人文氣息下的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)

張曉東

[摘 要] 數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)被人說成是世界難題，解決這個難題是我們數(shù)學(xué)教育工作者所關(guān)注的. 我們期盼能否用中華民族傳統(tǒng)文化的滲透而為這個問題解決推波助瀾. 在本節(jié)課教學(xué)中，把滲透數(shù)學(xué)文化和民族文化作為突破數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)難點的重要支撐，收到很好的效果.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)歸納法；人文滲透；突破；瓶頸；學(xué)科德育

一點說明

上學(xué)期根據(jù)區(qū)教研員的安排，要求我們上一節(jié)在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透人文素養(yǎng)的區(qū)級公開課. 接到任務(wù)時，我們的教學(xué)進(jìn)度在“數(shù)學(xué)歸納法”. 按文獻(xiàn)1的敘述，“數(shù)學(xué)歸納法從萌芽到以歸納公理的形式最終確定下來，共經(jīng)歷了兩千多年的時間……，數(shù)學(xué)歸納法的教學(xué)是一個世界難題.” 如何突破這個教學(xué)難點，又要使人文知識與數(shù)學(xué)理性相映生輝. 在時間緊、任務(wù)重的情況下，我們緊急籌劃，廣泛采獵，反復(fù)推敲，并在教研組老師中逐一征求意見的情況下，形成初稿.再經(jīng)過兩次試教，兩易其稿，最終定稿.

教學(xué)過程簡述

1. 創(chuàng)設(shè)情景，引入課題

引例1：

（1）天下烏鴉一般黑，對不對？

學(xué)生：很難說.

（2）我們給出這樣的數(shù)列：數(shù)列{an}的遞推公式：a1=2，且an+1=a-nan+1（n∈N*），求a2=_____，a3=_____，a4=______，a5=_____，

并由此猜測出{an}的一個通項公式為an=_________（注：猜測結(jié)果是an=n+1）.

（3）費馬素數(shù)猜想（PPT顯示費馬頭像、簡介）

法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了以下猜想：設(shè)Fn=22n+1，F(xiàn)0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65537，這五個數(shù)是質(zhì)數(shù)，由此提出（費馬沒給出證明），形如Fn=22n+1的數(shù)都是質(zhì)數(shù)的猜想. 但在1732年，歐拉算出F5=641×67900417是合數(shù).

設(shè)計意圖：先由天下烏鴉一般黑這個有趣的說法引入不完全歸納的思想，引發(fā)學(xué)生思考，這種思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有沒有應(yīng)用呢？拋出引例1（2），學(xué)生完成后追問，猜出來的通項公式一定對嗎，然后適時引出費馬數(shù)，一方面對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)史的熏陶，另一方面，由這個例子可以看到，連這樣數(shù)學(xué)頂級大師在用不完全歸納的時候，都能犯這種美麗的錯誤，何況我們凡夫俗子，所以提醒大家：歸納有風(fēng)險，猜想須謹(jǐn)慎！

請大家思考，對于我們猜想出來的命題，如果要說明他是錯誤的，應(yīng)該怎么辦？

如果要說明猜想出來命題如引例1（2）是正確的，怎么辦呢？進(jìn)而一種證明引例1（2）的方法呼之欲出. 另外，我們在選擇引例1（2）還基于以下原因：就是這個數(shù)列的通項公式很好猜，但很難轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，學(xué)生在無計可施的情況下，追求新的方法的意愿會更加強烈！

2. 數(shù)學(xué)歸納法原理導(dǎo)引

引例2：史書《周禮》中有這樣一段記載“在各國從邊疆到腹地的通道上，每隔一段距離，筑起一座烽火臺，接連不斷，臺上有桔槔，桔槔頭上有裝著柴草的籠子，有敵人入侵時，烽火臺就一個接一個地燃放煙火傳遞警報”.

有什么條件可使烽火臺依次全部點燃？

（1）第一個點燃；

（2）看到第一個烽火臺點繞，第二個烽火臺就要點繞，依次第三個烽火臺，……，

即在第k個烽火臺點燃，能引起第k+1個烽火臺點燃.

引例3：上課伊始，跟學(xué)生玩如下游戲：按班級同學(xué)的學(xué)號從小到大再接回，我們班級是38人，一號接二號，依次下去，38號結(jié)束后一號再接，無限下去……，如一號說：一馬當(dāng)先，二號接：先人后己，三號接：己所不欲，勿施于人，四號接：人定勝天，五號接：天理不容，六號接：容我好好想想，七號接：鄉(xiāng)間小路（短語、諧音語句都可以）……，問學(xué)生，這樣接下去，能接多久，學(xué)生答：要永遠(yuǎn)接下去…….

