微積分思想和方法在大學(xué)物理教學(xué)中應(yīng)用

譚敏

【摘 要】要提高大學(xué)物理教學(xué)效果，就必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法來解決物理問題。其中，微積分思想和方法貫穿整個大學(xué)物理教學(xué)。本文就微積分思想和方法在物理概念和物理理論的應(yīng)用進行闡述。

【關(guān)鍵詞】微積分思想；方法；大學(xué)物理；教學(xué)

大學(xué)物理作為高等院校理工科專業(yè)的必修課，在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維方法和分析解決問題能力等方面發(fā)揮著積極的作用。但剛開始接觸大學(xué)物理的學(xué)生普遍反應(yīng)在該課程學(xué)習(xí)的過程中存在一定的困難。其實，無論是中學(xué)還是大學(xué)，物理這門自然科學(xué)的框架和系統(tǒng)性是不會變的。只不過物理這門課程的研究對象從中學(xué)的恒量問題變成了變量問題，由特殊問題變換到普通、一般問題，同時研究的工具也發(fā)生了變化，中學(xué)只需要初等數(shù)學(xué)就能解決問題，而大學(xué)則需要高等數(shù)學(xué)知識。

筆者從多年的教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，要提高大學(xué)物理的教學(xué)效果，必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法研究物理問題，幫助學(xué)生從中學(xué)慣用的概念和方法中跳出來，將微積分思想和方法與物理問題相結(jié)合。微積分思想和方法在力學(xué)、電磁學(xué)和熱學(xué)中都有應(yīng)用，可分為微分問題和積分問題兩大類。本文從微積分思想和方法與物理的結(jié)合以及微積分思想和方法在解決物理問題中的應(yīng)用這兩方面來探討微積分思想方法在物理教學(xué)中的應(yīng)用。

一、用微積分思想闡述物理概念和物理理論

1、瞬時速度和瞬時加速度

從中學(xué)開始學(xué)生接觸力學(xué)，對于一維運動很熟悉，譬如勻速直線運動、勻變速直線運動。在勻變速直線運動規(guī)律中，學(xué)生對公式非常熟悉，以至于在大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中遇到求位置坐標(biāo)的問題會毫不猶豫的想到這個公式。源于學(xué)生對公式的死記硬背，知其然不知其所以然。其實，只要應(yīng)用微積分思想就可以知道該公式的來源并能理解應(yīng)用該公式的前提是加速度為常量。

質(zhì)點運動學(xué)中平均速度，當(dāng)時取極限得瞬時速度，此為微分，描述某一時刻質(zhì)點速度的大小和方向。若已知質(zhì)點的運動學(xué)方程，則可求出質(zhì)點任意時刻的速度大小和方向。若將微分式整理得，，根據(jù)初始條件兩邊同時積分可得， 。當(dāng)簡化為一維問題是，就可得到學(xué)生在中學(xué)所熟知的勻變速直線運動規(guī)律。因此，若已知速度 和初始條件，則可通過積分求出任意時刻的位置坐標(biāo)，并通過求導(dǎo)可以得到任意時刻的加速度。此即為質(zhì)點運動學(xué)中的兩類基本問題。

利用微積分知識進行物理理論的推導(dǎo)，不僅可以讓學(xué)生更加理解數(shù)學(xué)公式，也能讓學(xué)生欣賞到物理學(xué)之美，并能對所遇到的問題做出正確的判斷和合乎邏輯的推理[1]。

2、功

在中學(xué)學(xué)生就接觸到恒力做功的問題。物體在外力的方向上運動的距離，則這個力對物體所做的功；若外力方向與物體位移方向之間存在夾角時，則力對物體所做的功可表示為，用矢量的方法來表示外力做功，則，此表達式僅適用于恒力做功的情況。若作用在物體上的力為變力，或者物體做曲線運動，此時該如何計算力做功呢？這就要用到高等數(shù)學(xué)中的微元思想。

微元思想是有限與無限，近似與精確的辯證統(tǒng)一，而這種統(tǒng)一已經(jīng)得到了數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)格證明。在物理學(xué)中微元思想已成為解決問題的一種重要數(shù)學(xué)方法。所謂微元思想就是將研究對象進行無限細(xì)分，使之適用于理想情況，即微分，得到近似值，然后將無限多個微元無限累積，即積分，得到精確值。簡單來說就是“化整為零”，再“積零為整”這樣一個過程。

