復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略

安徽省太和中學(xué)　岳峻

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解策略

安徽省太和中學(xué)岳峻

我們知道，在復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］中，若內(nèi)層函數(shù)u=g（x）在區(qū)間（a，b）上具有單調(diào)性，當(dāng)x∈（a，b）時，u∈（m，n），且外層函數(shù)y=f（u）在區(qū)間（m，n）上也具有單調(diào)性，則復(fù)合函數(shù)y= f［g（x）］在區(qū)間（a，b）上一定是單調(diào)函數(shù)。單調(diào)性的判斷規(guī)律可總結(jié)為：對于內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，同增同減復(fù)合增，增減相異復(fù)合減，簡而言之：同為增，異為減。

函數(shù)的單調(diào)性是高考的重點和熱點內(nèi)容之一，其中復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是高中數(shù)學(xué)的一個難點。如何求解復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性呢？

一、外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性均為一種

例1函數(shù)f（x）=loga（4-ax）（a＞0，a≠1）在［0，1］上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）。

A.（1，4］B.（1，4）

C.（4，+∞） D.［4，+∞）

解析（1）函數(shù)的定義域須滿足：4-ax＞0。

（2）還原復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：此函數(shù)由函數(shù)y=logau，u（x）=4-ax復(fù)合而成。

（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：因a＞0，函數(shù)u（x）=4-ax在［0，1］上單調(diào)遞減，且u∈［4-a，4］。

（4）外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=logau在u∈［4-a，4］上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=logau在u∈［4-a，4］上單調(diào)遞增。

（5）因為函數(shù)f（x）=loga（4-ax）在［0，1］上單調(diào)遞減，而函數(shù)u（x）=4-ax在［0，1］上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，可知：a＞1，且4-a＞0。

故答案為B。

評注研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則，不能忽視4-ax＞0在［0，1］上恒成立這一條件。

變式1函數(shù)f（x）=loga（4-ax）（a＞0，a≠1）在［6，8］上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）。

二、外層函數(shù)的單調(diào)性只有一種，內(nèi)層函數(shù)有多種單調(diào)性

例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解析（1）函數(shù)的定義域：（-∞，1）∪（3，+∞）。

（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)u（x）=x2-4x+3在（-∞，2］上單調(diào)遞減，在［2，+∞）上單調(diào)遞增。

評注探求此類復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的五步驟：（1）確定定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子區(qū)間。（2）還原復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。（3）確定內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（4）確定外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（5）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。對于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，包不包括端點都可以，但是，若單調(diào)區(qū)間端點在定義域之中，最好用閉區(qū)間。

解析（1）函數(shù)的定義域：（-∞，1）∪（1，5）∪（5，+∞）。

（2）還原復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程：此函數(shù)由函數(shù)y=logsin3u，u（x）=|x2-6x+5|復(fù)合而成。

（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)u（x）=|x2-6x+5|在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，3）上單調(diào)遞增，在［3，5）上單調(diào)遞減，在（5，+∞）上單調(diào)遞增。

（4）外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)y=logsin3u在（0，+∞）上單調(diào)遞減。

（5）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，函數(shù)y=logsin3|x2-6x+5|在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，在［3，5）上單調(diào)遞增，在（5，+∞）上單調(diào)遞減。

三、外層函數(shù)的單調(diào)性有多種，內(nèi)層函數(shù)只有一種單調(diào)性

解析（1）函數(shù)的定義域：（0，+∞）。

（3）內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：函數(shù)u（x）=在（0，+∞）上單調(diào)遞減。

變式3函數(shù)f（x）=9x-2×3x+1+2的單調(diào)遞減區(qū)間是____，單調(diào)遞減區(qū)間是____。

四、外層函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性都有多種

解析（1）函數(shù)的定義域：（0，+∞）。

（4）外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=f（u）=u2-8u+2在（-∞，4）上單調(diào)遞減，在（4，+∞）單調(diào)遞增。

變式訓(xùn)練答案：

變式3（-∞，1）（1，+∞）提示：函數(shù)f（x）=（3x）2-6×（3x）+2，外層函數(shù)y=u2-6u+2，內(nèi)層函數(shù)u=3x。因為內(nèi)層函數(shù)u=3x在R上單調(diào)遞增，外層函數(shù)y=u2-6u+2在u∈（-∞，3）［?x∈（-∞，1）］上單調(diào)遞減，在u∈［3，+∞）［?x∈［3，+∞）］單調(diào)遞增，所以f（x）=9x-2×3x++2在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在［1，+∞）上單調(diào)遞增。