設(shè)計意圖：（1）以上兩例的共同特點是什么？總結(jié)出數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟. （2）滲透德育教育，弘揚民族傳統(tǒng)文化的育人價值. （3）按傳統(tǒng)方法，多數(shù)教師用多米諾骨牌，但有人做過調(diào)查，要使所有骨牌都倒下，學(xué)生想的條件并不是我們所想象的那樣簡單地給出數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟，況且多米諾骨牌是有限多個的，而引例3中傳遞會無限地傳下去，這樣就突破了數(shù)學(xué)歸納法實際引例中總是“有限”的瓶頸（有用集合元素的任意性以及直線與平面垂直的直線的任意性等，而這里直接就是無限的問題）. 實踐證實，這樣的舉例便于學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟. （4）在烽火臺點燃的問題中，學(xué)生說道前一個烽火臺點燃，可引出后一個烽火臺點燃，教師追問，“前”一個是指哪一個，可以指第1個，也可以指第2個，還可以指第3個，一般情況下，你應(yīng)當(dāng)怎樣表述，學(xué)生自然會想到：可以用一個字母（比如k）來表示，那后面一個就是第k+1個. 自想：“好，火候到了，要的就是這個效果！”

3. 探究數(shù)學(xué)歸納法

（1）請同學(xué)們結(jié)合上面的引例2完成下列表格的第一列（師生共同完成）.

（2）請你設(shè)計一個證明引例1（2）的思路，完成第二列（學(xué)生思考討論）.

（3）提煉數(shù)學(xué)歸納法（師生共同完成第三列）.

設(shè)計意圖：考慮到數(shù)學(xué)歸納法的抽象性，及學(xué)生的接受能力，沒有直接給出數(shù)學(xué)歸納法.為了避免一言堂，給學(xué)生騰出思考的空間，讓學(xué)生動起來，在完成表格第一列之后，教師設(shè)問：同學(xué)們能不能由烽火臺依次點燃原理，遷移一下，設(shè)計一個證明引例1（2）的思路，給學(xué)生一個探究的空間，動手的機(jī)會. 然后師生共同完成第三列，完成用數(shù)學(xué)歸納法證明引例1（2）中的猜想. 不知不覺中，學(xué)生已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)歸納法，教師趁熱打鐵，完成數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.

自此，表格的使命還沒有完成，在完成整個表格之后，再回到第一列烽火臺依次點燃的原理上去，讓學(xué)生在此感受一下兩個條件即奠基和遞推缺一不可，然后再回到第三列，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在證明n=k+1命題成立時，一定要用到n=k時命題成立這個假設(shè). 將生活的事實遷移到數(shù)學(xué)原理，既直觀淺白又寓意深刻，表格的使命完成.

4. 熟悉方法，簡單應(yīng)用

例1 （1）小明想用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+4+…+n=+100，證明方法如下，請同學(xué)們思考一下是否合理，并說明理由.

（Ⅰ）假設(shè)n=k （k∈N*）時，等式成立，

即1+2+3+4+…+k=+100成立.

那么，當(dāng)n=k+1時，

左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）=+100+（k+1）=+100=+100，

右邊=+100，？搖？搖？搖

所以當(dāng)n=k+1時等式也成立.

所以等式對一切正整數(shù)都成立.

（2）小紅想用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+4+…+n=，證明方法如下，請同學(xué)們思考一下是否合理，并說明理由.

（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k∈N*，k≥1）時，等式成立，

即1+2+3+4+…+k= 成立.

當(dāng)n=k+1時， 左邊=1+2+3+4+…+k+（k+1）= =，

右邊=，

所以當(dāng)n=k+1時等式成立.

由（1）（2）知，對n∈N*公式都成立.

設(shè)計意圖：反復(fù)緊扣數(shù)學(xué)歸納法的兩個條件，第一小問缺少了奠基，結(jié)果用“數(shù)學(xué)歸納法”證出了一個假命題，引起學(xué)生認(rèn)識沖突，讓學(xué)生深刻理解奠基的作用（否則將以訛傳訛）；第二小問突出第二個條件：傳遞性，剛開始學(xué)生可能認(rèn)為第二小問的證法是正確的，在教師點撥后學(xué)生幡然醒悟，傳遞性也更加深入人心. 兩個反例對學(xué)生正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法起到警示作用.

例2 如圖5所示：

第1層放1小球，

第2層放1+2=3個小球，

第3層放1+2+3=6個小球，

第4層放1+2+3+4=10個小球，

……

第n層放1+2+3+…+n=個小球，

求證：小球的總數(shù)為，

即要證：1+3+6+10+…+=.

設(shè)計意圖：其一，通過前面的探討，學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法有了一定的認(rèn)識，接下來乘勝追擊，讓學(xué)生完成例題2的證明，是對數(shù)學(xué)歸納法的鞏固；其二，這個例題是三角堆積里面的一個例子，早在我國元代，數(shù)學(xué)家朱世杰完成對上式的證明，并且給出了四角垛、六角垛等的求和問題，比西方相應(yīng)的成果早400多年. 朱世杰所著《四元玉鑒》是“中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時也是整個中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”，由此滲透民族精神的教育.

通過我們艱苦細(xì)致的工作，這節(jié)課得到聽課老師的廣泛認(rèn)可. 課后與學(xué)生交流，并把準(zhǔn)備的過程也與學(xué)生說明，學(xué)生感覺很興奮，原來數(shù)學(xué)可以和這么多的內(nèi)容聯(lián)系，對促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情有很大幫助.我們投寄到貴刊，渴望與讀者共享.