基于9階van der Pol方程的三穩(wěn)態(tài)電路設計及實現(xiàn)

吳志強，張寶強

（天津大學機械工程學院，天津 300072）

基于9階van der Pol方程的三穩(wěn)態(tài)電路設計及實現(xiàn)

吳志強，張寶強

（天津大學機械工程學院，天津 300072）

基于9階van der Pol方程的分岔結果，設計了1個平衡點和2個極限環(huán)共存的三穩(wěn)態(tài)電路．利用平均法分析了9階van der Pol方程的分岔性質(zhì)，設計了能夠實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的無量綱方程的系統(tǒng)參數(shù)．根據(jù)基爾霍夫電路定理，利用運算放大器和模擬乘法器等元件，構建了9階van der Pol方程的電路原理圖，并通過PSpice仿真和硬件電路試驗驗證了該電路的可行性和可靠性．試驗結果表明，該電路系統(tǒng)中有1個穩(wěn)定平衡點與2個穩(wěn)定極限環(huán)共存的現(xiàn)象，為研究確定性激勵以及隨機激勵下三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的動力學行為奠定了基礎．

三穩(wěn)態(tài)電路；van der Pol方程；PSpice仿真

自1927年van der Pol［1］在研究三極管的振蕩效應過程中提出了van der Pol方程以來，van der Pol振子作為一種典型的非線性系統(tǒng)，對于人們認識Hopf分岔現(xiàn)象以及自激振動（蕩）現(xiàn)象發(fā)揮了重要作用，被廣泛用于力學、物理、工程科學等領域的系統(tǒng)建模和分析．為探討平衡點附近更大范圍的系統(tǒng)動力學行為，高階van der Pol方程理論的研究逐步引起人們關注［2-3］，其中試驗驗證作為一種重要的手段，一直被學者們所關注．

與機械試驗的方法相比，電路試驗因所受到的干擾因素少，實現(xiàn)起來相對簡單快捷，在非線性動力學現(xiàn)象的研究和試驗驗證方面發(fā)揮了重要作用．比如Chua氏電路的提出和試驗，解決了人們關于混沌現(xiàn)象是否存在于真實系統(tǒng)的疑問［4］，促進了混沌動力學的發(fā)展．

van der Pol電路理論、仿真和試驗研究，也一直得到人們的持續(xù)關注，所考慮非線性項的最高次數(shù)不斷增加．唐志凱等［5］利用運算放大器和模擬乘法器等電子元件復現(xiàn)了van der Pol振子系統(tǒng)，并在PSpice中進行了仿真驗證；Lu等［6］將憶阻器應用到van der Pol振子電路中，并利用Multisim進行了仿真驗證；Feoktistov等［7-8］利用運算放大器和模擬乘法器等元器件搭建了5階非線性的van der Pol電路，開展了理論和試驗研究．Datardina等［9］則利用電阻、電感、穩(wěn)壓管等電氣元件搭建了5階非線性電阻，進而構成了具有雙穩(wěn)態(tài)的5階非線性電路，并研究了耦合的5階van der Pol振子的動力學行為；Palumbo等［10］利用帶有5階多項式表示的壓控電流源的LC振子，實現(xiàn)了5階非線性電路，給出了仿真軟件Spectrede的仿真結果；Kojima等［11］則提出了一種7階非線性電阻的電路模型，用于構建7階van der Pol振子電路，并研究了通過電感耦合的7階van der Pol振子的動力學行為．

盡管人們在含高階非線性項的van der Pol系統(tǒng)動力學方面做了大量工作，但重點分析平衡點和極限環(huán)共存現(xiàn)象的工作并不多．Zakharova等［8］針對具有雙穩(wěn)態(tài)行為的5階van der Pol電路，分析了隨機激勵下的相干共振和隨機同步現(xiàn)象．而郝穎等［2］在研究多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨機動力學行為時提到的三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，必須考慮9階非線性項，相關試驗尚鮮見報道．

為探索高階非線性系統(tǒng)多穩(wěn)態(tài)共存的現(xiàn)象，本文提出了一種9階van der Pol振子電路的設計方案，并通過模擬仿真和硬件電路完成了試驗驗證．

1　9階van der Pol方程的三穩(wěn)態(tài)設計

無量綱van der Pol方程為

式中：ε為穩(wěn)定系數(shù)；αi（i=1，…，4）為非線性項的系數(shù)．

假設系統(tǒng)存在解的形式為

式中：y（t）為響應的幅值；?=t+θ（t）．

應用確定性平均法［12］求得平均方程為方程（4）的零解代表系統(tǒng)（1）（式（1））的平衡點，始終存在；方程（4）的非零解代表極限環(huán)，存在于特定參數(shù)條件下．要實現(xiàn)平衡點和多極限環(huán)共存，關鍵在于參數(shù)的選擇．