當(dāng)作用于物體上的力不是恒力，或物體做曲線運動時，必須將運動軌跡分割為許許多多個小段，每一小段視為直線，同時作用于每一小段上的力近似為恒力。因此，每一小段上力做功即為恒力做功，稱之為元功。整個過程中力所做的功為所有元功累積之和，即。

3、質(zhì)點動量定理

牛頓第二定律，用微分形式表示出來即，通過推導(dǎo)可得，兩邊同時乘以，得到質(zhì)點動量定理的微分形式，根據(jù)初始條件兩邊同時積分得：，等式左邊的積分表達式成為沖量，描述這一段時間內(nèi)外力 的累積效應(yīng)，等式右邊對應(yīng)的是質(zhì)點動量的增量，此即為質(zhì)點動量定理。同樣這也能解兩類問題。其一，若已知動量，通過對時間求導(dǎo)，則可求得合外力，此為微分問題。其二，若已知合外力和初始條件，通過求積分，可以得出質(zhì)點動量的改變量，此為積分問題。

通過微積分來推導(dǎo)物理定理，過程十分簡潔，物理含義也十分清晰，可以提高學(xué)生對物理量和物理定理關(guān)系的認(rèn)識，提升學(xué)生的物理思維能力。

4、安培定律

在磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，長度為L，電流強度為I的直導(dǎo)線所受的安培力，其中為載流直導(dǎo)線與磁場之間夾角。安培力的方向可以由左手定則判定。這一結(jié)論是學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)到的。當(dāng)磁感應(yīng)強度非均勻，長度為L的彎曲載流導(dǎo)線通有電流I時，要求載流導(dǎo)線所受到的安培力，則上述結(jié)論就不再適用了。要解決該問題也必須用到高等數(shù)學(xué)中的微元思想。

將長度為L的彎曲載流導(dǎo)線分割為無限多個電流元矢量，（此為“化整為零”）近似認(rèn)為電流元所在位置處的磁感應(yīng)強度 均勻，則電流元所受到的安培力大小為，其中為電流元矢量與磁感應(yīng)強度之間夾角，安培力的方向可以由左手定則判定。若用矢量方式表達為，安培力的方向可以通過右手螺旋法則判定。整個彎曲載流導(dǎo)線在磁場中所受安培力通過求積分可得（此為“積零為整”），這便是著名的安培定律。

二、舉例用微積分思想解決物理問題

在解決物理問題時必須將微積分轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N思維方法[2]。解題時首先建立合適的坐標(biāo)系，取微元，再依據(jù)物理理論列出微分表達式或積分表達式，最終求解。

如圖所示，一勻細(xì)棒長為，質(zhì)量。在棒的延長線距棒端為處有一質(zhì)量為的質(zhì)點。求質(zhì)點在勻細(xì)棒的引力場中的勢能。此題不能用萬有引力勢能公式直接求解，必須通過微元的思想來解決。首先以端點為坐標(biāo)原點建立一維坐標(biāo)系（如圖1所示），取無限遠處為勢能零點，在距離坐標(biāo)原點為處取長度為的質(zhì)量元，其質(zhì)量為，對質(zhì)點的萬有引力勢能為

對于不能由已知規(guī)律或公式求解的物理問題，可以采用微元思想轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥鈫栴}。采用微元思想解題是首選應(yīng)該建立合適的坐標(biāo)系，然后選取恰當(dāng)?shù)奈⒃?，再根?jù)已有的理論對微元求積分則可解決問題。

三、結(jié)語

大學(xué)物理是用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)工具來描述物理規(guī)律，但又不同于數(shù)學(xué)，每一個數(shù)學(xué)符號在物理里都有其物理含義。微積分思想和方法是最為重要的數(shù)學(xué)工具，教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生使用該數(shù)學(xué)工具來學(xué)習(xí)、欣賞物理學(xué)之美。

參考文獻：

[1] 曹劍英.微積分在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2013，29（5）：13-14.

[2] 滕琴，徐玲，吳珞.關(guān)于微積分和矢量法在大學(xué)物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].上海第二工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2014，31（3）：223-227.