高超聲速飛行器的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法

高海燕，蔡遠(yuǎn)利，馬　宇

(西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，西安　710049)

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高超聲速飛行器的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法

高海燕，蔡遠(yuǎn)利，馬宇

(西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，西安710049)

針對(duì)預(yù)測(cè)控制在高超聲速飛行器控制中面臨的在線計(jì)算時(shí)間問(wèn)題，提出了離線雙模預(yù)測(cè)控制方法。首先采用LQR方法設(shè)計(jì)無(wú)約束反饋控制增益，然后根據(jù)計(jì)算得到的控制增益和高超聲速飛行器的約束條件計(jì)算多面體不變集，根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)將多面體不變集進(jìn)行區(qū)域劃分并計(jì)算相應(yīng)區(qū)域的自由控制變量。在線時(shí)只需要搜索當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)所處的分區(qū)，極大地減小了在線計(jì)算時(shí)間，為高超聲速飛行器的實(shí)時(shí)控制提供了保證。仿真試驗(yàn)表明，提出的方法在保持在線算法的控制性能的同時(shí)，極大減少了仿真運(yùn)行時(shí)間，實(shí)現(xiàn)了高超聲速飛行器的實(shí)時(shí)控制。

高超聲速飛行器；雙模預(yù)測(cè)控制；多參數(shù)二次規(guī)劃；多面體不變集

0　引言

高超聲速飛行器因其重要的軍事意義，已成為世界航空航天領(lǐng)域極其重要的發(fā)展方向[1]。由于固有的非線性、強(qiáng)耦合、快時(shí)變、不確定性等特點(diǎn)，高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)成為國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)[2]。高超聲速飛行器飛行速度快、范圍廣，氣動(dòng)特性和飛行動(dòng)力學(xué)特性變化劇烈，參數(shù)存在較強(qiáng)的不確定性，攻角和舵偏等受到嚴(yán)格的約束條件限制[3]。因此，對(duì)飛行控制系統(tǒng)有較高的要求，其控制系統(tǒng)必須能夠保證輸入和狀態(tài)在給定的約束條件內(nèi)并具有較強(qiáng)的魯棒性。

近年來(lái)，一些先進(jìn)的控制策略被應(yīng)用到高超聲速飛行器的控制中，如魯棒控制[4-5]、模型參考控制[6]、自適應(yīng)控制[7]、自適應(yīng)滑?？刂芠8]、反步控制[9]和參考輸出跟蹤控制[10]等。這些方法在不同方面改進(jìn)了魯棒跟蹤性能，但均不能在設(shè)計(jì)控制器時(shí)考慮控制和狀態(tài)的約束，只能通過(guò)參數(shù)調(diào)節(jié)或通過(guò)設(shè)置參考軌跡的變化速率來(lái)保證輸入和狀態(tài)在給定的工作范圍內(nèi)，并且通常是以犧牲部分控制性能為代價(jià)的。預(yù)測(cè)控制方法由于在設(shè)計(jì)控制器時(shí)就考慮控制和狀態(tài)的約束，近年來(lái)在高超聲速飛行器的控制器設(shè)計(jì)中得到越來(lái)越多的重視[11-13]。但預(yù)測(cè)控制依賴于系統(tǒng)的當(dāng)前狀態(tài)，需要反復(fù)在線優(yōu)化計(jì)算，只能應(yīng)用于問(wèn)題規(guī)模較小或系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)變化不是很快的情況。對(duì)于高超聲速飛行器這樣的高動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，不能達(dá)到實(shí)時(shí)控制的要求。在已有的高超聲速飛行器預(yù)測(cè)控制器設(shè)計(jì)中，文獻(xiàn)[11]雖然在保證約束條件限制的同時(shí)具有良好的控制性能，但沒(méi)有考慮預(yù)測(cè)控制的在線計(jì)算時(shí)間問(wèn)題。文獻(xiàn)[12-13]雖然通過(guò)反饋線性化得到解析形式的預(yù)測(cè)控制律，在線時(shí)無(wú)需進(jìn)行優(yōu)化求解，可滿足高超聲速飛行器的實(shí)時(shí)控制要求，但在控制律設(shè)計(jì)中需要求解輸出的高階導(dǎo)數(shù)，過(guò)于復(fù)雜。