綜合考慮平均法的精度和電路試驗中元器件參數(shù)選擇的可行性，本文選α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，則參數(shù)ε變化時系統(tǒng)分岔圖如圖1所示．圖1中實線表示穩(wěn)定解（平衡點及極限環(huán)），點劃線表示不穩(wěn)定極限環(huán)，星號線表示數(shù)值計算結果．圖2給出不同參數(shù)下系統(tǒng)中共存的吸引子的相圖，不穩(wěn)定極限環(huán)未在圖中畫出．

從圖1中可以看出，參數(shù)ε變化時系統(tǒng)行為發(fā)生多次分岔．ε∈（-0.19，0］區(qū)間時，系統(tǒng)存在1個穩(wěn)定平衡點和1個穩(wěn)定的幅值較大的極限環(huán)，系統(tǒng)相圖如圖2（a）所示；ε∈［-0.23，-0.19］區(qū)間時，系統(tǒng)存在1個穩(wěn)定平衡點和2個穩(wěn)定的極限環(huán)（其中一個幅值較大，另一個幅值較小），系統(tǒng)相圖如圖2（b）所示；ε∈［-0.33，-0.23）區(qū)間時，系統(tǒng)存在1個平衡點和1個穩(wěn)定的幅值較大的極限環(huán)，系統(tǒng)相圖如圖2（c）所示．當選擇系統(tǒng)參數(shù)ε∈［-0.23，-0.19］時，由于系統(tǒng)中同時存在3個穩(wěn)定吸引子，即可實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)設計．可見，借助分岔分析結果，可以直觀地進行多穩(wěn)態(tài)行為的參數(shù)設計．

圖1 系統(tǒng)的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system

圖2 系統(tǒng)相圖Fig.2 Phase diagram of the system

圖3 9階van der Pol振子電路原理Fig.3 Circuit diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

2　三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路的設計

本文采用線性電阻、線性電容、運算放大器（LF412CN）、模擬乘法器（AD633JN）設計實現(xiàn)9階van der Pol振子系統(tǒng)電路，其中運算放大器用來實現(xiàn)電路的加、減和積分運算，模擬乘法器用來實現(xiàn)系統(tǒng)中的非線性項，系統(tǒng)的電路原理如圖3所示．

根據(jù)基爾霍夫電壓電流定理，可得系統(tǒng)的電路方程為式中：V1為反相積分器U1輸出的電壓信號，V；V3為可變電阻R15中間端子輸出的電壓值，V；Ri（i=1，2，··，16）為對應電阻的阻值，k?；C1、C2分別為2個電容器的電容值，nF．

選取電容參數(shù)C1=C2=10 nF ，電阻參數(shù)R2=R3= R4=R10=R13=1k?，R1=R5=R11=R12=10k?，R6= R8=100 k?，R7=4 k?，R9=2.2 k?，R14=4 k?，可變電阻R15=20 k?，R16=25 k?，可使系數(shù)α1=2.5，α2=4.545，α3=2.5，α4=0.4，從而實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)電路設計．需要注意的是，從式（6）可以看出，式（1）中的參數(shù)是由多個電路元器件參數(shù)組合而成，故存在其他種類的元器件參數(shù)組合也可實現(xiàn)圖1預測到的系統(tǒng)三穩(wěn)態(tài)行為．

本文選擇參數(shù)時，遵循以下原則：①電阻、電容參數(shù)的選擇盡可能統(tǒng)一且為市場上常見的標稱值；②電路系統(tǒng)的線性頻率滿足現(xiàn)有測量儀器（如示波器）的正常工作范圍．

3　三穩(wěn)態(tài)van der Pol電路的仿真及試驗

為避免試驗過程中的彎路且為實際電路的搭建提供依據(jù)，先進行仿真分析．在確定上述電路設計正確的基礎上，再搭建實物電路進行試驗驗證．

3.1電路仿真及結果

本文所采用的電子設計自動化（electronic design automation）軟件為PSpice．PSpice是一款非常出色的EDA軟件，可以最大程度地模擬出真實電子元器件的性質(zhì)．在PSpice中搭建原理圖并仿真，輸出端V1、V2的仿真結果如圖4所示．

仿真過程中，調(diào)節(jié)V3=-0.23，V（在三穩(wěn)態(tài)區(qū)間內(nèi)），給定初始條件為0.1V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時間歷程曲線以及相圖如圖4（a）和4（b）所示，穩(wěn)態(tài)響應為平衡點；給定初始條件為0.5 V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時間歷程曲線以及相圖如圖4（c）和4（d）所示，穩(wěn)態(tài)響應為幅值較小的極限環(huán)；給定初始條件為1.0 V，系統(tǒng)兩狀態(tài)變量的時間歷程曲線以及相圖如圖4（e）和4（f）所示，穩(wěn)態(tài)響應為幅值較大的極限環(huán)．仿真結果說明該參數(shù)下系統(tǒng)存在3個吸引子共存的現(xiàn)象，因此也具備了搭建實際電路的可行性．

圖4 9階van der Pol振子電路仿真結果Fig.4 Simulation results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

