十次對稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁彎曲問題

武亞楠，李聯(lián)和，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)　數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古　呼和浩特　010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)納米材料與技術(shù)重點實驗室，內(nèi)蒙古　呼和浩特　010021）

十次對稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁彎曲問題

武亞楠1，李聯(lián)和1，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古呼和浩特010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)納米材料與技術(shù)重點實驗室，內(nèi)蒙古呼和浩特010021）

本文基于十次對稱二維準(zhǔn)晶平面彈性問題的最終控制方程，發(fā)展了在自由端受集中力作用下懸臂梁彎曲問題的逆解法.通過引入滿足基本方程的試探應(yīng)力函數(shù)，結(jié)合聲子場和相位子場的應(yīng)力邊界條件，獲得了聲子場和相位子場位移的解析表達(dá)式.討論了施加載荷對聲子場與相位子場位移的影響.

準(zhǔn)晶；懸臂梁；逆解法；試探函數(shù)

1　引言

1984年Shechtman等［1］從實驗上發(fā)現(xiàn)了一類即區(qū)別于晶體又區(qū)別于非晶體的固體材料——準(zhǔn)晶.2009年準(zhǔn)晶的研究取得了突破性的進展［2］，科學(xué)家在自然界中發(fā)現(xiàn)了準(zhǔn)晶.準(zhǔn)晶的發(fā)現(xiàn)改變了凝聚態(tài)物理把固體劃分成晶體和非晶體的傳統(tǒng)概念，揭示了一種新的對稱性準(zhǔn)周期對稱性的存在，極大的深化了人們對晶體學(xué)和凝聚態(tài)物理的認(rèn)識.

由于準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，使其彈性理論的研究存在著較大的困難.研究者們成功發(fā)展了群理論［3］、積分變換法［4，5］、格林函數(shù)法［6，7］、復(fù)變函數(shù)法［8-10］及Stroh公式［11］等方法研究準(zhǔn)晶的彈性和缺陷問題.

在工程應(yīng)用中，梁結(jié)構(gòu)被大量地使用，長期以來，許多學(xué)者對梁的理論進行了大量研究.然而到目前為止，關(guān)于準(zhǔn)晶材料梁理論的研究較少.文獻［12-14］給出了一維、二維準(zhǔn)晶梁平面問題的控制方程和基本解，為進一步研究準(zhǔn)晶梁理論奠定了基礎(chǔ).

本文采用逆解法研究了十次對稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁彎曲問題，有效地避免了直接求解復(fù)雜的準(zhǔn)晶彈性理論偏微分方程邊值問題.先給出準(zhǔn)晶懸臂梁的試探應(yīng)力函數(shù)，然后根據(jù)本構(gòu)關(guān)系、邊界條件等求出其位移表達(dá)式，并討論了在集中力作用下聲子場和相位子場位移變化的規(guī)律.

2　基本方程

若考慮三維彈性準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)在z軸方向的尺寸較其它兩個方向小得多，力全部作用在x-y平面內(nèi)且不沿z軸方向變化，此時問題可以簡化為x-y平面內(nèi)的平面應(yīng)力問題.

圖1　準(zhǔn)晶懸臂梁

考慮如圖1所示的對稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁［15］.假設(shè)z軸為二維十次對稱準(zhǔn)晶周期方向，x-y平面為準(zhǔn)周期平面，懸臂梁長l、高h(yuǎn)、厚b，其厚度遠(yuǎn)小于長度及高度，自由端受x-y平面內(nèi)的集中力的作用，不計體力.

根據(jù)準(zhǔn)晶彈性理論［3］，我們有變形幾何方程

平衡方程（體力忽略的情況）

和廣義胡克定律

其中

為聲子場彈性常數(shù).方程（1）和（2）采用了張量記號.εij和wij表示聲子場和相位子場的應(yīng)變分量，ui和wi表示聲子場和相位子場位移分量，σij和Hij表示聲子場和相位子場應(yīng)力分量，Cijkl，Kijkl和Rijkl分別表示聲子場、相位子場和聲子場和相位子場耦合彈性常數(shù).

由變形幾何方程（1），可得變形協(xié)調(diào)方程：

3　十次對稱二維準(zhǔn)晶懸臂梁受集中力下的解析解

如果我們引入應(yīng)力勢?（x，y），ψ1（x，y），ψ2（x，y）如下

那么平衡方程（2）將自動滿足.根據(jù)廣義胡克定律（3），可得到用應(yīng)力分量表示的所有的應(yīng)變分量.引入新的應(yīng)力勢函數(shù)G如下

其中

并且應(yīng)力勢函數(shù)滿足四重調(diào)和方程

那么方程組（1）-（3）將自動滿足，即十次對稱二維準(zhǔn)晶平面彈性問題的最終控制方程是一個四重調(diào)和方程.

針對本文考慮的懸臂梁問題，我們?nèi)M足最終控制方程（8）的試探函數(shù)為

那么由方程（7）可得

根據(jù)圣維南原理，準(zhǔn)晶懸臂梁放松的邊界條件為：

將方程（11）-（13）代入到（6）中得到相應(yīng)的應(yīng)變函數(shù)，分別對應(yīng)變函數(shù)εxx和εyy積分可以得到：

用位移來表示的應(yīng)變εxy與用應(yīng)力來表示的應(yīng)變εxy的兩個表達(dá)式令其相等并移項整理得

這里Q3、Q4均為常數(shù).將β（x），α（y）代入方程（15），根據(jù)邊界條件：x=l，y=0，ux=uy=0，解得

同理能夠得到相位子場用應(yīng)力表示的應(yīng)變和用位移來表示的應(yīng)變，用應(yīng)力表示的應(yīng)變wxy、wyx的和與位移來表示的應(yīng)變wxy、wyx的和相等并移項整理得：

這里E1，E2，E3，E4均為常數(shù).將γ（x），ρ（y）代入方程，根據(jù)相位子場邊界條件：解得

圖2　ux隨y的變化趨勢

圖3　uy隨y的變化趨勢

圖4　wx隨y的變化趨勢

圖5　wy隨y的變化趨勢

4　算例

為了檢驗以上表達(dá)式，用Matlab軟件畫圖，圖2-5分別給出處的位移ux、uy、wx和wy隨y坐標(biāo)軸的變化規(guī)律.

其中的常數(shù)為：

C11=23.432GPa，C12=5.741GPa，K1=12.2GPa

K2=2.4GPa，R=-0.11GPa，P=2×106Pa，l=0.5m，

h=0.05m，b=0.005m

由Matlab所繪制的聲子場和相位子場位移隨y的變化趨勢，我們能夠看出：

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O346.1

A

1673-260X（2016）10-0001-04

2016-06-13

國家自然科學(xué)基金（11462020，11262107，11262012）；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金（2015JQ01，2015MS0129）和內(nèi)蒙古青年科技英才項目（NJYT-13-B07）資助的課題