針對(duì)預(yù)測(cè)控制的在線計(jì)算時(shí)間問(wèn)題，文獻(xiàn)[14]提出高效魯棒預(yù)測(cè)控制，通過(guò)離線設(shè)計(jì)控制增益、人為引入自由變量減少在線優(yōu)化的約束條件，從而達(dá)到減小在線計(jì)算時(shí)間的目的。但該方法在考慮控制和狀態(tài)約束時(shí)采用的是橢圓不變集的方式，而實(shí)際的約束條件一般是多面體形式的，因此帶來(lái)一定的保守性。針對(duì)這樣的問(wèn)題，文獻(xiàn)[15]提出了基于多面體不變集的雙模預(yù)測(cè)控制方法。該方法克服了橢圓不變集的保守性，但在計(jì)算控制律時(shí)還是要求解一個(gè)在線優(yōu)化問(wèn)題，所以仍然需要較多的計(jì)算時(shí)間。

本文根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)[16](解是關(guān)于參量的分段仿射函數(shù))，提出適用于高超聲速飛行器的基于多參數(shù)二次規(guī)劃的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法。首先在平衡點(diǎn)進(jìn)行小擾動(dòng)線性化得到用于控制器設(shè)計(jì)的預(yù)測(cè)模型，然后離線設(shè)計(jì)無(wú)約束控制增益，根據(jù)系統(tǒng)約束條件和控制增益計(jì)算相應(yīng)的多面體不變集。根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)將多面體不變集進(jìn)行分區(qū)并計(jì)算相應(yīng)的自由控制變量。在線時(shí)，搜索當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)所處的分區(qū)，得到相應(yīng)的控制自由變量，作用到高超聲速飛行器的非線性模型，仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

1　高超聲速飛行器縱向模型

不失一般性，考慮高超聲速飛行器縱向運(yùn)動(dòng)，其典型的非線性運(yùn)動(dòng)模型可表示為

(1)其中

L=0.5ρV2SCL；D=0.5ρV2SCD；T=0.5ρV2SCT

r=h+R

CL=0.620 3α

CD=0.645α2+0.004 337 8α+0.003 772

CM(α)=-0.035α2+0.036 617α+5.326 1×10-6

CM(δe)=ce(δe-α)

式中V為速度；γ為彈道傾角；h為飛行高度；α為攻角；q為俯仰角速率；β(節(jié)流閥開(kāi)關(guān))和δe(升降舵偏轉(zhuǎn)角)為控制量；其他參數(shù)，如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iyy、質(zhì)量m、地球半徑R等，見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。

控制目標(biāo)是利用舵面的偏轉(zhuǎn)和發(fā)動(dòng)機(jī)節(jié)流閥的開(kāi)關(guān)，使飛行器的速度和高度跟蹤參考指令信號(hào)。

2　基于多參數(shù)二次規(guī)劃的離線雙模預(yù)測(cè)控制

2.1基于多面體不變集的雙模預(yù)測(cè)控制

考慮線性時(shí)不變系統(tǒng)

(2)

其中，x∈Rn、u∈Rm分別為系統(tǒng)的控制和狀態(tài)。其受到的控制和狀態(tài)約束條件為

umin≤uk≤umax，xmin≤xk≤xmax，k=1，…，∞

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，可設(shè)計(jì)雙模預(yù)測(cè)控制規(guī)則使系統(tǒng)(2)在滿足約束條件(3)的同時(shí)具有穩(wěn)定性保證。

首先定義性能指標(biāo)函數(shù)

