滾子直徑誤差及排布對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響*

陳振強(qiáng)，薛玉君,，余永健，李濟(jì)順，馬 偉,

(河南科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471003)

?

滾子直徑誤差及排布對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響*

陳振強(qiáng)a，薛玉君a,b，余永健b，李濟(jì)順b，馬 偉a,b

(河南科技大學(xué) a.機(jī)電工程學(xué)院；b.河南省機(jī)械設(shè)計(jì)及傳動(dòng)系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽 471003)

根據(jù)圓柱滾子軸承各零件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系及幾何關(guān)系，建立了軸承外圈徑向跳動(dòng)數(shù)學(xué)模型；分析了軸承外圈徑向跳動(dòng)的算法原理，并對(duì)軸承的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行數(shù)值仿真；在不考慮軸承內(nèi)、外圈滾道和滾子圓度誤差的情況下，研究了滾子直徑誤差及滾子排布方式對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響。結(jié)果表明：當(dāng)兩個(gè)滾子直徑誤差均為-1.5μm時(shí)，有誤差的兩個(gè)滾子相鄰排布對(duì)軸承外圈的徑向跳動(dòng)有較大影響。當(dāng)多個(gè)滾子直徑誤差相同且相鄰排布時(shí)，軸承外圈的徑向跳動(dòng)相等。

圓柱滾子軸承；滾子直徑誤差；軸承外圈；徑向跳動(dòng)

0 引言

軸承元件在制造過程中會(huì)形成圓度誤差、粗糙度等幾何誤差。軸承各元件的幾何誤差是影響軸承內(nèi)外圈徑向跳動(dòng)的重要因素。

史文祥等[1]和宋飛等[2]在已知圓柱滾子軸承套圈滾道存在圓度誤差的條件下，通過仿真得到其徑向跳動(dòng)變化曲線，并分析了外圈徑向跳動(dòng)與外圈滾道圓度誤差諧波階數(shù)、諧波系數(shù)的關(guān)系。吳柏華等[3]和李傳順等[4]從深溝球軸承內(nèi)部幾何關(guān)系入手，考慮了滾動(dòng)體的直徑誤差、內(nèi)外圈滾道的圓度誤差等，著重分析了滾動(dòng)體的直徑誤差以及內(nèi)外圈滾道圓度誤差對(duì)深溝球軸承非重復(fù)性跳動(dòng)的影響規(guī)律。王寶坤等[5]在考慮軸承內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下，討論了滾子直徑誤差對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響。Noguchi等[6]從理論上研究了波紋度和滾動(dòng)體的直徑偏差對(duì)軸承徑向非重復(fù)性跳動(dòng)的影響規(guī)律。Okamoto[7]通過試驗(yàn)獲得球軸承外圈形狀精度和球的尺寸差對(duì)內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)時(shí)軸心的影響，并論證了跳動(dòng)的性質(zhì)。袁幸等[8]研究了軸承鋼球個(gè)數(shù)及鋼球誤差對(duì)軸承非重復(fù)性跳動(dòng)影響。趙前程等[9-10]在建立軸承模型和表征軸承元件誤差方面都有自己的見解。

滾子直徑和帶誤差滾子的排布方式是影響軸承徑向跳動(dòng)的關(guān)鍵因素，本文以圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，在不考慮內(nèi)外圈及滾子的圓度誤差情況下，分析滾子直徑誤差及其滾子的排布方式對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響，為設(shè)計(jì)和研發(fā)高精度圓柱滾子軸承提供理論支持。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 基本假設(shè)

(1)內(nèi)圈固定，滾子和外圈滾道在徑向平面內(nèi)做平面內(nèi)的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。各元件之間運(yùn)動(dòng)為純滾動(dòng)，初始運(yùn)動(dòng)時(shí)滾子與內(nèi)圈滾道均布接觸，外圈以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)。

(2)不考慮保持架與滾子間的游動(dòng)間隙，即認(rèn)為滾子均布于內(nèi)圈滾道；僅考慮滾子直徑誤差對(duì)軸承徑向跳動(dòng)的影響。

(3)不考慮彈流潤滑、溫度等方面的因素。

1.2 外圈滾道的簡化

為簡化計(jì)算，外圈滾道曲線形狀可以用標(biāo)準(zhǔn)圓表示，則滾道曲線在直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程為:

(1)

式中：de為外圈滾道直徑。

1.3 建立坐標(biāo)系

為了能方便地描述軸承及其零件的運(yùn)動(dòng)，將圓柱滾子軸承放在設(shè)定的平面坐標(biāo)系中進(jìn)行分析。如圖1所建立的坐標(biāo)系，最里邊實(shí)線圓表示為內(nèi)圈滾道，其直徑為di，由于內(nèi)圈滾道為理想圓，其圓心設(shè)為整體坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)Ο；水平方向?yàn)棣遁S，豎直方向?yàn)棣摧S；最外邊實(shí)線圓表示為外圈滾道，其基圓直徑de，圓心為O0；小圓表示為各個(gè)滾子，為了表示方便進(jìn)行了編號(hào)，初始狀態(tài)其各自圓心坐標(biāo)為Oi(xi,yi)，圖中標(biāo)出了7#滾子的圓心O7。

圖1 初始狀態(tài)

1.4 軸承各零件的幾何關(guān)系

外圈與滾子間的運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系是：

(2)

式中:φ為外圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；α為外圈轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后，滾子所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度；de為外圈滾道直徑；di為內(nèi)圈滾道直徑。

第i(i=1,2,…，Z)個(gè)滾子的圓心與X軸之間的夾角為：

(3)

其對(duì)應(yīng)的滾子圓心坐標(biāo)為：

(4)

式中：Dw為滾子直徑；β為第一個(gè)滾子與X軸正半軸之間的夾角，仿真中β設(shè)定為20°。

2 數(shù)值仿真與模擬

2.1 設(shè)定相關(guān)參數(shù)

在整體坐標(biāo)系下，設(shè)定外圈的轉(zhuǎn)動(dòng)步長為h=360/n，n值當(dāng)然越大越好，但為了保證計(jì)算速度和質(zhì)量，360≤n≤3600 (n∈Z*)。外圈轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為φj=jh，(j=1,2,3…)。

2.2 仿真流程

通過建立的數(shù)學(xué)模型，對(duì)圓柱滾子軸承的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行數(shù)值與模擬，實(shí)現(xiàn)的步驟如程序流程圖2所示。

圖2 仿真流程圖

2.3 運(yùn)動(dòng)仿真

根據(jù)基本假設(shè)條件，在不考慮載荷作用的情況下，外圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)步長，X軸下方的滾子和外圈滾道都進(jìn)行以下的動(dòng)作：

(1)初始狀態(tài)

內(nèi)外圈滾道與滾子的初始狀態(tài)如圖1所示：內(nèi)圈滾道為理想圓，滾子均布于內(nèi)圈滾道上；已知各個(gè)滾子的圓心外圈滾道各點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。

(2)計(jì)算滾子圓心

X軸下方滾子沿其徑向方向移動(dòng)，直至滾子與外圈接觸。以7#滾子為例，借助于圖1和圖3講述7#滾子的移動(dòng)過程。

圖3 7#滾子的移動(dòng)

11等分弧。如圖3所示，點(diǎn)O和點(diǎn)O7連線的延長線與外圈輪廓有交點(diǎn)B，在外圈上以B點(diǎn)為參考點(diǎn)，在該點(diǎn)之前和之后劃出一定弧度，將該弧度k等分，找出(k+1)個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)已知。

22表示滾子圓心坐標(biāo)。7#滾子不管滾子怎樣移動(dòng)，移動(dòng)后滾子圓心都在直線lOB上，該線的斜率為：k7=y7/x7因此移動(dòng)后的7#滾子圓心坐標(biāo)可以表示為(x,k7*x)。

33求得滾子圓心。令每個(gè)節(jié)點(diǎn)到(x,k7*x)點(diǎn)之間的距離為Dw/2，這樣可以得到(k+1)個(gè)x值，選出這些x值中的最大值，那么這個(gè)最大值就是滾子與外圈接觸時(shí)滾子圓心的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出該滾子此時(shí)的坐標(biāo)。同理，用此法可求得其它滾子圓心，結(jié)果如圖4所示。

