一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略*

許 敏,聶 敏,楊 光,2,裴昌幸

(1.西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，西安　710061；

2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安　710072；

3.西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國家重點實驗室，西安　710071)

一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略*

許 敏**1,聶 敏1,楊 光1,2,裴昌幸3

(1.西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，西安710061；

2.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院，西安710072；

3.西安電子科技大學(xué)綜合業(yè)務(wù)網(wǎng)國家重點實驗室，西安710071)

提出一種以糾纏交換作為核心技術(shù)的遠程量子鏈路建立策略,建立了基于鏈路狀態(tài)矩陣的量子鏈路模型并分析了糾纏交換的實現(xiàn)和矩陣表示。提出了鏈路協(xié)議棧以及端到端的建立策略,分析了矩陣控制下的糾纏交換和糾纏純化流程,計算得出了在基于自動重傳請求(ARQ)協(xié)議經(jīng)典信息輔助下的鏈路時延和吞吐量與節(jié)點數(shù)、誤幀率、平均距離、操作成功率之間的定量關(guān)系。仿真結(jié)果表明:處于同一狀態(tài)區(qū)間內(nèi)的鏈路性能隨節(jié)點數(shù)呈現(xiàn)出較為一致和平緩的變化;不同區(qū)間內(nèi)的鏈路性能差異較為顯著,在節(jié)點平均距離為1 km、經(jīng)典信息誤幀率為0、糾纏保真度為0.98的情況下,當(dāng)節(jié)點數(shù)分別為32、33和34時,鏈路時延分別為1.077 0 ms、1.090 3 ms和1.669 0 ms,鏈路吞吐量分別為0.928 5 kb/s、0.917 2 kb/s和0.599 2 kb/s。

量子通信;量子鏈路;糾纏交換;糾纏純化;鏈路時延;鏈路吞吐量

引用格式:許敏，聶敏，楊光，等.一種基于糾纏交換的遠程量子鏈路建立策略[J].電訊技術(shù)，2016，56(3)：233-240.[XU Min，NIE Min，YANG Guang，et a1. A strategy of estab1ishing remote quantum 1ink based on entang1ement swaPPing[J].Te1ecommunication Engineering，2016，56(3)：233-240.]

1　引 言

量子糾纏是量子通信過程中的重要資源，也是量子通信與經(jīng)典通信區(qū)別的一個重要特征?；诩m纏的非定域性[1]，通信雙方一旦建立了糾纏連接，就可以借助糾纏關(guān)聯(lián)執(zhí)行量子密鑰分發(fā)、量子秘密共享、量子安全直接通信[2-3]等各種通信協(xié)議?；诩m纏的研究與應(yīng)用是目前量子計算與量子信息領(lǐng)域的研究熱點。2012年9月，德國Max P1anck研究所與奧地利量子光學(xué)與量子信息研究所(Institute for Quantum OPtics and Quantum Information，IQOQI)成功進行了143 km自由空間量子隱形傳態(tài)實驗[4]，驗證了量子隱形傳態(tài)在真實環(huán)境下的成熟性和適應(yīng)性。2013年9月，日本NTT基礎(chǔ)研究實驗室與NTT光子實驗室在光纖中成功進行了300 km的糾纏分發(fā)[5]，闡明了在光纖中進行遠距離量子通信實驗的可能性。2015年4月，清華大學(xué)與中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)聯(lián)合研制了一種高亮度和高糾纏度的一體化糾纏源系統(tǒng)[6]，并成功應(yīng)用到了上百公里自由空間量子糾纏分發(fā)試驗中。

糾纏在量子通信網(wǎng)中具有十分重要的意義[7-10]，廣泛應(yīng)用在差錯控制、網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)、路由選擇、信令中繼、身份認(rèn)證等方面。文獻[11]提出了一種基于糾纏的量子自動重傳請求(Automatic RePeat Request，ARQ)協(xié)議，可以有效地提高數(shù)據(jù)鏈路層的最大吞吐量和信道利用率。文獻[12]提出了一種新穎的三方量子停止等待及自動選擇重傳策略。文獻[13]提出了一種基于遠程傳態(tài)的量子路由策略，將量子通信網(wǎng)的范圍進行了有效的擴展。文獻[14]提出的量子信令中繼網(wǎng)絡(luò)模型，借助糾纏交換，解決了噪聲背景下的量子信令遠程傳輸問題，實現(xiàn)了量子信令的可靠傳輸。