3.2硬件電路試驗及結果

考慮到電路實際運行情況與模擬仿真有一定的不同，在圖3所示電路原理基礎上，筆者在Protel中重新繪制了電路原理圖，如圖5所示．

調(diào)節(jié)圖中可變電阻R25的阻值，可得到不同電壓值，通過按鈕開關S1實現(xiàn)給定不同的初始條件．此外，R7、R9、R14、R16均為可變電阻，以方便調(diào)節(jié)阻值參數(shù)；其余電路元器件參數(shù)同上，輸出端為V1和V2．圖6為電路板實物照片．

圖5 9階van der Pol振子電路的Protel原理Fig.5 Protel diagram of ninth-order van der Pol oscillator circuit

圖6 9階van der Pol振子電路實物Fig.6 Physical picture of ninth-order van der Pol oscillator circuit

在電路試驗中，取ε=-0.24 V ，即調(diào)節(jié)可變電阻R15的阻值使V3=-0.24，V，分別給定不同大小的初始條件，系統(tǒng)2個輸出端的V1和V2的信號由示波器采集，試驗結果如圖7所示．圖7（a）和7（b）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為平衡點，穩(wěn)定時兩狀態(tài)變量響應為0；圖7（c）和7（d）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為幅值較?。s1.2，V）的極限環(huán)，穩(wěn)定時兩狀態(tài)變量響應為正弦曲線；圖7（e）和7（f）表示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)為幅值較大（約3.8，V）的極限環(huán)，由于此時系統(tǒng)的非線性變強，響應波形發(fā)生畸變．需要說明的是，由于電路瞬態(tài)過程時間很短，圖7中試驗結果只給出響應達到穩(wěn)態(tài)以后的結果，與圖4中給出的仿真結果是一致的．

比較圖4、圖7和圖1可知：首先，PSpice對本文所給出的電路具有很高的仿真精度，仿真波形與試驗所得波形吻合度非常高；其次，與理論結果相比較，波形畸變后幅值相差較大．原因可能有兩個方面：①用平均法近似求解時，僅僅考慮了基頻分量，而圖4（e）、圖7（e）波形畸變后，高頻成分不再是小量，不可忽略不計；②理論推導過程中，對模擬乘法器以及運算放大器的輸入輸出采用理想函數(shù)，忽略了實際元器件特性的限制．

后續(xù)多穩(wěn)態(tài)電路改進設計時，擬通過降低極限環(huán)最大幅值來提高理論和試驗結果吻合程度．

圖7 9階van der Pol振子電路試驗結果Fig.7Experimental results of ninth-order van der Pol oscillator circuit

4　結 語

本文利用運算放大器和模擬乘法器等電子元器件設計實現(xiàn)了一種9階van der Pol振子非線性電路．首先，利用平均法設計了系統(tǒng)能夠實現(xiàn)三穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象的無量綱方程的參數(shù)；其次，依據(jù)該參數(shù)，利用PSpice對所設計的電路進行了模擬仿真分析；最后，在上述基礎上搭建了硬件電路并完成了試驗驗證.通過調(diào)節(jié)分岔參數(shù)以及給定不同的初始條件，仿真和試驗都得到了不同穩(wěn)態(tài)下該系統(tǒng)中2個狀態(tài)變量的波形及其相圖的軌跡，直觀地展示了高階非線性系統(tǒng)中3個吸引子共存的現(xiàn)象，所用方法對更高維非線性系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)設計有參考價值，并為下一步開展隨機動力學行為的試驗研究奠定了基礎．

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［8］ Zakharova A，F(xiàn)eoktistov A，Vadivasova T，et al. Coherence resonance and stochastic synchronization in a nonlinear circuit near a subcritical Hopf bifurcation［J］. The European Physical Journal Special Topics，2013，222（10）：2481-2495.

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（責任編輯：金順愛）

Design and Implementation of Tri-Stable Circuit Based on the Ninth-Order van der Pol Equation

Wu Zhiqiang，Zhang Baoqiang
（School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

A kind of tri-stable circuit with one stable equilibrium point and two stable limit cycles was designed based on the bifurcation analysis of the ninth-order van der Pol equation．By using the averaging method，the bifurcation properties of the ninth-order van der Pol equation were analyzed，and the dimensionless equation parameters which could achieve the tri-stable phenomena were designed．According to Kirchhoff laws，the circuit diagram of the ninthorder van der Pol equation was constructed with such elements as operational amplifiers，analog multiplier，etc．The feasibility and reliability of the circuit were verified by PSpice simulation and hardware experiments．The results show that the proposed circuit system does have one stable equilibrium point and two stable limit cycles，which lays a foundation for further study on the dynamic behaviors of tri-stable system under deterministic excitation and random excitation.

tri-stable circuit；van der Pol equation；PSpice simulation

O322

A

0493-2137（2016）07-0709-07

10.11784/tdxbz201507003

2015-07-01；

2015-08-13.

國家自然科學基金資助項目（11372211）.

吳志強（1968— ），男，博士，教授.

吳志強，zhiqwu@tju.edu.cn.

網(wǎng)絡出版時間：2015-09-01. 網(wǎng)絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/12.1127.N.20150901.0843.002.html.