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    關(guān)于《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的解析解

    2016-10-25 01:55:44韓玖榮
    大學(xué)物理 2016年5期
    關(guān)鍵詞:德隆圓環(huán)大學(xué)物理

    陳 貝,羅 強(qiáng),韓玖榮

    (1.揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225002;2.中國人民大學(xué)物理系,北京 100872)

    關(guān)于《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的解析解

    陳 貝1,羅 強(qiáng)2,韓玖榮1

    (1.揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225002;2.中國人民大學(xué)物理系,北京 100872)

    在《大學(xué)物理》2015年第2期刊登的題為《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》一文的基礎(chǔ)上,給出了針對原文中式(4)、式(11)和式(15)對應(yīng)的解析形式,指出了原文中一個(gè)雙伽馬函數(shù)恒等式(8)的失誤,同時(shí)也提出了二聚化情形下馬德隆常數(shù)新的定義方式.

    馬德隆常數(shù);雙原子鏈;解析解

    由于馬德隆常數(shù)能反映晶體的靜電勢特征,對研究晶體結(jié)構(gòu)提供很大的便利,所以從它被提出伊始便一直成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).馬德隆常數(shù)的級數(shù)表示往往是條件收斂的,因此如何精確得到它的精確解并非是一件平淡無奇的事情.在過去的一個(gè)世紀(jì)里研究者們致力于不同空間維度(如一維、二維等)不同晶體結(jié)構(gòu)(如NaCl、CsCl等)下馬德隆常數(shù)計(jì)算方法的研究[1].

    物理學(xué)中很多重要的物理量在一維(甚至只有一維)情況下是存在嚴(yán)格解的.量子力學(xué)中一維無限深方勢阱、諧振子問題的能級和波函數(shù)在薛定諤(Schroedinger)方程下是精確可解的[2],統(tǒng)計(jì)物理中一維外場下經(jīng)典伊辛(Ising)模型的配分函數(shù)可以由轉(zhuǎn)移矩陣的方法給出[3],強(qiáng)關(guān)聯(lián)物理中一維海森伯(Heisenberg)模型的基態(tài)能等可以通過Bethe方案解析地計(jì)算得到[4].馬德隆常數(shù)亦是如此.在《大學(xué)物理》最近刊登的一篇題為《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》的文章里[5],其作者在計(jì)算一維馬德?。∕adelung)常數(shù)上頗有新意,該文將一維鏈?zhǔn)孜蚕噙B組成一個(gè)圓環(huán),據(jù)此給出了一維圓環(huán)上正負(fù)交替分布的離子晶體的馬德隆常數(shù)的表達(dá)式,以及二聚化后的馬德隆常數(shù)表達(dá)式.對于前者該文通過外推得知當(dāng)原胞個(gè)數(shù)N趨于無窮時(shí)圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)趨于2ln2,并由此衍生出兩個(gè)與雙伽馬函數(shù)ψ有關(guān)的恒等式;對于后者該文計(jì)算了某些特定取值下直線鏈和圓環(huán)上的馬德隆常數(shù),數(shù)值結(jié)果表明兩者在5位有效數(shù)字精度內(nèi)相等.

    作為一種非常重要的補(bǔ)充,解析解往往能使得物理問題更加具有數(shù)學(xué)上的結(jié)構(gòu)美.因此在《一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)》一文的基礎(chǔ)上,本文給出了原文中式(4)、式(11)和式(15),分別對應(yīng)于本文式(1)、式(4)和式(9)的解析形式.

    文獻(xiàn)[5]利用正弦函數(shù)的級數(shù)形式并沒有使式(1)得到簡化,而采用積分等式[6,7]

    并運(yùn)用幾何級數(shù)的求和法則和控制收斂定理,可知

    由此可知圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)和直線鏈上的馬德隆常數(shù)在鏈長無限大時(shí)確實(shí)一致.

    在正負(fù)離子二聚化情形下,離子晶體的馬德隆常數(shù)通過表征二聚化程度的參數(shù)λ來調(diào)節(jié).原文作者證明[1],在直線鏈情況下,馬德隆常數(shù)可以表示成

    利用雙伽馬函數(shù)ψ的級數(shù)表達(dá)式[6]

    式中γ=0.577…表示歐拉(Euler)常數(shù),可知

    又由雙伽馬函數(shù)ψ的遞推公式[6]

    可得直線鏈下的馬德隆常數(shù)

    而在圓環(huán)下,馬德隆常數(shù)可以表示成[5]

    利用式(2),并運(yùn)用同計(jì)算式(1)完全相同的方法可知

    利用雙伽馬函數(shù)ψ的積分表示[6]

    立即得到馬德隆常數(shù)

    顯然,式(8)和式(12)告訴我們,在一維二聚化情形下,直線鏈上和圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)確實(shí)一致,其函數(shù)圖像如圖1虛線所示.特別地,當(dāng)λ=1/2時(shí),α1/2=2ln2,這回歸到一維NaCl型馬德隆常數(shù)的情形.