目前的研究工作主要集中在為量子通信提供高糾纏度、高亮度的糾纏粒子對以及提高糾纏分發(fā)的距離等方面[15]。然而，如何為各種基于糾纏的量子通信協(xié)議提供可靠的糾纏連接，其相關(guān)研究尚未完全展開。為此，本文在糾纏交換的基礎(chǔ)上提出一種遠程量子鏈路建立策略，結(jié)合糾纏純化的應(yīng)用實現(xiàn)遠距離節(jié)點間的端到端連接，并對本策略下鏈路的時延及吞吐量進行分析與仿真。

2　基于狀態(tài)矩陣的鏈路模型

2.1鏈路中的兩類節(jié)點

在基于糾纏交換的量子通信網(wǎng)中，通信鏈路由通信信道和網(wǎng)絡(luò)節(jié)點組成。端到端的鏈路模型如圖1所示，其中，每個橢圓表示節(jié)點所在區(qū)域，處于相鄰橢圓中由線段所連接的黑點表示糾纏粒子對。鏈路中的節(jié)點分為邊緣節(jié)點和中間節(jié)點兩類。

(1)邊緣節(jié)點

一條鏈路中收發(fā)信息的兩個端點。在一條鏈路中，有且僅有兩個邊緣節(jié)點，如圖1中的節(jié)點1和節(jié)點M。

(2)中間節(jié)點

通信鏈路中除了邊緣節(jié)點之外的其余節(jié)點，如圖1中的節(jié)點2，3，…，M-1。

圖1　端到端的鏈路模型Fig.1 The end-to-end 1ink mode1

2.2相鄰節(jié)點間糾纏鏈路的建立過程

當(dāng)節(jié)點A與B、B與C同時共享糾纏粒子對時，節(jié)點A、B、C構(gòu)成如圖2所示的相鄰關(guān)系。

圖2　相鄰鏈路節(jié)點間的糾纏關(guān)系Fig.2 Adjacent re1ation between 1ink nodes

圖2中，a1-b1表示節(jié)點A與B之間的糾纏粒子對，b2-c1表示節(jié)點B與C之間的糾纏粒子對。在中間節(jié)點B處，對粒子b1和b2進行操作和測量，從而建立起節(jié)點A與節(jié)點C之間的糾纏關(guān)聯(lián)，其量子線路如圖3所示。

圖3　糾纏交換線路圖Fig.3 Circuit diagram of entang1ement swaPPing

圖3中，H1、H2表示量子hadamard門，虛線框內(nèi)為一個受控非門。將通過H1后的b1作為控制比特對b2進行受控非操作，然后將b2通過H2并與b1一起作非破壞Be11測量(Be11 State Nondemo1ition Measurement，BSNM)[16]。

令粒子a1和b1、粒子b2和c1的初始狀態(tài)分別為

則系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

隨后，測量將粒子b1和b2投影到4個相互正交的Be11態(tài)上，使粒子a1和b1發(fā)生塌縮，得到對應(yīng)狀態(tài)的糾纏粒子對a1-c1，在使用BSNM測量的情況下，忽略環(huán)境因素，鏈路中糾纏粒子的總數(shù)維持不變，而糾纏粒子之間的距離會不斷增長。

基于線性光學(xué)的實現(xiàn)方案如圖4所示。

圖4　線性光學(xué)實現(xiàn)方案Fig.4 ImP1ementation scheme based on 1inear oPtics

圖4中：脈沖頻率為80 MHz[4]；B1和B2為偏硼酸鋇晶體；PBS是分束器；D1、D2為探測器。脈沖通過B1后產(chǎn)生第一對糾纏光子a1和b1，隨后進入B2產(chǎn)生第二對糾纏光子c1和b2。a1通過PBS進入節(jié)點A處的探測器D1，c1進入節(jié)點C處的探測器D2，b2和b1隨后進入節(jié)點B處的BSNM裝置。測量塌縮后，原本獨立的粒子a1和c1處于最大糾纏態(tài)，當(dāng)測量結(jié)果為|φ+〉、|ψ+〉、|φ-〉、|ψ-〉時，a1c1的狀態(tài)分別為|φ-〉、|φ+〉、|ψ+〉、|ψ-〉。

2.3相鄰節(jié)點糾纏建立的矩陣分析

為便于分析，將相鄰節(jié)點間的鏈路長度歸一化并定義糾纏長度為糾纏粒子之間的鏈路長度。若兩個糾纏粒子處于同一個節(jié)點，則認(rèn)為其糾纏長度為0，規(guī)定單個糾纏粒子的糾纏長度為0。M個節(jié)點的糾纏鏈路可表示為M×M的矩陣：

