零點問題
——函數(shù)、方程、圖像的交匯點

劉君蘭　隋雪芹

(1.山東省榮成市第四中學(xué)，榮成　264306;2. 山東省榮成市第三十五中學(xué)，榮成　264306)

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零點問題
——函數(shù)、方程、圖像的交匯點

劉君蘭1隋雪芹2

(1.山東省榮成市第四中學(xué)，榮成264306;2. 山東省榮成市第三十五中學(xué)，榮成264306)

新課程標準改革下的數(shù)學(xué)高考越來越重視對學(xué)生綜合素質(zhì)的考查．作為函數(shù)、方程、圖像的交匯點，函數(shù)的零點充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想．所以，函數(shù)的零點問題能很好地考查學(xué)生的綜合素質(zhì)，其考查形式也逐漸多樣化發(fā)展，但都與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識密不可分．

在近幾年的高考中，經(jīng)常出現(xiàn)利用零點存在性定理或數(shù)形結(jié)合的方法確定函數(shù)零點的個數(shù)及其存在范圍，以及應(yīng)用零點求參數(shù)的值這樣的題． 也經(jīng)常出現(xiàn)根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)，綜合應(yīng)用函數(shù)與方程的思想確定方程解的個數(shù)這樣的題，題型有選擇題、填空題或解答題．此類問題一般有多種解法，如果給出的函數(shù)是簡單的函數(shù)，那么直接求解對應(yīng)方程便可知零點的個數(shù)．如果給出的函數(shù)是復(fù)雜的函數(shù)，那么應(yīng)先考慮把函數(shù)分成兩個簡單且容易作圖的函數(shù)，觀察這兩個函數(shù)交點的個數(shù)，再考慮用其他方法來解決函數(shù)圖像與x軸或平行于x軸的直線的關(guān)系．

高考試題對高中教學(xué)具有輻射、導(dǎo)向作用．以典型考題為載體研究如何解題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不可缺少的核心內(nèi)容．我們以下面這道高考題為例，解析函數(shù)零點在數(shù)學(xué)高考中的重要應(yīng)用．

【典型例題】(2013 湖北)已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為().

C. (0,1)D.(0,+∞)

【題意解析】涉及函數(shù)的極值問題必須利用導(dǎo)數(shù)解決，所以對f(x)=x(lnx-ax)進行求導(dǎo)得f′(x)=lnx-2ax+1，而極值點是導(dǎo)數(shù)等于0的點產(chǎn)生的，所以令f′(x)=lnx-2ax+1=0得lnx=2ax-1．因為函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，所以由分析知f′(x)=lnx-2ax+1必須有兩個零點，從而把其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)零點的問題．

解題時主要依據(jù)題目的特點：(1)數(shù)形結(jié)合，利用圖像交點的個數(shù)對參數(shù)的取值來討論；(2)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)來研究；(3)分離參數(shù)，將參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域．

【多種解法】

解法一：(可根據(jù)分類討論思想利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖像的特點確定函數(shù)與x軸交點的個數(shù)從而得出零點的個數(shù))

由題意知f′(x)=lnx-2ax+1=0在(0,+∞)有兩個零點從而轉(zhuǎn)化為y=f′(x)的圖像與x軸必須有兩個交點的問題．

則分a=0,a>0,a<0討論．

圖1

③當a<0時，很顯然g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，不成立．

點撥：此種方法對學(xué)生的綜合分析能力要求較高，有的學(xué)生對于分類討論不知如何下手，尤其是遇到較為復(fù)雜的函數(shù)，更是手足無措．所以在解題時，遇到簡單的函數(shù)采用此方法較好，但是當函數(shù)比較復(fù)雜，對分類討論思想要求較高時，還需慎重．

解法二：(考慮到給定函數(shù)比較復(fù)雜，則可利用函數(shù)與方程的思想進行等價轉(zhuǎn)化，把函數(shù)分成兩個簡單且容易作圖的函數(shù)，觀察兩個函數(shù)交點的個數(shù))

f′(x)=lnx-2ax+1，令f′(x)=lnx-2ax+1=0，得lnx=2ax-1．

因為函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個極值點，所以f′(x)=lnx-2ax+1有兩個零點，等價于函數(shù)y=lnx與y=2ax-1的圖像有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖像．

圖2

解法三：(分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為結(jié)合某個已知函數(shù)圖像的特點找其與平行于y軸直線的交點個數(shù)的方法)

圖3

令g′(x)=0,則x=1．

點撥：分離參數(shù)的方法在數(shù)學(xué)解題過程中應(yīng)用廣泛，它避免了必須進行分類討論的麻煩．

【典例總結(jié)】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：(1)利用函數(shù)本身的性質(zhì)進行求解；(2)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的關(guān)系，從而構(gòu)建不等式求解；(3)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖像的上下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．

總之， 函數(shù)零點問題主要涉及基本初等函數(shù)的圖像，滲透著轉(zhuǎn)化、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用．

數(shù)學(xué)高考中的零點問題，以前都是小題，但近幾年卻變?yōu)榻獯痤}，甚至難題．例如，2015年的高考題全國卷1、江蘇卷、廣東卷，都把函數(shù)的零點作為大題、難題來出．掌握好以上三種方法，就能輕松解決零點問題尤其是與零點相關(guān)的解答題．近幾年數(shù)學(xué)高考更加重視對學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的考查，筆者對各地高考題進行分析研究，發(fā)現(xiàn)以零點為載體設(shè)計的試題立意新穎，構(gòu)思巧妙．預(yù)計函數(shù)的零點問題會成為未來幾年高考的熱點．

(責(zé)任編輯：李珺)