基于龍格庫塔法解析雙液體變焦透鏡的初始特性

湯征洋,　彭潤(rùn)玲,　陳家璧,　莊松林

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海　200093)

?

基于龍格庫塔法解析雙液體變焦透鏡的初始特性

湯征洋,彭潤(rùn)玲,陳家璧,莊松林

(上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海200093)

雙液體變焦透鏡受電潤(rùn)濕效應(yīng)驅(qū)動(dòng),其焦距的變化完全取決于兩種液體之間接觸面的變化.通過Yang方程推導(dǎo)得到描述接觸面的微分方程并以此分析雙液體變焦透鏡內(nèi)導(dǎo)電液體、絕緣液體、容器內(nèi)壁三者間的物理化學(xué)性質(zhì)對(duì)初始接觸面形貌及初始特性的影響.利用Matlab結(jié)合龍格庫塔法以數(shù)值解描述雙液體變焦透鏡的接觸面特性,并且結(jié)合具體試劑的物理性質(zhì)在ZEMAX中模擬單透鏡成像.最后在實(shí)驗(yàn)中對(duì)比驗(yàn)證得到,存在密度差的雙液體變焦透鏡接觸面的面型為非球面,且經(jīng)過接觸面形貌調(diào)制的雙液體變焦透鏡擁有更好的邊緣成像質(zhì)量,使得雙液體變焦透鏡在小型化成像系統(tǒng)中有著巨大的應(yīng)用前景.

雙液體變焦透鏡; 非球面; 龍格庫塔法

當(dāng)前光學(xué)系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)的要求越來越多地集中于體積小型化,在此基礎(chǔ)上對(duì)自變焦元器件的研究逐漸加深,其中雙液體變焦透鏡是一個(gè)重要的研究方向.雙液體變焦透鏡通過外接的電壓變化,增加或降低固-液張力,驅(qū)使液體接觸面在初始面型基礎(chǔ)上產(chǎn)生形變,形成新的光學(xué)折射面.變化的接觸面在相同的高度具有變化的斜率,根據(jù)幾何光學(xué)原理,光線在變化的入射角度下,形成不同程度的折轉(zhuǎn),最終光束的匯聚點(diǎn)在一定范圍內(nèi)產(chǎn)生前后位移,實(shí)現(xiàn)變焦.因此,接觸面的初始面型對(duì)透鏡焦距的變化范圍,及變焦過程中成像的質(zhì)量有著決定性作用.本文根據(jù)接觸面的微分方程,重點(diǎn)分析兩種液體密度差對(duì)初始面型及透鏡初始焦距的影響.相比于等密度,球型接觸面的液體透鏡和非球型接觸面的液體透鏡,受頂點(diǎn)曲率半徑、兩種液體間密度差,以及固-液張力的影響,接觸面方程影響因子更豐富,面型變化更多樣,應(yīng)用領(lǐng)域亦更廣闊,使得雙液體變焦透鏡在小型化光學(xué)系統(tǒng)中具有極大的前景.

1　雙液體變焦透鏡原理與結(jié)構(gòu)

當(dāng)兩種性質(zhì)不同的相態(tài)共存時(shí),兩者之間必然產(chǎn)生一個(gè)界面.界面層的分子處于不均勻?qū)ΨQ的力場(chǎng)中,會(huì)顯示出一些獨(dú)特的性質(zhì),浸潤(rùn)作用便是其中的一種[1-2].例如當(dāng)液體與固體接觸時(shí),在接觸處會(huì)形成一個(gè)約幾個(gè)分子厚度的過渡區(qū),其內(nèi)部的分子一方面受到本相內(nèi)部相同物質(zhì)分子的作用,另一方面受到另一相中不同分子的作用,兩種分子作用力不能相互抵消,便會(huì)產(chǎn)生收縮或擴(kuò)展的趨勢(shì).如圖1所示,浸潤(rùn)作用兩兩存在于液體、氣體與固體三者之間.這種情況下,當(dāng)各個(gè)方向上的力達(dá)到平衡時(shí),其表面張力的關(guān)系可以用Young方程來描述,即

(1)

式中:γsg為固-氣間的張力;γsl為固-液間的張力;γlg為液-氣間的張力；θ為液-氣表面與固體層間的接觸角大小.