式中：e'ij(n)為節(jié)點i和j之間的糾纏長度；e'ij=；n表示鏈路狀態(tài)，滿足E'(n)=E'T(n)。

易得糾纏長度的無方向性及e'ij(n)=e'ji(n)，故取E'(n)的下三角矩陣E(n)作為鏈路的狀態(tài)矩陣，則有

對相鄰節(jié)點間糾纏交換的矩陣描述如下：當(dāng)eij(n)≠0，若存在eki(n)≠0時，令

則相鄰節(jié)點k和j之間的糾纏關(guān)聯(lián)由中間節(jié)點i建立完成；若不存在eki(n)≠0，則節(jié)點i不進行任何操作。

3　端到端的糾纏鏈路建立

基于上述分析，現(xiàn)考慮整條鏈路的糾纏建立過程。圖5是鏈路的協(xié)議棧。

圖5　鏈路協(xié)議棧Fig.5 Protoco1 stack of 1ink

鏈路的協(xié)議棧分為6層，最下層為第一層，即經(jīng)典信息輔助(CIA)，它在鏈路的建立過程中起輔助作用。第二層為糾纏制備(EM)，表示相鄰節(jié)點糾纏對的制備和共享。第三層和第五層為純化控制(PC)，用來控制節(jié)點的糾纏純化。第四層為糾纏交換控制(ESC)，用來控制節(jié)點間的糾纏交換。最上層為應(yīng)用層，表示各種基于糾纏的應(yīng)用。

圖6是一個7節(jié)點鏈路的建立過程，其中，PC(x)和ESC(x)表示E(x)狀態(tài)的糾纏純化和糾纏交換，x∈N。PC(-1)表示進入E(0)前的純化操作。在控制命令下，鏈路經(jīng)歷了三個階段。規(guī)定鏈路初始化之前，每個節(jié)點向下行相鄰節(jié)點發(fā)送糾纏粒子，進行純化操作，當(dāng)緩存的糾纏對數(shù)量滿足協(xié)議啟動需要的下限時，鏈路進入初始狀態(tài)E(0)。隨后按以下步驟進行：

(1)在節(jié)點2、4、6上進行糾纏交換，隨后在節(jié)點1和3、3和5、5和7之間進行純化，鏈路進入狀態(tài)E(1)；

(2)在節(jié)點3上進行糾纏交換，并在節(jié)點1和5之間進行純化，鏈路進入狀態(tài)E(2)；

(3)在節(jié)點5上進行糾纏交換，并在節(jié)點1和7之間進行純化。鏈路進入狀態(tài)E(3)，建立完成。

圖6　鏈路建立流程圖Fig.6 Process diagram of 1ink construction

對應(yīng)于圖6的鏈路狀態(tài)矩陣為

對于一般情況下鏈路的建立過程，其算法如下：

(1)對于狀態(tài)矩陣E(x)，x≥0，取最小行標(biāo)的非零元素eij(x)，若存在eki(x)≠0，則執(zhí)行步驟2，否則轉(zhuǎn)入步驟4；

(2)令ekj(x+1)=k-j，eij(x)=0，eki(x)=0，記錄當(dāng)前節(jié)點i，k，j；

(3)判斷當(dāng)前E(x)中是否存在非零元素，若存在，則轉(zhuǎn)回步驟1，否則對記錄的所有節(jié)點i進行糾纏交換操作，令節(jié)點k和j進行糾纏純化操作并進入步驟4；

(4)鏈路狀態(tài)矩陣變?yōu)镋(x+1)；

(5)重復(fù)執(zhí)行上述步驟，直至糾纏鏈路建立完成。

4　仿真分析

令F表示保真度，則純化前的光子密度矩陣為

根據(jù)Bennett等提出的糾纏純化方案，純化前的保真度Fr與純化后的保真度Fr+1滿足

取E(0)時刻的保真度FE(0)為每級純化保真度的下限。經(jīng)過糾纏交換后，相鄰節(jié)點間糾纏對的保真度為

參數(shù)p1、p2和η分別為純化操作進行單比特、兩比特量子操作和量子測量的成功率。

鏈路建立過程中，由于信道的退極化作用及多變的環(huán)境因素，每輪量子操作成功率變化較為復(fù)雜，為了便于分析，采用獨立同分布假設(shè)。令節(jié)點產(chǎn)生糾纏粒子的成功率為pem，進行糾纏交換的成功率為pesc，將保真度從Fesc純化到FPc的次數(shù)為t，成功率為pPc。對于狀態(tài)矩陣為E(x)的鏈路，連接過程所需要的時間包括相鄰節(jié)點間制備分發(fā)糾纏對的平均時間Tem、進行糾纏交換的平均時間Tesc(x)和進行糾纏純化的平均時間TPc(x)。假設(shè)鏈路成功產(chǎn)生糾纏對的次數(shù)、成功進行糾纏交換和完成糾纏純化的次數(shù)均服從指數(shù)分布。

