凸顯模型思想 觸摸知識本質(zhì)

湯金娥

乘法分配律是在學(xué)生學(xué)習(xí)了加法和乘法的交換律、結(jié)合律的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入認(rèn)識的運算律，與交換律、結(jié)合律相比較，乘法分配律的算理更抽象，形式多樣，加之它屬于“計算”范疇，內(nèi)容單調(diào)，課堂難以生動有趣。這樣使得乘法分配律的教學(xué)成為大家公認(rèn)的“一杯白開水”。然而，細(xì)細(xì)琢磨，特級教師張煒執(zhí)教的“乘法分配律”并非如此。張老師在執(zhí)教這節(jié)課時，著力凸顯模型思想，引導(dǎo)學(xué)生在不露痕跡“深度卷入”中敞開思維，產(chǎn)生聯(lián)想，課堂生動活潑，學(xué)生學(xué)得自主，學(xué)得自由，從而自然觸摸知識的本質(zhì) 。

【片段一】創(chuàng)設(shè)情境，感受模型

師：同學(xué)們，我們今天的學(xué)習(xí)將邀請老大、老二和老三兄弟三人參加。他們都是種果能手，非常碰巧，他們的果地都是長方形。請先看（出示圖形）老大的果地。（單位：米）

師：看到老大的果地，你能提出有關(guān)面積計算的問題嗎？

生：兩塊地的總面積是多少？兩塊地的面積相差多少？

……

師：如何列綜合算式計算兩塊果地的總面積？

生（交流算式）：90×60+90×25，（60+25）×90。

師：比較得數(shù)，這兩個等式之間可以寫上什么符號？

生：等號，90×60+90×25=（60+25）×90。

師：（出示圖形）這是老二的果地，請列式計算兩塊地的總面積。（單位：米）。

（學(xué)生交流算法。）

師：為什么不合并起來算呢？

生：因為老二的果地是兩塊沒有相等長度邊的兩個長方形，所以兩個圖形也就不能直接合并成一個大長方形。

師：哦，原來是這樣。

師：（出示圖形）請看老三的兩塊地，列式計算出總面積（單位：米）。

（學(xué)生交流算法，建立等式：80×60+60×40=（80+40）×60。）

師：為什么老大、老三的果地總面積可以合起來算也可以分開來算？

生：因為老大、老三的果地分別都是有一條邊相等的兩個長方形。

【賞析】課始，教師巧妙設(shè)計兄弟三人一起參加學(xué)習(xí)的情境，喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗，激發(fā)學(xué)生自主提出問題，并在解決問題中經(jīng)歷初步感受、思維沖突和前后比較，從而感知有一條邊相等的兩個長方形面積之和就是一種圖形模型，這種模型有相對應(yīng)的算式，有了幾何直觀的形象支撐，算式的結(jié)構(gòu)特征也就一目了然。

【片段二】自主探索，建立模型

師：剛才同學(xué)們根據(jù)圖形列出了計算總面積的算式，下面請根據(jù)算式在方格紙上畫出相應(yīng)的圖形。兩塊長方形西紅柿地總面積：80×50+60×50，兩塊長方形黃瓜地總面積：（70+50）×40。

（學(xué)生獨立完成后交流展示、解讀圖形中的數(shù)據(jù)并建立等式：80×50+60×50=（80+60）×50，（70+50）×40=70×40+50×40。）

師：上面的算式左右兩邊相等，你還能寫出更多這樣的式子來嗎？

生：25×30+75×30=（25+75）×30

（84+28）×16=84×16+28×16

……

師：根據(jù)以前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能不能用一個等式將這樣的所有等式都包含進(jìn)去？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：用字母表示非常簡潔。

師：（a+b）×c=a×c+b×c也可以看成是兩個長方形的面積和嗎？（出示下面圖形）如果它是表示甲、乙兩個長方形面積的和，那a、b、c又分別是圖中哪里的長度呢？

【賞析】如果說從圖形到算式是建立等式、發(fā)生聯(lián)系的過程，那么從算式追溯圖形則是“逼”學(xué)生嘗試建立“圖形模型”的過程，是將數(shù)學(xué)認(rèn)識從具體經(jīng)驗向理性層面提升的過程。本教學(xué)環(huán)節(jié)從建立模型的角度出發(fā)，設(shè)計根據(jù)算式畫圖形，“逼”學(xué)生進(jìn)行逆向思維，并通過舉例驗證、解釋說明，從具體問題過渡到抽象概括，使用字母表示乘法分配律自然“呼之欲出”。緊接著教師又乘勢設(shè)計根據(jù)字母等式聯(lián)想圖形，更是把學(xué)生的認(rèn)識再次推向深入，從而進(jìn)一步觸摸知識的本質(zhì)，建立起深刻的模型印象。

