時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題兩個(gè)正解的存在性

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題兩個(gè)正解的存在性

喬世東

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009)

多點(diǎn)邊值問題至少有一個(gè)正解的存在性已經(jīng)解決，討論多點(diǎn)邊值問題至少有兩個(gè)正解的存在性。

邊值問題；正解；時(shí)間模；錐；不動(dòng)點(diǎn)定理

邊值問題（1）至少有一個(gè)正解[1]的存在性已經(jīng)給出。本文討論

至少有兩個(gè)正解的存在性。其中T是一個(gè)時(shí)間模,

（A1）q∈Crd([0,1],[0,∞))且存在t0∈[0,1]，使得q(t0)＞0;

（A2）f:(0,∞)?T→[0,∞)是連續(xù)的且f(y)＞0;

首先我們給出幾個(gè)引理。這些引理基于下面的邊值問題

引理1設(shè)條件（A1）成立,則y(t)是方程（2）的唯一解

這里，Λ=αξ(1-β)t+(1-α)(1-βη)。

證明 由uΔΔ(t)+h(t)=0,

利用邊值條件,有

引理2設(shè)條件（A1）、（A2）成立,則y(t)是方程（2）的解u(t)滿足u(t)≥0,t∈[0,1]?T。

證明 事實(shí)上，uΔΔ(t)=-h(t)≤0，顯然有u(t)在t∈[0,1]?T是凸的，因此，分以下三種情況證明。

情況（1）若min{u(0),u(1)}≥0，由u(t)的凸性知道，u(t)≥(1-t)u(0)+tu(1)≥0，t∈[0,1]?T；

情況（2）若min{u(0),u(1)}＜0≤max{u(0),u(1)}，

設(shè)u(0)=min{u(0),u(1)}＜0，

則u(1)=max{u(0),u(1)}≥0，且u(ξ)＜0。

由u(t)的凸性知道，u(ξ)≥(1-ξ)u(0)+ξu(1)=α(1-ξ)u(ξ)+βξu(1),u(ξ)≥(1)≥0，矛盾。

如果u(1)=min{u(0),u(1)}＜0，

則u(0)=max{u(0),u(1)}≥0，且u(η)＜0。由u(t)的凸性知道，u(η)≥(1-η)u(0)+ηu(1)=(1-η)u(0)+βηu(η),所以，u(η)≥(0)≥0，矛盾；

情況（3）若max{u(0),u(1)}＜0，則u(ξ)＜0，u(η)＜0。由u(t)的凸性知道，u(ξ)≥(1-ξ)u(0)+ξu(1)=α(1-ξ)u(ξ)+βξu(1)和u(η)≥(1-η)u(0)+ηu(1)=(1-η)u(0)+βηu(η)有

記E=Crd[0,1]為一個(gè)B-空間，，錐P?E,

邊值問題(1)有解u=u(t)當(dāng)且僅當(dāng)u是下列算子方程的解。

引理3設(shè)u∈P,則

u(t)≥(1-t)‖u‖,t∈[0,1]?T，

其中‖u‖=|u(t)|。

證明因?yàn)閡(t)在t∈[0,1]?T上非負(fù)的和減少的，因此有u(0)≥u(t)≥u(1)，在t∈[0,1]?T。從而。

由（4）和（5）知u(t)≥(1-t)‖u‖,t∈[0,1]?T。

證畢。

定理1(Avery-Henderson[2-3])設(shè)P是實(shí)巴拿赫空間E的一個(gè)錐,集合

P(Φ,r)={u∈P:Φ(u)＜r}。

如果η,Φ是定義在P上的增加的,非負(fù)的連續(xù)函數(shù),讓?duì)仁且粋€(gè)定義在P上非負(fù)的連續(xù)函數(shù)且有θ(0)=0滿足對(duì)一些正的常數(shù)r,M及所有的,Φ(u)≤θ(u)≤γ(u),‖u‖≤MΦ(u)。又假設(shè)存在常數(shù)0＜p＜q＜r滿足下列條件,θ(λu)≤λθ(u),0≤λ≤1,u∈?P(θ,q)。假設(shè)A:P是P上的一個(gè)全連續(xù)算子滿足下列條件:

（1）Φ(Au)＞r對(duì)所有的u∈?P(Φ,r)；

（2）θ(Au)＜q對(duì)所有的u∈?P(θ,q)；

（3）P(γ,p)≠φ和γ(Au)＞p對(duì)所有的u∈?P(γ,p)。

則A至少有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u1,u2,滿足p＜γ(u1),θ(u1)＜q和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

定義非負(fù)連續(xù)增函數(shù)Φ,θ,γ滿足

對(duì)每一個(gè)u∈P,有Φ(u)=θ(u)≤γ(u)。另外,對(duì)每一個(gè)u∈P,由引理3知Φ(u)=u(η)≥(1-η)‖u‖。

同樣0≤λ≤1,有θ(λu)≤λθ(u)，u∈?P(θ,q)。記

定理2設(shè)條件(A1)～(A2)成立,又設(shè)存在常數(shù),滿足:

則邊值問題(1)至少有兩個(gè)正解u1,u2,滿足γ(u1)＞p,θ(u1)＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

證明驗(yàn)證定理1的所有條件都滿足。

定義一個(gè)全連續(xù)積分算子A:P→E滿足:

其中u∈P,t∈[0,1]?T,.對(duì)于u∈P,t∈[0,1]?T,.易知(Au)(t)滿足方程(1)。令u∈?P(Φ,r)滿足。

由假設(shè)條件(c1)知。

因?yàn)锳u∈P，由引理3得到

設(shè)u∈?P(θ,q),則

由假設(shè)條件(c2)知

故定理1的條件（2）滿足。

定義u(t)=，t∈[0,1]?T，則γ(t)=＜p，所以，P(γ,p)≠φ。

令u∈?P(γ,p),則γ(u)==u(ξ)=p，0≤u(t)≤p，t∈[ξ,1]?T,由假設(shè)條件(c3)知f(u(t))＞,t∈[ξ,1]?T。

又因?yàn)锳u∈P，由引理3得到

因此(1)至少有兩個(gè)正解u1,u2,滿足γ(u1)＞p,θ(u1)＜q,和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

[1]喬世東，張英.時(shí)間模上四-點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014,30（3）：1-3.

[2]AVERY R I,HENDERSON J.Two positive Fixed Points of Nonlinear Operators on Ordered Banach spaces[J].Comm Appl Nonlin?ear Anal,2001（8）:27-36.

[3]喬世東，張英.時(shí)間模上非線性兩-點(diǎn)邊值問題的研究[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2010，26(2):1-3.

Existence of Two Positive Solutions to a Four-point Boundary Value Problems on Time Scales

QIAO Shi-dong
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi，037009)

Some results are obtained for the existence of at least one positive solutions of theabove problem by using fixed point theorem.In this paper,we study the existence of at least two positive solutions of a nonlinear boundary value problem.

boundary value problem;positive solution;time scales;cone;fixed point theorem

175.14

A

1674-0874(2016)05-0001-04

2015-12-08

喬世東(1963-)，男，山西左云人，碩士，教授，研究方向：代數(shù)與方程。

〔責(zé)任編輯 高海〕