圖4 X軸下方滾子移動(dòng)結(jié)果

(3)計(jì)算外圈圓心位置

將外圈與滾子作為整體向內(nèi)圈圓心方向移動(dòng)，移動(dòng)的結(jié)果是至少有兩個(gè)滾子與內(nèi)圈同時(shí)接觸。具體算法如下：如圖4，滾子移動(dòng)后，6#，7#，8#，9#，10#滾子與外圈接觸，其中各自圓心在整體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)已知。任取兩個(gè)滾子與內(nèi)圈相切則可以得到圓心的坐標(biāo)有10種組合，但若有其中兩個(gè)滾子同在Y軸左則或同在Y軸右則，則軸承處于不穩(wěn)定狀態(tài)，綜合考慮之后7#與8#、7#與9#、7#與10、8#與6#、6#與9#、6#與10#，6種組合能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)，是否干涉還需進(jìn)一步判斷。

外圈每轉(zhuǎn)一個(gè)步長都有6種滾子組合與內(nèi)外圈同時(shí)接觸，且這6種組合中，只有1種組合能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)且與內(nèi)外圈不發(fā)生干涉的；其余5種組合，雖然能使軸承處于穩(wěn)定狀態(tài)，但會(huì)與軸承內(nèi)圈發(fā)生干涉。

(4)滾子與內(nèi)外圈有效接觸的判據(jù)

2.4 仿真驗(yàn)證

通過理論計(jì)算可以得出外圈的跳動(dòng)kea，并與仿真值結(jié)果相比較。理論計(jì)算過程中所用軸承參數(shù)如表1。

表1 軸承零件參數(shù)

如圖5a，一個(gè)滾子圓心位于Y軸上，此種狀態(tài)下軸承外圈的徑向跳動(dòng)值最小為：y0min=OO1=de/2-di/2-Dw；如圖5b，兩個(gè)滾子關(guān)于Y軸對(duì)稱，此狀態(tài)下軸承外圈的徑向跳動(dòng)值最大，O1與外圈有切點(diǎn)C，O0C連線不過O1，圖5c是圖5b中幾點(diǎn)及連線，可得出O1O2邊在△O1O0O2和△O1OO2上的高h(yuǎn)1，h2，y0max=OO0=h1-h2，數(shù)據(jù)如表2所示。

圖5 滾子位于兩種特殊位置

y0max/μmy0min/μm理論kea/μm仿真kea/μm相對(duì)誤差21.554920.51.05491.05460.03%

根據(jù)表2可知，仿真結(jié)果與理論真值相對(duì)誤差僅為0.03%，說明該仿真算法在基本假設(shè)的條件下可以正確預(yù)測(cè)圓柱滾子軸承的外圈徑向跳動(dòng)。

3 算例及結(jié)果分析

為了研究滾子直徑對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響，測(cè)量了某型號(hào)軸承的滾子直徑，滾子直徑誤差范圍為-4μm～4μm。在研究多個(gè)滾子直徑對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響時(shí)，本文仿真所用軸承參數(shù)如表1，選取的滾子直徑誤差為±1.5μm。

3.1 單個(gè)滾子直徑存在誤差對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響

假設(shè)內(nèi)、外圈滾道和滾子輪廓均為理想圓，在所有滾子中，若其中一個(gè)滾子直徑存在誤差，軸承外圈的跳動(dòng)值如圖6所示。

圖6 不同滾子直徑誤差時(shí)的徑向跳動(dòng)值

如圖6所示，單個(gè)滾子直徑發(fā)生變化，當(dāng)滾子直徑為正誤差時(shí)，最大徑向跳動(dòng)值不變，最小徑向跳動(dòng)值變小，導(dǎo)致軸承外圈徑向跳動(dòng)變大；當(dāng)滾子直徑為負(fù)誤差時(shí)，最小徑向跳動(dòng)值不變，最大徑向跳動(dòng)值變大，導(dǎo)致軸承外圈的徑向跳動(dòng)值變大。