圖1　浸潤(rùn)作用

電潤(rùn)濕效應(yīng)是一種表面物理化學(xué)現(xiàn)象,通過變化外加在固-液表面的電壓,控制液體在固體表面的浸潤(rùn)性[3-4].圖2中的簡(jiǎn)易模型描述了在外加電壓U作用下,導(dǎo)電液體與絕緣層間的浸潤(rùn)性發(fā)生改變,即式(1)中固-液間的張力γsl發(fā)生改變[5].此時(shí),三相接觸點(diǎn)處形成新的力學(xué)平衡,使得固-液接觸角從θ過渡到θ0,可用式(2)表示.因?yàn)橐旱慰傮w積恒定不變,故液滴的表面輪廓就由圖2中實(shí)線變成了虛線.

(2)

式中:Δγsl為固-液張力在外加電壓下的變化量;θ0為液-氣表面與固體層間新形成的接觸角大小.

圖2　電潤(rùn)濕現(xiàn)象

雙液體透鏡采用圓柱形金屬管作為容器,這樣的結(jié)構(gòu)可使液體間接觸面的面型形成中心對(duì)稱的圓弧面,用幾何方法實(shí)現(xiàn)光學(xué)的中心對(duì)稱,固定電極(金屬管壁)亦可繞固定中心軸線形成環(huán)形對(duì)稱電場(chǎng)[6].如圖3所示,首先在圓管內(nèi)壁形成絕緣層,之后在圓管內(nèi)封裝互不相容的水溶性導(dǎo)電液體和油性絕緣液體,兩種液體折射率互不相同,其結(jié)構(gòu)類似于雙膠合透鏡,在材料確定的情況下焦距完全取決于液體間界面的面型.導(dǎo)電液體、金屬外壁分別與外部電源相連,油性液體只與絕緣層接觸.由于浸潤(rùn)作用,兩種不同液體間產(chǎn)生一個(gè)圓弧面,稱為雙液體變焦透鏡的初始接觸面.當(dāng)外部電壓發(fā)生變化時(shí),接觸角θ響應(yīng)電潤(rùn)濕效應(yīng)發(fā)生變化,擠壓絕緣液體,帶動(dòng)接觸面發(fā)生形變.由于兩種液體的折射率不同,接觸面的面型發(fā)生變化,透鏡的焦距發(fā)生改變,其過程等同于用若干焦距不同的雙膠合透鏡相互替換.

圖3　雙液體變焦透鏡原理

2　雙液體變焦透鏡的面型解析

雙液體變焦透鏡的接觸面是一個(gè)中心對(duì)稱結(jié)構(gòu),所以只需要一個(gè)過中心軸線截面的曲線方程即可描述整個(gè)曲面,雙液體透鏡的接觸面如圖4所示.兩種液體的接觸面關(guān)于y軸對(duì)稱,選取如圖4所示的坐標(biāo)系,接觸面中心截面上的曲線可用方程y(x)表示.

圖4　雙液體變焦透鏡接觸面

根據(jù)Laplace公式[6-8],液體接觸面上任何一點(diǎn)都滿足方程

(3)

式中:ΔP為接觸面上任意點(diǎn)的上下壓力差;γ12為兩種液體接觸面上的張力;R1和R2為接觸面上任意點(diǎn)的兩個(gè)正交法平面與接觸面的交線在該點(diǎn)上的曲率半徑.根據(jù)圖4所示的曲線方程y(x),半徑R1和R2分別表示為

(4)

(5)

式(4)～(5)中,y′(x),y″(x)分別為方程y(x)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).因?yàn)榻佑|面關(guān)于y軸中心對(duì)稱,故假設(shè)曲線頂點(diǎn)在(0,y0)處,那么在曲線頂點(diǎn)處由于對(duì)稱性R1與R2相等,表示為R0,且當(dāng)容器較小時(shí)頂點(diǎn)處曲率半徑近似等于容器半口徑.此時(shí)在頂點(diǎn)處,上、下壓力值分別為P10,P20,并且頂點(diǎn)處的Laplace方程表示為

(6)

根據(jù)液體壓力公式,曲線y(x)上每一點(diǎn)上下壓力P1和P2都隨y方向成線性變化關(guān)系,則

(7)

(8)

式(7)～(8)中,ρ1和ρ2分別表示兩種液體的密度,g為重力加速度,因此任意點(diǎn)上下壓力差可以表示為

(9)

聯(lián)立式(3)～(6)和式(9),得到曲線y(x)的微分方程為

(10)