對于x≥0，鏈路建立所需的總平均時間為

式中：Tq表示量子操作和測量的時延；Tc(x)表示各種經(jīng)典信息的傳輸時延；且有

式中：τoP為完成一次量子操作或測量的時間。采用停等式ARQ協(xié)議傳輸經(jīng)典信息，記τtr=l/c，則

式中：N表示鏈路節(jié)點數(shù)；κ為狀態(tài)數(shù)，滿足2κ+1＜N≤2κ+1+1，κ∈N；c表示光速；p為誤幀率；l為相鄰節(jié)點間的平均距離。

由式(14)得

式中：τem為糾纏分發(fā)時延。

令PN=pem(pescpPc)κ+1，則鏈路的吞吐量為

綜上所述，鏈路共經(jīng)歷了從E(0)到E(κ)共κ+1個狀態(tài)。Nmin為區(qū)間的最小節(jié)點數(shù)，T和S分別表示時延及吞吐量。令τem=0.3 μs，τoP=2 μs，τP= 0.1 μs，l=1 km，F(xiàn)ESC(0)=0.98，忽略TPc(-1)，得到對應(yīng)不同狀態(tài)數(shù)鏈路節(jié)點的時延及吞吐量如表1所示。

表1　對應(yīng)不同狀態(tài)數(shù)鏈路節(jié)點的時延及吞吐量Tab.1 Time de1ay and throughPut of 1inks of different node number

對時延和吞吐量與節(jié)點數(shù)關(guān)系的仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7　時延和吞吐量與節(jié)點數(shù)N的關(guān)系Fig.7 Time de1ay and node number with N

由圖7知，N=33時，T33=1.090 3 ms，S33= 0.917 2 kb/s。N=34時，T34=1.669 0 ms，S34= 0.599 2 kb/s，T和S發(fā)生明顯變化。原因是N=33時，鏈路建立經(jīng)歷了E(0)-E(4)狀態(tài)；N=34時，鏈路經(jīng)歷了E(0)-E(5)狀態(tài)，節(jié)點數(shù)相鄰而區(qū)間不同，其每個狀態(tài)內(nèi)的節(jié)點流程和參與次序有明顯區(qū)別，從而使得鏈路時延和吞吐量差異很大，具體體現(xiàn)為式(18)中參數(shù)κ的不同取值。因此，分組交換在進行路由選擇時，同一連接中不同分組通過鏈路應(yīng)盡可能處于相同區(qū)間內(nèi)，避免時延和吞吐量的深衰落。此外，當(dāng)鏈路節(jié)點數(shù)非常大時，不僅控制流程會較為復(fù)雜，鏈路性能也會有明顯下降，導(dǎo)致通信質(zhì)量受到嚴(yán)重影響。例如，當(dāng)N=128時，T128= 4.021 ms，S128=0.248 7 kb/s。因此，應(yīng)根據(jù)業(yè)務(wù)類型和服務(wù)質(zhì)量要求合理控制節(jié)點數(shù)量。

考慮經(jīng)典過程對鏈路性能的影響，取N=5分析不同誤幀率條件下鏈路性能隨平均距離的變化情況，如圖8所示。

圖8　時延和吞吐量隨l和p的變化曲線Fig.8 Time de1ay and node number with l and p

由圖8可以看出，節(jié)點距離越大，誤幀率越高，則經(jīng)典信息傳輸?shù)臅r延就越大，錯誤概率越高，從而使得節(jié)點糾纏交換和糾纏純化的成功率下降，導(dǎo)致時延增加，吞吐量減小。

系統(tǒng)性能還會受到pem、pesc和pPc的影響，因為pem只發(fā)生在初始化階段，所以pesc和pPc起主要作用，其仿真如圖9所示。從圖中可以看出，為了將保真度純化到通信閾值，往往需要執(zhí)行多次純化操作，因而鏈路對于純化的成功率更為敏感。為了降低鏈路時延和提高鏈路吞吐量，需要提升設(shè)備效率，減少量子操作和測量耗費的時間，提高糾纏交換的成功率和改進純化策略。

