一問到底，追本溯源

丁芳

摘要："問題"是數(shù)學(xué)的心臟，在一節(jié)課中，只有課前精心設(shè)計問題，課堂善于發(fā)現(xiàn)問題，課后積極反思問題，才能使課堂達(dá)到高效。

關(guān)鍵詞：問題；設(shè)計問題；發(fā)現(xiàn)問題；反思問題

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2016）10-0034-02

"問題"是數(shù)學(xué)的心臟，在一節(jié)課中，只有課前精心設(shè)計問題，課堂善于發(fā)現(xiàn)問題，課后積極反思問題，才能使課堂達(dá)到高效。

1.課前精心設(shè)計問題

在備課的時候，教師要抓住本節(jié)課的"核心概念"，圍繞"核心概念"去設(shè)計問題，所有的問題都應(yīng)該是為"核心概念"服務(wù)的。

在"正弦定理"一節(jié)課中，其核心概念就是"正弦定理"。首先對這個"核心概念"的解讀是非常重要的，下面是我的理解：

"正弦定理"的探究是對三角形中"大邊對大角"的進(jìn)一步的定量的刻畫，由感性到理性的升華的過程，是對直角三角形中邊角定量關(guān)系的一個推廣的過程，是特殊到一般的一個合情推理，是對運(yùn)動變化中不變規(guī)律的一個發(fā)現(xiàn)。

"正弦定理"的證明是將"任意三角形"化歸為"直角三角形"的一個轉(zhuǎn)化過程，是一個構(gòu)建的過程，是一個進(jìn)行合理分類討論的過程。

"正弦定理" 的應(yīng)用是從方程的角度來理解定理，用定理可以解決兩類解三角形問題（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。對于解三角形中解的個數(shù)問題，與全等三角形的判定定理有著實(shí)證與理論的關(guān)系，從而更加深刻地理解"全等三角形的判斷定理"。

針對"核心概念"解讀，我建構(gòu)了以下的問題串：

正弦定理的探究

問題1：回顧任意三角形及直角三角形中的邊角關(guān)系；猜想直角三角形的"定量"的邊角關(guān)系是否可以推廣到任意三角形？

正弦定理的證明

問題2：求證在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

asinA=bsinB=csinC

正弦定理的再探究

問題3：這樣的正弦定理asinA=bsinB=csinC是不完整的，這個比值是什么呢？

正弦定理的再證明

問題4：求證在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等且為外接圓的直徑asinA=bsinB=csinC=2R，

正弦定理的應(yīng)用

問題 5：從方程的角度，正弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問題呢？

（1）已知三角形的任意兩個角與一邊，求其他兩邊和另一角。

（2）已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，計算另一邊的對角，進(jìn)而計算出其他的邊和角。

2.課堂善于發(fā)現(xiàn)問題

課堂是教師與學(xué)生共同的課堂，無論老師做好多充分的準(zhǔn)備與預(yù)設(shè)，總是有"意外"發(fā)生，這個時候老師就要善于發(fā)現(xiàn)問題，通過"問題"讓學(xué)生從表像抵達(dá)本質(zhì)，從誤區(qū)走向正途，只有"及時""恰當(dāng)"的問題，才能使得"事半功倍"。

在《數(shù)學(xué)歸納法》一節(jié)中，當(dāng)學(xué)生看完"多米諾骨牌"的實(shí)驗視頻后，提出了這樣的一個問題：要使得多米諾骨牌全部倒下的條件？有個學(xué)生答：第一塊要倒下，第二是要擺好。顯然第二個條件并沒有回答到本質(zhì)上。所以我繼續(xù)追問：什么叫擺好？學(xué)生回答：相鄰的兩塊骨牌距離不能太遠(yuǎn)?？磥磉€得幫她推一把，我繼續(xù)問到：相鄰的兩塊骨牌距離不能太遠(yuǎn)的目的何在？學(xué)生回答：為了保證當(dāng)前一塊當(dāng)下的時候，能保證后一塊倒下。這才是"多米諾骨牌"游戲的原理，即為數(shù)學(xué)歸納法中的"歸納遞推"。