圖7給出了單個(gè)滾子直徑不同誤差下的外圈徑向跳動(dòng)結(jié)果。滾子直徑存在正誤差和負(fù)誤差時(shí)，軸承外圈的徑向跳動(dòng)均隨滾子直徑誤差的增大而線性增大。

圖7 不同滾子直徑下的軸承徑向跳動(dòng)結(jié)果

圖8是滾子直徑誤差為正、負(fù)誤差時(shí)最小和最大徑向跳動(dòng)值出現(xiàn)的位置，相對(duì)于滾子直徑無誤差時(shí)的徑向跳動(dòng)值，圖8a最小徑向跳動(dòng)值不變，其最大徑向跳動(dòng)值的增加值小于滾子直徑的誤差，圖8b最小徑向跳動(dòng)值的增加值近似等于滾子直徑的誤差，其最大徑向跳動(dòng)值不變。由此可解釋圖7中滾子直徑正誤差條件下的軸承外圈徑向跳動(dòng)比負(fù)誤差條件下的軸承外圈圈徑向跳動(dòng)大。

圖8 軸承外圈最小和最大徑向跳動(dòng)值出現(xiàn)位置

3.2 多個(gè)滾子直徑存在相同誤差對(duì)軸承外圈徑向跳動(dòng)的影響

假設(shè)內(nèi)、外圈滾道和滾子輪廓均為理想圓，在所有滾子中，若有兩個(gè)滾子直徑尺寸存在誤差，各滾子直徑誤差如表3所示，每組有10個(gè)滾子直徑誤差，編號(hào)1～4組兩個(gè)滾子直徑誤差為-1.5μm，可以發(fā)現(xiàn)，若兩個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布使軸承外圈的最大徑向跳動(dòng)值增大，而其最小徑向跳動(dòng)值不發(fā)生變化，導(dǎo)致軸承外圈徑向跳動(dòng)最大。編號(hào)6～9組兩個(gè)滾子直徑誤差為1.5μm，軸承外圈的最大和最小徑向跳動(dòng)值不變，不會(huì)影響軸承外圈的徑向跳動(dòng)。

表3 兩個(gè)滾子直徑存在相同誤差

通過以上分析可知，當(dāng)有兩個(gè)滾子直徑誤差為正誤差時(shí)，滾子的排布方式對(duì)軸承外圈的徑向跳動(dòng)沒有影響；當(dāng)有兩個(gè)滾子直徑誤差為負(fù)誤差時(shí)，帶誤差的兩個(gè)滾子相鄰排布就會(huì)使軸承外圈的徑向跳動(dòng)值最大。表4給出了兩個(gè)以上滾子直徑存在誤差且?guī)д`差滾子相鄰排布時(shí)的軸承外圈的徑向跳動(dòng)，軸承外圈的最大徑向跳動(dòng)值和最小徑向跳動(dòng)值基本相同，即軸承外圈的徑向跳動(dòng)基本相同。因此，這樣的現(xiàn)象可以說明兩個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布產(chǎn)生的軸承外圈徑向跳動(dòng)與3～9個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布產(chǎn)生的軸承外圈徑向跳動(dòng)相同。

表4 不同個(gè)數(shù)滾子直徑存在相同誤差

4 結(jié)論

(1)單個(gè)滾子直徑發(fā)生變化，當(dāng)滾子直徑為正誤差時(shí)，最大徑向跳動(dòng)值不變，最小徑向跳動(dòng)值變小，導(dǎo)致軸承外圈徑向跳動(dòng)變大；當(dāng)滾子直徑為負(fù)誤差時(shí)，最小徑向跳動(dòng)值不變，最大徑向跳動(dòng)值變大，導(dǎo)致軸承外圈的徑向跳動(dòng)值變大。

(2) 滾子直徑存在正誤差和負(fù)誤差時(shí)，軸承外圈的徑向跳動(dòng)均隨滾子直徑誤差的增大而線性增大。

(3)兩個(gè)滾子直徑誤差為1.5μm時(shí)，滾子的排布方式對(duì)軸承的徑向跳動(dòng)無影響；當(dāng)兩個(gè)滾子直徑誤差為-1.5μm時(shí)，有誤差的兩個(gè)滾子相鄰排布會(huì)產(chǎn)生軸承外圈的最大徑向跳動(dòng)。兩個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布產(chǎn)生的徑向跳動(dòng)與3～9個(gè)存在誤差的滾子相鄰排布產(chǎn)生的徑向跳動(dòng)值相同。

[1] 史文祥,李濟(jì)順,劉永剛.圓柱滾子軸承旋轉(zhuǎn)精度的預(yù)測(cè)仿真[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù),2012,31(4):612-615.

