一類高階常系數(shù)線性微分方程的特解公式

張守貴

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶　401331)

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一類高階常系數(shù)線性微分方程的特解公式

張守貴

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶401331)

高階微分方程是常微分方程和高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，但是現(xiàn)有的方法比較難掌握。對一類常見的高階非齊次常系數(shù)線性常微分方程得到了求其特解的一般公式。首先引入了有關(guān)兩個函數(shù)乘積高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式和一個組合數(shù)性質(zhì)，然后利用待定系數(shù)法得到了求解該方程特解的一般公式。并給出了詳細(xì)的證明過程和若干具體算例。結(jié)果表明：該方法的公式推導(dǎo)過程非常簡單，所得公式有較高的實用性和有效性。

n階線性常微分方程；特解公式；待定系數(shù)法；萊布尼茲公式

高階常系數(shù)線性常微分方程解法是常微分方程和高等數(shù)學(xué)中一個重要組成部分。大部分文獻(xiàn)只介紹了采用比較系數(shù)法、復(fù)數(shù)法、拉普拉斯變換法與常數(shù)變易法等求解這一類非齊次問題的特解[1-8]。但是這些方法的計算往往比較繁瑣。對一類特殊的高階常系數(shù)非齊次線性常微分方程，本文利用比較系數(shù)法給出了求特解的一般公式[9-17]。使得求解這一類問題的特解變得非常簡單。

1　預(yù)備知識

如果函數(shù)u(t)、v(t)均m階可導(dǎo)，則有：

(1)

這一公式通常叫做萊布尼茲(Leibniz)公式[18]。

(2)

式(2)為組合數(shù)的一個基本性質(zhì)。

2　主要結(jié)果

推導(dǎo)非齊次n階常系數(shù)線性常微分方程：

(3)

特解的一般公式方程(3)所對應(yīng)齊次方程

其特征方程為：

rn+a1rn-1+…+an-1r+an=0

(4)

對λ是k重根的情形給予證明，不是特征根的情形同理可證。

證明用待定系數(shù)法求方程(3)的一個特解。由于λ是特征方程(4)的k重根，則可令其特解為：

(5)

(m=1,2,…,k)

(6)

(m=k+1,k+2,…,n)

(7)

將式(6)和式(7)代入方程(3)得

B[n(n-1)…(n-k+1)λn-k+n(n-1)…

(n-k)λn-k-1t+…+nλn-1tk-1+λntk]eλt+

a1B[(n-1)…(n-k)λn-k-1+(n-1)…

(n-k+1)λn-kt+…+

(n-1)λn-2tk-1+λn-1tk]eλt+…+

an-1B[ktk-1+λtk]eλt+anBtkeλt=

B[n(n-1)…(n-k+1)λn-k+

a1(n-1)…(n-k)λn-k-1+…+an-kk!λk]eλt+

B[n(n-1)…(n-k)λn-k-1+

a1(n-1)…(n-k+1)λn-k-2+…+

an-kk(k-1)…2λk-1]teλt+

B[n(n-1)…(n-k)λn-k-1+a1(n-1)…

(n-k+1)λn-k-2+…+an-1λ+an]tkeλt=

BF(k)(λ)eλt+BF(k-1)(λ)teλt+…+

BF′(λ)tk-1eλt+BF(λ)tkeλt=Aeλt

由于λ是特征方程(4)的k重根，則有F(λ)=F′(λ)=…=F(k-1)(λ)=0，且F(k)(λ)≠0，從而有

BF(k)(λ)eλt=Aeλt

3　應(yīng)用舉例

解因為λ=-1不是特征方程F(r)=r2+2r+5=0的根，因此由定理1可以直接得到方程的特解：

解因為λ=1不是特征方程F(r)=r4+1=0的根，由定理1可以直接得到方程的特解：

解因為λ=1是特征方程F(r)=r3-1=0的單根，因此由定理1可得方程的特解：

解因為λ=2是特征方程F(r)=r2-4r+4=0的二重根，因此由定理1可得方程的特解：

4　結(jié)束語

利用待定系數(shù)法和萊布尼茲公式，得出求解一類高階常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的一般公式，若干算例表明該方法計算十分簡便，是求解這一類問題特解的實用方法。

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TheFormulaofSpecialSolutionforaKindofHigh-orderLinearDifferentialEquationwithConstantCoefficients

ZHANG Shougui

(SchoolofMathematicsScience,ChongqingNormalUniversity,Chongqing401331,China)

High-orderdifferentialequationisanimportantcontentincoursesofordinarydifferentialequationandadvancedmathematics,butexistingmethodsaredifficulttobemastered.Forakindofn-orderlinearandnon-homogeneousordinarydifferentialequationwithconstantcoefficients,thegeneralformulaofthespecialsolutionsispresentedinthispaper.TheLeibnizformulaforhigherorderderivativesofproductoftwofunctionsandapropertyforthenumberofcombinationsarefirstintroduced,andthegeneralformulaofthespecialsolutionsfortheequationisobtainedbymethodofundeterminedcoefficients.Theprocessofproofsandsomeexamplesarealsogivenindetail．Theresultsshowtheformulaisverysimpleandillustratetheeffectivenessandpracticalityofthemethodpresented.

n-orderordinarydifferentialequation;formulaofspecialsolutions;methodofundeterminedcoefficients;Leibnizformula

2016-04-12

國家自然科學(xué)基金項目(11471063)

張守貴(1973-)，男，四川瀘縣人，副教授，博士，主要從事微分方程數(shù)值解方面的研究，(E-mail)shgzhang9621@sina.com

1673-1549(2016)03-0093-03

10.11863/j.suse.2016.03.19

O175.1

A