and Technology，Lanzhou University，Lanzhou730030，China）

The reliability coefficients play an important role in the reduction of complex systems to a linear combination of parallel subsystems.This paper defines a new complex system，namely，star-k-out-of-n：F system，and calculates the reliability coefficients of this system.

reliability coefficient；complex system；star-k-out-of-n：F system

O213.5

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.02.006

1000-5641（2016）02-0045-06

2015-02

張其斌，男，副研究員，研究方向為數(shù)學(xué)計算機.E-mail：qibin zhang@163.com.

沙孝聰，男，碩士研究生，研究方向為計算機應(yīng)用.E-mail：475143533@qq.com.