在《數(shù)列的概念與簡單表示法》一節(jié)中，在問題：數(shù)列與數(shù)集有什么區(qū)別？學(xué)生回答到：數(shù)列是可重復(fù)的，是有序的；而數(shù)集是互異的，是無序的。顯然最根本的原因還未找到，于是，繼續(xù)追問：這兩個區(qū)別中哪個是最關(guān)鍵的因素呢？學(xué)生回答：有序性。當(dāng)然還未結(jié)束，這個有序性正是數(shù)列成為特殊函數(shù)的的根本，所以，繼續(xù)提問：這個有序性是如何表達(dá)的呢？你可以用以前的什么知識來刻畫數(shù)列的有序性呢？即序號 與 是一個對應(yīng)關(guān)系，所以數(shù)列是一個特殊的函數(shù)。

在數(shù)學(xué)課堂中，除了以上的這樣的追問，還有一種更重要的方式是通過學(xué)生在黑板上的板演來發(fā)現(xiàn)問題。

在《數(shù)學(xué)歸納法》一節(jié)中，當(dāng)場練習(xí)了這樣一道題：

提問：請大家說說這三種做法哪些對？哪些錯？錯在何處？

學(xué)生二就是反應(yīng)了學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法的第二個步驟即"歸納遞推的"不理解，在第二步中，不僅要證明當(dāng)n=k+1猜想成立，而且一定要利用"假設(shè)"即n=k時Sk=kk+1這個條件，這樣才證明了遞推關(guān)系的成立，才使得通過步驟（1）（2）能證明對Sn=nn+1對任意的n∈N都成立。第二個"歸納遞推"本質(zhì)是證明一個"若p則q"形式的命題成立，其中條件p即為：當(dāng)n=k時，猜想成立；結(jié)論q即為：當(dāng)n=k+1猜想成立。

在課堂上之前也強(qiáng)調(diào)過這個問題，有些學(xué)生不以為意，通過學(xué)生的當(dāng)場練習(xí)，即使糾錯，進(jìn)一步地理解"數(shù)學(xué)歸納法"的"歸納遞推"的本質(zhì)。

同時，發(fā)現(xiàn)這個問題，教師及時補(bǔ)充了一道后續(xù)的練習(xí)題：

優(yōu)化設(shè)計第63頁提升第5題：某個與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當(dāng)n=k時命題成立，則可以推出當(dāng)n=k+1時該命題也成立?，F(xiàn)已知n=5時命題不成立，那么可以推出（ ）

A當(dāng)n=4時命題不成立B當(dāng)n=6時命題不成立

C當(dāng)n=4時命題成立D當(dāng)n=4時命題成立

設(shè)計意圖就是為了進(jìn)一步理解"歸納遞推"中的遞推關(guān)系，讓學(xué)生掃清知識盲點(diǎn)，及時地"迷途歸返"。

3.課后積極反思問題

俗話說：課堂永遠(yuǎn)是有遺憾的。每一節(jié)課上完總是有那么點(diǎn)缺憾，唯一能做的是積極反思，彌補(bǔ)缺憾。一種是自查，第二是同事的寶貴意見，第三，通過翻閱相關(guān)的論文也是一種極好的方法。

一次在閱讀張奠宙教授的教育隨筆里談到："道德經(jīng)"與數(shù)學(xué)歸納法。道德經(jīng)的名句：道生一，一生二，二生三，三生萬物。這豈不是中國版的自然數(shù)公嗎？品味細(xì)細(xì)道德經(jīng)"和"數(shù)學(xué)歸納法"的關(guān)系，真的非常貼切。一生二，二生三，相當(dāng)于數(shù)學(xué)歸納法中n=1，n=2時，命題成立的要求。而"三生萬物"關(guān)鍵是必須要每個與n有關(guān)的命題都能"生"出與n+1有關(guān)的命題，這是數(shù)學(xué)歸納法中"無限遞推"的精髓。

讀罷，猶如沐浴春風(fēng)，一語道破天機(jī)。課堂已然結(jié)束，下次的"數(shù)學(xué)歸納法"必然也要讓學(xué)生們"沐浴春風(fēng)"。

在教學(xué)中，作為主導(dǎo)者的教師，只有在每個環(huán)節(jié)提出"好的問題"才能有高效的課堂。