    圖1 二聚化情形下馬德隆常數(shù)與參數(shù)λ的關(guān)系曲線

    在計(jì)算圓環(huán)上的馬德隆常數(shù)時(shí),原文作者通過數(shù)值結(jié)果猜測出兩個(gè)雙伽馬函數(shù)ψ恒等式,但原文式(8)

    存在一些筆誤,應(yīng)該糾正為

    在正負(fù)離子二聚化情形下會存在正負(fù)離子間距不相等這一情況,原文作者給出的晶格能是以“短鍵長”(2λa和2μa分別表示鏈上和圓環(huán)上短鍵的長度)為長度尺寸的,其余無量綱常數(shù)則作為馬德隆常數(shù)的定義.實(shí)際上,馬德隆常數(shù)代表的是離子晶體晶格能中各離子間庫侖能的總和,其大小要與晶體的幾何構(gòu)型,如維度、配位數(shù)等一致,因此其定義式要盡可能地囊括所有的結(jié)構(gòu)參數(shù)以利于晶體能的計(jì)算[8,9].不難驗(yàn)證,在二聚化情形下晶格能具有對稱性Uλ=U1-λ(0<λ<1),而原作者給出的馬德隆常數(shù)αλ顯然不具備這種對稱性.此外,作者給出的晶格能中包含了“鍵長”(原文定義式的分母2λa和2μa分別表示鏈上和圓環(huán)上短鍵的長度)的概念,而在圓環(huán)上短鍵和長鍵之和并不等于原胞間距,此時(shí)“鍵長”并非是一個(gè)直觀的物理量.因此,為了體現(xiàn)晶格能具有的對稱性同時(shí)也為了計(jì)算的方便,我們建議把庫侖勢分母上的二聚化參數(shù)λ吸收到馬德隆常數(shù)的定義中.我們給出的修正方案是

    式中二聚化參數(shù)λ定義為原胞內(nèi)正負(fù)離子間距與原胞間距的比值(鏈情形),或者原胞內(nèi)正負(fù)離子間夾角與原胞間夾角的比值(圓環(huán)情形).修正后的馬德隆常數(shù)如圖1實(shí)線所示.此時(shí),鏈上和圓環(huán)上的晶格能可以統(tǒng)一地寫成,形式上更加簡潔明了,功效上一旦給定馬德隆常數(shù)則不需要額外的數(shù)學(xué)處理就可以立即知道晶格能的大小.

    綜上所述,本文完善了徐寶等人給出圓環(huán)上馬德隆常數(shù)式(4)以及二聚化情形下馬德隆常數(shù)式式(11)和式(15)的解析形式,同時(shí)也提出了二聚化情形下馬德隆常數(shù)新的定義以便修正后的馬德隆常數(shù)更能全面反映晶體靜電勢的對稱性特征.

    后記:在本文審稿期間,我們發(fā)現(xiàn)邱為鋼老師也做了類似工作[10].

    [1]Borwein D,Borwein J M,Taylor K F.Convergence of lattice sums and Madelung’s constant[J].Journal of Mathematical Physics,1985,26(11):2999-3009.

    [2]周世勛.量子力學(xué)教程[M].2版.高等教育出版社,2009:26-34.

    [3]楊展如.量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)[M].高等教育出版社,2007:147-150.

    [4]Sutherland B.Beautiful models:70 years of exactly solved quantum many-body problems[M].World Scientific Publishing Co Ptc Ltd,2004:143-161.

    [5]徐寶,吳洪業(yè),趙建軍,等.一維圓環(huán)上雙原子鏈的馬德隆常數(shù)[J].大學(xué)物理,2015,34(2):41-42.

    [6]王竹溪,郭敦仁.特殊函數(shù)概論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2012:69-83.

    [7]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].劉法、廖國慶,修訂.4版.北京:高等教育出版社,2010:64.

    [8]黃昆.固體物理學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2009:37-41.

    [9]Pereira P C N,Apolinario S W S.Madelung energy of Yukawa lattices[J].Physical Review E,2012,86(4):046702.

    [10]邱為鋼.無窮求和與漸進(jìn)展開[J].大學(xué)物理,2015,34(10):23-24.

    Analytical solutions of Madelung constant of double atomic chain on circles

    CHEN Bei1,LUO Qiang2,HAN Jiu-rong1
    (1.School of Physical Science and Technology,Yangzhou University,Yangzhou,Jiangsu 225002,China;2.Department of Physics,Renmin University of China,Beijing 100872,China)

    We give the analytical solutions of all the remaining expressions(the original equations(4),(11)and(15))and correct the identity of the digamma function(the original equation(8)),and propose a new definition of the Madelung constant in the situation of dimerization in a recent paper titled《Madelung constant of double atomic chain on circles in college physics》.

    Madelung constant;double atomic chain;Analytical solution

    O 481

    A

    1000-0712(2016)05-0050-03

    2015-08-25;

    2015-12-21

    陳貝(1993—),女,江蘇南京人,揚(yáng)州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2012級本科生.

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    “德隆”有話要說
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