(4)

式中Q、R分別為狀態(tài)和控制的加權(quán)矩陣。

令雙模預(yù)測(cè)控制規(guī)則為

(5)

式中K為離線設(shè)計(jì)的無(wú)約束最優(yōu)控制增益，一般采用LQR方法進(jìn)行設(shè)計(jì)；ck(k=0，…，nc-1)為待優(yōu)化的用于處理約束條件的自由變量。

將式(2)、式(5)代入式(4)中，得到[17]：J=cTWcc+p

(6)

其中

Wc=diag(W，…，E)

W=BTMB+R

M-ξTMξ=Q+KTRK

ξ=A-BK由于p與待設(shè)計(jì)的自由變量ck(k=0，…，nc-1)無(wú)關(guān)，可省略。

為便于描述基于多面體不變集的雙模預(yù)測(cè)控制方法，引入如下2個(gè)集合概念。

定義1[18](最大允許集合)：最大允許集合指該區(qū)域內(nèi)狀態(tài)和控制及其預(yù)測(cè)值均滿足約束條件(3)。表示為

(7)

定義2[18](最大控制允許集合)：最大控制允許集合是指在控制規(guī)則(5)的作用下，控制和狀態(tài)及其未來(lái)時(shí)刻的預(yù)測(cè)值均滿足約束條件(3)。表示為

(8)

算法1[15](基于多面體不變集的雙模預(yù)測(cè)控制)

(1)離線計(jì)算式(5)中的無(wú)約束最優(yōu)控制增益K；

(2)根據(jù)控制增益K和約束條件(3)，采用參考文獻(xiàn)[18]中算法3.2計(jì)算最大控制允許集合(8)；

(3)在每個(gè)采樣時(shí)刻，求解優(yōu)化問(wèn)題

(9)

取自由變量c中的第一個(gè)元素作為式(5)中的控制自由變量。若x∈S0，則c=0，無(wú)需進(jìn)行優(yōu)化求解。

2.2多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)

考慮如下多參數(shù)二次規(guī)劃問(wèn)題

(10)

文獻(xiàn)[16]采用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最優(yōu)性條件已經(jīng)證明：最優(yōu)解z是關(guān)于參量x的分段仿射函數(shù)，即：z=kix(t)+gi，x(t)∈CRi，

其中，ki，gi，Xi，Yi可通過(guò)文獻(xiàn)[16]中的算法1求解得到。

定理1[16]：對(duì)于多參數(shù)規(guī)劃(10)，H>0，假設(shè)初始狀態(tài)所處的多面體集合X是凸集合，則在參數(shù)x的可行集合Xf內(nèi)，最優(yōu)解z是連續(xù)且是關(guān)于參量x的分段仿射函數(shù)。

2.3基于多參數(shù)規(guī)劃的離線雙模預(yù)測(cè)控制

雙模預(yù)測(cè)控制雖然通過(guò)離線求解控制增益K，在每一時(shí)刻只需求解優(yōu)化問(wèn)題(9)，減小了在線計(jì)算量。但是當(dāng)系統(tǒng)的最大允許集合(8)包含較多約束時(shí)，仍然需要較多的在線計(jì)算時(shí)間。對(duì)于類似于高超聲速飛行器這樣的快動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不能滿足實(shí)時(shí)控制的要求。因此，本文根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)，將雙模預(yù)測(cè)控制的在線優(yōu)化問(wèn)題看成一個(gè)多參數(shù)二次規(guī)劃問(wèn)題，提出離線雙模預(yù)測(cè)控制方法。

對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題(9)，把當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)xk當(dāng)作一個(gè)參量，則式(9)可看作一個(gè)多參數(shù)二次規(guī)劃問(wèn)題。這樣可采用文獻(xiàn)[16]中的方法離線計(jì)算好雙模預(yù)測(cè)控制的自由控制變量及其對(duì)應(yīng)的分區(qū)，這樣把自由變量的在線優(yōu)化轉(zhuǎn)化為離線設(shè)計(jì)，在線時(shí)只需搜索當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)所處的分區(qū)，極大減少了在線計(jì)算時(shí)間。