【片段三】豐富聯(lián)想，應(yīng)用模型

師：同學(xué)們已經(jīng)掌握了（a+b）×c與a×c+b×c相等關(guān)系的模型，下面請根據(jù)算式聯(lián)想。

（1）75×20+25×20

（2）65×（30+1）

（3）45×45+30×50

（4）（200+m）×n

（5）8×+2×

（學(xué)生交流想法并展示。）

師：通過計算求有一條邊相等的兩個長方形面積和，我們發(fā)現(xiàn)了乘法分配律，那么像80×60+60×40=（80+40）×60（老三果地的總面積）這樣的算式是不是只可以用兩個長方形的面積和來解釋？可用其他事情來解釋嗎？請將等式中的數(shù)填入下面的括號里：

一件上衣（ ）元，一件下衣（ ）元，買（ ）件上衣和（ ）件下衣一共要付多少元？

（學(xué)生講述填寫數(shù)據(jù)及具體含義。）

師：能不能將買衣的情節(jié)變換成其他事情來解釋。

生：（思考后交流）小明做一個大盒子要用5張卡紙，做一個小盒子要用3張卡紙，做4個大盒子和4個小盒子共要用多少張卡紙？

……

【賞析】本教學(xué)片段是學(xué)生離開圖形進(jìn)行算式聯(lián)想的環(huán)節(jié)，這既是對乘法分配律理解的即時檢測，也是更高水平的數(shù)學(xué)思考。學(xué)生通過聯(lián)想、比較與辨析，完善自己的數(shù)學(xué)思考，進(jìn)一步生動活潑地建構(gòu)起對乘法分配律的樸素、直接、獨具個性的本質(zhì)理解。尤其第（3）題雖有相同因數(shù)，但與其他算式中的相同因數(shù)所在位置不同，是不能直接合并的變式，更讓學(xué)生在比較中強(qiáng)化了對乘法分配律的本質(zhì)與非本質(zhì)的理解。緊接著教師又適時地向?qū)W生拋出根據(jù)計算老三果地總面積的算式，聯(lián)想用其他事情解釋問題，同時安排一個與學(xué)生生活密切相關(guān)的買衣情境開放題，讓學(xué)生深入思考，最大可能地開發(fā)學(xué)生的思維?！澳懿荒軐①I衣的情節(jié)變換成其他事情來解釋”，則把學(xué)生的思維引向更廣闊的天地，充分感受數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的豐富和簡約。

【片段四】類比展開，拓展模型

師：同學(xué)們，課始我們提出了求老大兩塊果地面積相差多少的問題，下面請列式計算。

生：90×60-90×25=3150（平方米），（60-25）×90=3150（平方米）

師：這兩個式子可用什么符號連起來？

生：等號，90×60-90×25=（60-25）×90。

師：你還能寫出更多這樣的等式來嗎？請寫一寫。

（學(xué)生交流展示。）

師：如果用字母表示可怎么寫？

生：（a-b）×c=a×c-b×c。

師：老大非常勤勞，最近他又?jǐn)U建了一塊香瓜地（在原圖上加上一個長90米，寬55米的長方形），怎么計算老大現(xiàn)在果地的總面積？

生：90×60+90×50+90×55=（60+50+55）×90。

……

【賞析】聯(lián)想孕育著數(shù)學(xué)思維與推理，充滿著數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與驚喜。在學(xué)生理解了乘法分配律的基礎(chǔ)上，教師適時提出由求和類推到求差的問題，讓學(xué)生體會到乘法分配律同樣適用于乘法對減法的分配。接著教師又巧妙設(shè)計老大擴(kuò)建果地的情境，讓學(xué)生從兩個數(shù)聯(lián)想到三個數(shù)甚至更多數(shù)的和與一個數(shù)相乘，在豐富的情境拓展中不斷賦予模型“生長”的力量，讓乘法分配的模型既根植于圖形，又不拘泥于圖形，使得用字母表達(dá)的乘法分配律有了“豐腴”之美。這樣的學(xué)習(xí)無疑是一個再創(chuàng)造的過程，不僅讓模型思想得到了有效的滲透，而且使學(xué)生形成了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，掌握了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，觸摸到了知識的本質(zhì)。如此，日積月累，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力一定會得到較大的提升，從而有助于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。

（作者單位：江西省高安市第四小學(xué)）

責(zé)任編輯 周瑜芽

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