[2] 宋飛,李濟(jì)順,劉永剛. 圓柱滾子軸承滾道圓度誤差對(duì)旋轉(zhuǎn)精度的影響[J]. 軸承,2011(5):1-4.

[3] 吳柏華,毛范海,董惠敏. 深溝球軸承元件幾何誤差對(duì)回轉(zhuǎn)精度的影響[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2015(1):22-25.

[4] 李傳順,毛范海. 深溝球軸承元件幾何誤差對(duì)非重復(fù)性跳動(dòng)影響[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2013(11):9-13.

[5] 王寶坤,毛范海,孫守林,等. 圓柱滾子軸承零件幾何誤差對(duì)載荷分布的影響[J]. 軸承,2014(2):30-35.

[6] Shoji Noguchi, Kyosuke Ono. Reduction of NRRO in ball bearings for HDD spindle motors [J]. Precision Engineering, 2004, 284:.

[7] Junzo Okamoto; Tatsuo Ohmori; Tokio Kitahara. Study on run-out of ball bearings: relation between unroundness of race and locus of shaft in rotation [J].Japanese Journal of Tribology,2001(4):.

[8] 袁幸,朱永生,洪軍,等. 精密球軸承不可重復(fù)跳動(dòng)影響主軸動(dòng)特性的預(yù)測(cè)[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版),2012,42(2): 382-387.

[9] 趙前程,羅曉莉,鄧善熙. 基于特征模型的形狀誤差估計(jì)新方法[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào),2007,28(9):1629-1634.

[10] 蒲競(jìng)秋,羅正國. 諧波分析技術(shù)在回轉(zhuǎn)體測(cè)量中的應(yīng)用[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào),2004,25(S1):117-119.

(編輯 李秀敏)

Effect of Rollers Diameter Error and Rollers Distribution on the Radial Runout of Bearing

CHEN Zhen-qianga, XUE Yu-juna,b,YU Yong-jianb, LI Ji-shunb, MA Weia,b

(a.College of Mechatronics Engineering;b. Henan Key Laboratory for Machinery Design and Transmission System, Henan University of Science and Technology, Luoyang Henan 471003,China)

According to the movement relationships and geometric relationships of cylindrical roller bearing parts, the mathematical model of the radial runout of bearing outer ring is established. The principle of algorithm for the radial runout of bearing outer ring is analyzed. Numerical simulation of the motion process of bearing is carried out. The effect of rollers diameter error and rollers distribution on the radial runout of bearing outer ring is researched, in which the inner ring and outer ring raceway roundness error as well as rollers roundness error are not taken into account. It is found that adjacent arrangement of two rollers with diameter errors has major effect on the radial runout of bearing outer ring when the diameter error of these two rollers is -1.5μm. The radial runout of bearing outer ring shows equal value, when multiple rollers have the same diameter error and are distributed in adjacent arrangement.

cylindrical roller bearing; rollers’ diameter error; outer ring raceway ; radial runout

1001-2265(2016)10-0078-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2016.10.021

2015-12-20；

2016-01-20

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51375148)；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃(142300413217)；河南省高校科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持(15IRTSTHN008)

陳振強(qiáng)(1987—)，男，河南鄧州人，河南科技大學(xué)碩士研究生，主要從事軸承的研究，(E-mail)czq_007@126.com；通訊作者：薛玉君(1971—)，男，河南焦作人，河南科技大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)械產(chǎn)品數(shù)字化設(shè)計(jì)與性能分析，(E-mail)xue_yujun@163.com。

TH133.33；TG506

A