算法2(基于多參數(shù)二次規(guī)劃的離線雙模預(yù)測(cè)控制)

(1)離線計(jì)算無(wú)約束最優(yōu)控制增益及其自由變量

選取合適的加權(quán)矩陣Q、R，采用LQR設(shè)計(jì)無(wú)約束最優(yōu)控制增益K；把式(5)代入式(2)得到閉環(huán)系統(tǒng)

(11)

把式(11)表示為一個(gè)自治動(dòng)態(tài)系統(tǒng)

(12)

其中

根據(jù)文獻(xiàn)[18]中算法3.2計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)(12)的最大控制多面體不變集Sc；根據(jù)多參數(shù)二次規(guī)劃解的性質(zhì)，采用文獻(xiàn)[16]的算法1將多面體不變集Sc進(jìn)行區(qū)域劃分并計(jì)算相應(yīng)的自由變量系列f。

(2)在線搜索得到控制律

在線時(shí)，在多面體控制不變集內(nèi)搜索當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)所處的區(qū)域，得到相應(yīng)區(qū)域的控制自由變量系列f，取第一個(gè)自由量ck，則當(dāng)前時(shí)刻控制律為uk=Kxk+ck，ck=kixk+gi

3　高超聲速飛行器控制器設(shè)計(jì)及其仿真結(jié)果

3.1控制器設(shè)計(jì)

(1)建立預(yù)測(cè)模型

在預(yù)測(cè)控制中，需要建立控制對(duì)象的預(yù)測(cè)模型。為了便于問(wèn)題求解，采用小擾動(dòng)線性化模型作為高超聲速飛行器的預(yù)測(cè)模型。

在高超聲速飛行器的平衡狀態(tài)V0=4 590.3 m/s，h0=33 528 m，γ0=0°，q0=0(°)/s，α0=1.78 97°，β0=0.176 2，δe0=-0.39°， 進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，得到

定義平衡點(diǎn)狀態(tài)x*=[V0γ0h0α0q0]T及控制u*=[β0δe0]T，將上述偏量系統(tǒng)的小擾動(dòng)模型離散化得到預(yù)測(cè)模型，記為

(13)

式中Δx=x-x*為偏量系統(tǒng)狀態(tài)；Δu=u-u*為偏量系統(tǒng)控制；Δy=y-y*為被控輸出。

(2)離線設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制規(guī)則和最大控制允許集合

考慮控制和攻角的約束條件為

選取加權(quán)矩陣Q、R為合適維數(shù)的單位陣，選取自由狀態(tài)維數(shù)nc=2，根據(jù)算法2計(jì)算最大控制允許集合，將其投影到速度-高度平面，如圖1所示。將最大控制允許集合進(jìn)行劃分并計(jì)算相應(yīng)的控制自由變量，其區(qū)域劃分如圖2所示。

圖1　最大控制允許集合在速度-高度平面上的投影

(3)在線實(shí)施控制

在線時(shí)，在最大控制允許集合內(nèi)搜索當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)所處的區(qū)域，得到相應(yīng)的控制自由變量ck。由于設(shè)計(jì)控制器時(shí)是對(duì)偏量系統(tǒng)(13)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，因此在實(shí)施控制規(guī)則時(shí)，應(yīng)在控制中加上相應(yīng)的平衡點(diǎn)才能施加到原來(lái)的非線性系統(tǒng)中，即作用到原系統(tǒng)的控制律為uk=-K(xk-x*)+ck+u*。