3　龍格庫塔法求解液體接觸面

為了求解式(10)的微分方程,引入弧長(zhǎng)變量s,表示曲線上任意點(diǎn)離開曲線頂點(diǎn)的距離[9-10];角度φ,表示任意點(diǎn)處切線與水平方向的夾角.如圖4所示,根據(jù)三角關(guān)系,直角坐標(biāo)系參數(shù)x和y分別與弧長(zhǎng)s、角度φ有如下關(guān)系:

(11)

(12)

聯(lián)立式(10)～(12),得到曲線化簡(jiǎn)的一階微分方程為

(14)

a為接觸面過中心截面的半弧長(zhǎng),若在點(diǎn)sn處列出該點(diǎn)方程,并用差商

(15)

代替φ′(sn),結(jié)果近似有

(16)

式中:h=sn+1-sn為步長(zhǎng);K=f(sn,φ(sn))為區(qū)間[φn,φn+1]上的平均斜率.在此基礎(chǔ)上,引入四階龍格庫塔法對(duì)平均斜率K提供一種算法,用以提高計(jì)算精度.

龍格庫塔法的設(shè)計(jì)思想是在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)Sn和Sn+1之間多預(yù)報(bào)幾個(gè)點(diǎn)的斜率值K1,K2,K3,K4,然后將這幾個(gè)斜率按照一定的方式加權(quán)平均,其結(jié)果作為最終的平均斜率K的近似值[11].接觸面方程的四階龍格庫塔表達(dá)式如下:

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

圖5　龍格庫塔法模擬接觸面

根據(jù)圖5可以得到:當(dāng)雙液體變焦透鏡的密度差為0時(shí),接觸面為球面;當(dāng)雙液體變焦透鏡的兩種液體間存在密度差時(shí),接觸面呈現(xiàn)非球面,并且距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)則偏離球面越多.

4　雙液體變焦透鏡的實(shí)驗(yàn)分析

雙液體變焦透鏡在容器內(nèi)封裝等量的導(dǎo)電液體和絕緣液體,絕緣液體密度固定不變,導(dǎo)電液體的密度可任意調(diào)配.實(shí)驗(yàn)中選取內(nèi)直徑為10 mm,高度為10 mm的玻璃圓管作為容器,方便觀察初始面型的變化.另外選取絕緣液體溴代十二烷(折射率1.458 0,密度1.037 5 g/cm3)和導(dǎo)電液體硫酸鈉溶液(折射率1.339 4,密度可調(diào)).雙液體變焦透鏡的初始結(jié)構(gòu)及其性能可分為密度相等和密度不等兩種情況.

4.1密度相等的雙液體變焦透鏡

圖6(a)中的豎線為雙液體變焦透鏡的中心對(duì)稱線,由于兩種液體等量封裝,故圖中灰色面積應(yīng)與藍(lán)色面積相等.根據(jù)幾何關(guān)系可以得到液體接觸面頂點(diǎn)偏離中心對(duì)稱線的距離d為

(22)

R=5 mm為容器的半口徑,此時(shí)d=1.073 mm.圖6(b)為密度相同的雙液體變焦透鏡的實(shí)物圖.

圖6　球形接觸面透鏡結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)選取液體的物理性質(zhì)及接觸面的面型在ZEMAX中模擬成像結(jié)果(見圖7(a)),透鏡焦距為42.15 mm,彌散斑直徑為5.8 mm,中心光束成像較好,但是邊緣處存在明顯相差.其實(shí)際成像效果如圖7(b)所示.

圖7　球形接觸面透鏡成像分析

4.2密度不等的雙液體變焦透鏡

圖8　非球形接觸面透鏡結(jié)構(gòu)分析

根據(jù)選取液體的物理性質(zhì)及接觸面的面型在ZEMAX中模擬成像結(jié)果(見圖9(a)),相比球面時(shí),邊緣光線的相差變小,整體成像質(zhì)量更好了,而焦距變化至44.45 mm,彌散斑直徑減小至0.2 mm.其實(shí)際成像效果如圖9(b)所示.

圖9　非球形接觸面透鏡成像分析

通過對(duì)比得到,非球面的雙液體變焦透鏡通過改變導(dǎo)電液體的密度,可以變化初始接觸面的曲率并調(diào)制透鏡焦距,其初始狀態(tài)的邊緣光線成像質(zhì)量更好,液體透鏡擁有很高的靈活性.

