一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹案钛a(bǔ)法”
——談?wù)劜痪鶆蛉萜黝悏簭?qiáng)題的解法

陳顯盈 尤愛惠

(溫州中學(xué)　浙江 溫州　325000) (溫州市南浦實驗中學(xué)　浙江 溫州　325000)

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一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹案钛a(bǔ)法”
——談?wù)劜痪鶆蛉萜黝悏簭?qiáng)題的解法

陳顯盈 尤愛惠

(溫州中學(xué)浙江 溫州325000) (溫州市南浦實驗中學(xué)浙江 溫州325000)

對于不均勻容器類的壓強(qiáng)題，往往采用一種不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹案钛a(bǔ)法”，本文分析了一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹案钛a(bǔ)法”，并介紹了“補(bǔ)充法”“割除法”“簡化法”“膨脹法”“綜合法”等一系列其他解題方法．

壓強(qiáng)題解法割補(bǔ)法補(bǔ)充法割除法

對于液體壓強(qiáng)競賽題，涉及的容器往往不是上下粗細(xì)均勻的柱體狀容器(如圓柱體、長方體等)，而是上細(xì)下粗或上粗下細(xì)的不均勻容器(如圓臺、棱臺等)，下面結(jié)合一道典型的壓強(qiáng)競賽題分析其解法．

1　例題再現(xiàn)

【題目】如圖1所示，甲、乙兩只完全相同的圓臺狀容器內(nèi)，分別裝有質(zhì)量相等的水和煤油，置于水平桌面時，設(shè)兩容器內(nèi)液體對底部的壓強(qiáng)分別是p1和p2，關(guān)于兩壓強(qiáng)的大小，下列說法正確的是

A.p1>p2B.p1=p2

C.p1

圖1　例題平面示意圖

下面筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，再談一談該類壓強(qiáng)競賽題的各種解法．

圖2　割補(bǔ)法平面示意圖

2　解法分析——割補(bǔ)法

2.1錯誤解法

許多參考資料采用一種在平面示意圖上直接割補(bǔ)成圓柱體的“割補(bǔ)法”進(jìn)行解題．如圖2所示，先將兩圓臺容器都割補(bǔ)成圓柱體容器，根據(jù)p=ρgh(ρ和h不變)可知p都各自不變．割補(bǔ)后，根據(jù)

因m相等甲的S大，可知甲中的壓強(qiáng)p較小(即

p1

2.2錯法解析

(1)能否割補(bǔ)出圓柱體．

文獻(xiàn)[1]指出：采用該方式不能將圓臺容器經(jīng)過一次割補(bǔ)變成圓柱體容器．如圖3所示，圓臺是立體的，通過圖2的割補(bǔ)方法都無法變?yōu)閳A柱體．如果容器不是圓臺而是棱臺，才可以用該割補(bǔ)方式直接變?yōu)殚L方體．

圖3　圓臺(或棱臺)切割立體示意圖

(2)割補(bǔ)出的圓柱體體積是否相等．

如圖4所示，假如通過多次割補(bǔ)將圓臺變成圓柱體，割補(bǔ)前后體積相等嗎？設(shè)圓臺上、下底面的半徑分別為R上和R下，根據(jù)圓臺體積公式可得

圖4　割補(bǔ)法示意圖(體積不相等)

2.3嚴(yán)謹(jǐn)解法

那么，該題能不能采用“割補(bǔ)法”解題呢？其實是可以的，只不過需根據(jù)體積相等原理進(jìn)行割補(bǔ)．如圖5所示，在理論上是可以要將上、下底面積分別為S上和S下的圓臺容器通過多次精細(xì)化割補(bǔ)變成一個圓柱體的容器，其底面積為

圖5　割補(bǔ)法立體示意圖(體積相等)

圖6　割補(bǔ)法平面示意圖(體積相等)

3　其他解法

可見，對于圓臺等容器可以采用“割補(bǔ)法”，但其解法比較繁瑣，其實該題可以采用其他簡單的“補(bǔ)充法”“割除法”等解法．

3.1補(bǔ)充法

如圖7所示，將圓臺補(bǔ)充后得到圓柱體，此時壓強(qiáng)p各自不變(h和S不變)．可得，甲中補(bǔ)充的液體質(zhì)量Δm較小(即Δm1<Δm2)，根據(jù)公式

可知，甲中液體壓強(qiáng)p較小(即p1

圖7　補(bǔ)充法

3.2割除法

如圖8所示，將圓臺割除后得到圓柱體，此時壓強(qiáng)p各自不變．可得，甲中割除的液體質(zhì)量Δm較大(即Δm1>Δm2)，根據(jù)公式

可知，甲中液體壓強(qiáng)p較小(即p1

圖8　割除法

3.3簡化法(簡化容器形狀)

如圖9所示，為了解題方便可將兩圓臺容器簡化為由兩段柱體組成的容器，簡化后底部液體壓強(qiáng)p也各自不變．甲中的壓強(qiáng)

而乙比甲多了一部分容器對液體向下的壓力ΔF，所以乙中的壓強(qiáng)

可得

p1

圖9　簡化法

3.4膨脹法(轉(zhuǎn)移法)

如圖10所示，可以將乙液體看成由甲液體熱膨脹得到(密度不相等)．熱膨脹后液體體積增大，部分液體從兩側(cè)往中間位置轉(zhuǎn)移，導(dǎo)致中間位置的壓強(qiáng)增大，可見膨脹后液體壓強(qiáng)也增大(即p1

圖10　膨脹法

3.5綜合法

(1)簡化法+膨脹法

如圖11所示，先用簡化法將圓臺簡化為兩段柱體；再用膨脹法，同理熱膨脹后液體會從兩側(cè)往中間位置轉(zhuǎn)移，從而導(dǎo)致液體壓強(qiáng)增大(即p1

圖11　簡化法+膨脹法

(2)替代法+膨脹法[1]

圖12　替代法+膨脹法

總之，該類容器粗細(xì)不均勻的壓強(qiáng)競賽題可以采用“割補(bǔ)法”，對于棱臺等容器可以在平面圖上直接割補(bǔ)成柱體進(jìn)行解題；對于圓臺等容器，需先結(jié)合體積相等原理割補(bǔ)成圓柱體再解題．除了“割補(bǔ)法”外，還可用“補(bǔ)充法”“割除法”“簡化法”等多種方法進(jìn)行解題，其解題關(guān)鍵是如何將上下粗細(xì)不均勻的容器轉(zhuǎn)化為粗細(xì)均勻的容器．

1王偉民.不能將立體圖當(dāng)作平面圖處理.中學(xué)物理教學(xué)參考,2015(8)：18～19

2016-01-07)