圖2　最大控制允許集合的狀態(tài)分區(qū)在速度-高度平面上的投影

圖3　離線算法和在線算法的仿真結(jié)果對(duì)比圖

3.2仿真結(jié)果及分析

給定初始速度和高度分別為V0=4 590.3 m/s，h0=33 528 m，假定從0時(shí)刻起分別給定速度和高度參考階躍信號(hào)Vr=30.48 m/s，hr=30.48 m。用傳統(tǒng)基于多面體不變集的在線雙模預(yù)測(cè)控制方法和本文提出的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法進(jìn)行對(duì)比仿真，其仿真結(jié)果如圖3所示。圖中offline mpc表示采用本文提出的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法，online mpc表示采用文獻(xiàn)[15]基于多面體不變集的在線雙模預(yù)測(cè)控制方法。

所采用的仿真環(huán)境為：硬件平臺(tái)為Intel(R) Pentium(R) Dual E2200@2.2 GHz 2.19 GHz、內(nèi)存1.98 GB，軟件環(huán)境為Matlab2010b。在所進(jìn)行的15 s仿真中，采用在線雙模預(yù)測(cè)控制方法仿真運(yùn)行時(shí)間為：23.215 175 s，而采用本文提出的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法仿真運(yùn)行時(shí)間為：7.446 536 s。從圖3可看到，2種方法得到的速度、高度跟蹤曲線完全重合，均能實(shí)現(xiàn)速度和高度的參考指令信號(hào)跟蹤，且控制和攻角均在給定約束范圍內(nèi)。這說(shuō)明采用離線雙模預(yù)測(cè)控制方法在保持傳統(tǒng)雙模預(yù)測(cè)控制方法的控制性能的同時(shí)能實(shí)現(xiàn)高超聲速飛行器的實(shí)時(shí)控制。

4　結(jié)論

(1)提出一種適用于高超聲速飛行器的離線雙模預(yù)測(cè)控制方法。與傳統(tǒng)的雙模預(yù)測(cè)控制相比，此方法具有以下特點(diǎn)：繼承了基于多面體不變集的雙模預(yù)測(cè)控制方法的約束處理能力和良好控制性能；將傳統(tǒng)雙模預(yù)測(cè)控制的在線優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成離線計(jì)算，在線時(shí)僅需要進(jìn)行簡(jiǎn)單的搜索，極大地減小了在線計(jì)算時(shí)間。

(2)仿真結(jié)果表明，所提出的方法在保持雙模預(yù)測(cè)控制的控制性能的同時(shí)，減少了在線運(yùn)行時(shí)間，實(shí)現(xiàn)了對(duì)高超聲速飛行器的實(shí)時(shí)控制。

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(編輯：呂耀輝)

Off-line dual-mode predictive control method for hypersonic vehicle

GAO Hai-yan，CAI Yuan-li，MA Yu

(School of Electronic and Information Engineering,Xi’an Jiaotong University,Xi’an710049,China)

Considering the problem of the online computation time in the model predictive control for hypersonic vehicle,the off-line dual-mode predictive control was proposed.Firstly,the unconstrained control gain was designed by using the LQR(Liner quadratic regulor)method.Then the polyhedral invariant set was calculated according to the control gain and the constraints of the hypersonic vehicle.The polyhedral invariant set was divided based on the solution of the multi-parameter quadratic program,and the relevant free control variables were calculated simultaneously.On-line,the control law was obtained by searching the region of the current state,which reduces the online computation time noticeably.Simulation results show that the proposed method can not only maintain the control performance but also reduce the simulation time,and the real-time control for hypersonic vehicle can be attained.

hypersonic vehicle；dual-mode predictive control；multi-parameter quadratic program；polyhedral invariant set

2014-11-13；

2014-12-25。

國(guó)家自然科學(xué)基金(61202128，61308120，61463029)；中國(guó)博士后科學(xué)基金(2013M540783)。

高海燕(1986—)，女，博士生，研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制。E-mail：g.a.o.haiyan@stu.xjtu.edu.cn

V448.12

A

1006-2793(2016)01-0120-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.01.022