5　結(jié)　論

通過理論分析和實(shí)驗(yàn)對(duì)比可得,初始狀態(tài)下的雙液體變焦透鏡,當(dāng)液體間存在密度差時(shí),接觸面的面型為偏離球面的一個(gè)非球面,其偏移量可以根據(jù)所選溶液間的張力與密度差進(jìn)行調(diào)制,為雙液體變焦透鏡的接觸面提供了更大的選擇范圍,并使得雙液體變焦透鏡的應(yīng)用面更廣闊.非球面的雙液體變焦透鏡在中心近軸的區(qū)域成像質(zhì)量與球面液體透鏡相差不大,但是在接觸面邊緣的地方有著明顯的不同,其球差更小,相應(yīng)的彌散斑更小,成像質(zhì)量明顯優(yōu)于球面液體透鏡.在后續(xù)的系統(tǒng)設(shè)計(jì)中,基于非球面的雙液體變焦透鏡很大程度上減小了光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)難度,且給予無機(jī)械變焦系統(tǒng)更好的光學(xué)性能.

[1]亞當(dāng)森.表面的物理化學(xué)[M].3版.顧惕人,譯.北京:科學(xué)出版社,1984.

[2]張福田.分子界面化學(xué)基礎(chǔ)[M].上海:上海科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社,2006.

[3]LEE J.KIN CJ C.Liquid micro motor driven by continuous electrowetting[C]∥Proceedings of the Eleventh Annual Internatoional Workshop on Micro Electro Mechanical Systems.Heidelberg:IEEE,1998:538-543.

[4]王剛,賈志海,賀吉昌,等.微結(jié)構(gòu)疏水表面的液滴浸潤(rùn)特性[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2015,37(6):557-562.

[5]詹珍賢,王克逸,丁志中,等.液滴透鏡在電場(chǎng)中的變形研究[J].光子學(xué)報(bào),2009,38(11):2900-2903.

[6]彭潤(rùn)玲,陳家璧,莊松林.電濕效應(yīng)變焦光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析[J].光學(xué)學(xué)報(bào),2008,28(6):1141-1146.

[7]YOUNG T.An essay on the cohesion of fluids [J].Philosophical Transactions of the Royal Society of London,1805,95:65-87.

[8]ROURA P.Thermodynamic derivations of the mechanical equilibrium conditions for fluid surfaces:Young’s and Laplace’s equations [J].American Journal of Physics,2005,73(12):1139-1147.

[9]胡健偉,湯懷民.微分方程數(shù)值方法[M].北京:科學(xué)出版社,1999.

[10]時(shí)寶,張德存,蓋明久.微分方程理論及其應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2005.

[11]LIN R T,WANG C,LIU F,et al.A new numerical method of nonlinear equations by four order Runge-Kutta method [C]∥Procecdings of the IEEE International Conference Industrial Engineering and Engineering Management (IEEM).Macao:IEEE,2010:1295-1299.

[12]莫勒.MATLAB數(shù)值計(jì)算[M].張志涌,譯.北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2013.

(編輯:丁紅藝)

Analysis on the Initial Property of Double-liquid Lens Based on Runge-Kutta Method

TANG Zhengyang,PENG Runling,CHEN Jiabi,ZHUANG Songlin

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

Double-liquid lens is based on the electro-wetting effect.The focal length of double-liquid lens is mainly decided by the refractive indexes of the two kinds of liquid and the interface between them.The differential equation describing the interface was derived with the aid of Yang function and on this basis,the influences of the physicochemical properties of conducting liquid,insulating liquid and container on the interface were analyzed.Using Matlab and ZEMAX,the numerical solution was calculated by Runge-Kutta method to describe the property of the initial interface.The results were compared with the experimental ones and prove that the double-liquid lens with density difference will shape the interface into an aspheric surface and it can perform better than the one without density difference,which makes double-liquid lens more potential in the field of mini optical system.

double-liquid lens; aspheric surface; Runge-Kutta method

1007-6735(2016)04-0352-05

10.13255/j.cnki.jusst.2016.04.008

2015-10-12

國(guó)家973計(jì)劃資助項(xiàng)目(2005CB724304);國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60778031)

湯征洋(1991-),男,碩士研究生.研究方向:液體透鏡.E-mail:13788986898@163.com

彭潤(rùn)玲(1978-),女,副教授.研究方向:無機(jī)械變焦運(yùn)動(dòng).E-mail:pengrunling@gmail.com

TN 942.2+1

A