圖9　鏈路時延和吞吐量與pesc、pPc的關(guān)系Fig.9 Time de1ay and node number vs.pescand pPc，resPective1y

5　結(jié)束語

本文提出的鏈路建立策略采用了并行的糾纏建立方式，相對于過去節(jié)點逐一進行操作的方法，提高了系統(tǒng)性能。在已有的并行操作策略中，大都采用節(jié)點數(shù)為2的整數(shù)次冪假設(shè)，而現(xiàn)實中經(jīng)常面臨著更一般的情況。為此，本文提出矩陣下的表示和控制算法，引入鏈路狀態(tài)參數(shù)，以控制流程復(fù)雜度的增加保持了并行建立的優(yōu)勢，但不足之處是時延和吞吐量會在狀態(tài)區(qū)間臨界點處有較大的變化，我們會在下一步的研究中進行改進，不斷減小這種變化的幅度，為糾纏量子通信協(xié)議提供可靠的糾纏鏈路。

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許 敏(1991—)，女，陜西人，碩士研究生，主要研究方向為量子通信；

XU Min was born in Shaanxi Province，in 1991.She is now a graduate student.Her research concerns quantum communication.

Emai1：1145045705@qq.com

聶 敏(1964—)，男，陜西人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為量子通信、移動通信；

NIE Min was born in Shaanxi Province，in 1964.He is now a Professor and a1so the instructor of graduate students.His research concerns quantum communication and mobi1e communication.

楊 光(1977—)，女，陜西人，講師，博士研究生，主要研究方向為量子通信和通信網(wǎng)；

YANG Guang was born in Shaanxi Province，in 1987.She is now a 1ecturer and current1y working toward the Ph.D.degree.Her research concerns quantum communication and communication network.

裴昌幸(1945—)，男，陜西人，教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為無線通信、網(wǎng)絡(luò)測量、量子通信。

PEI Changxing was born in Shaanxi Province，in 1945.He is now a Professor and a1so the Ph.D.suPervisor.His research concerns wire1ess communication，network measurement and quantum communication.

A Strategy of Establishing Remote Quantum Link Based on Entanglement Swapping

XU Min1，NIE Min1，YANG Guang1，2，PEI Changxing3
(1.Schoo1 of Communication and Information Engineering，Xi'an University of Posts and Te1ecommunications，Xi'an 710061，China；2.Schoo1 of E1ectronics and Information，Northwestern Po1ytechnica1 University，Xi'an 710072，China；3.State Key Laboratory of Integrated Service Networks，Xidian University，Xi'an 710071，China)

A remote quantum 1ink estab1ishment strategy which uses entang1ement swaPPing as the core techno1ogy is ProPosed.The mode1 of quantum 1ink based on state matrix is estab1ished and its entang1ement swaPPing imP1ementation and its matrix rePresentation are ana1yzed.The Process of entang1ement swaPPing and entang1ement Purification under contro1 of the matrix is a1so discussed.With c1assica1 auxi1iary information based on automatic rePeat request(ARQ)Protoco1，the quantitative re1ationshiP between 1ink de1ay (throughPut)and node number，frame error rate，average distance，oPeration success rate is ca1cu1ated.Simu1ation resu1ts show that the Performance of 1inks in the same state interva1 varies consistent1y and gradua11y whi1e 1inks in different ranges behave very different1y.Setting average distance to be 1 km，frame error rate to be 0，entang1ement fide1ity to be 0.98，when the node number is 32，33，34，the time de1ay is 1.077 0 ms，1. 090 3 ms and 1.669 0 ms，the throughPut is 0.928 5 kb/s，0.917 2 kb/s and 0.599 2 kb/s，resPective1y.

quantum communication；quantum 1ink；entang1ement swaPPing；entang1ement Purification；1ink time de1ay；1ink throughPut

The Nationa1 Natura1 Science Foundation of China(No.61172071,61201194);The Natura1 Science Research Foundation of Shaanxi Province(2014JQ8318);Internationa1 Scientific and Techno1ogica1 CooPeration and Exchange Program of Shaanxi Province(2015KW-013)

TN915.9

A

1001-893X(2016)03-0233-08

10.3969/j.issn.1001-893x.2016.03.001

2015-11-16;

2016-01-19 Received date:2015-11-16;Revised date:2016-01-19

國家自然科學(xué)基金資助項目(61172071,61201194);陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計劃(2014JQ8318);陜西省國際科技合作與交流計劃(2015KW-013)

**通信作者:1145045705@qq.com Corresponding author:1145045705@qq.com