單層網(wǎng)殼結構非線性穩(wěn)定的隨機缺陷模態(tài)法研究*

魏德敏　涂家明

(華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510640)

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單層網(wǎng)殼結構非線性穩(wěn)定的隨機缺陷模態(tài)法研究*

魏德敏涂家明

(華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510640)

采用隨機缺陷模態(tài)法對凱威特-聯(lián)方型單層網(wǎng)殼進行非線性穩(wěn)定分析，研究了隨機缺陷空間樣本數(shù)量、矢跨比等因素對網(wǎng)殼結構穩(wěn)定極限荷載的影響，并將隨機缺陷模態(tài)法計算結果與一致缺陷模態(tài)法計算結果進行了對比.結果表明：采用概率統(tǒng)計方法對該網(wǎng)殼進行穩(wěn)定分析時，隨機缺陷樣本數(shù)量應不小于90；對于矢跨比較大的單層網(wǎng)殼結構，采用一致缺陷模態(tài)法計算穩(wěn)定臨界荷載的概率可靠度較低，需要采用隨機缺陷模態(tài)法加以驗證；當網(wǎng)殼結構的矢跨比小于1/6時，兩種初始缺陷分布方法計算出的穩(wěn)定承載力較為接近.

單層網(wǎng)殼；隨機缺陷模態(tài)法；一致缺陷模態(tài)法；非線性分析；矢跨比；穩(wěn)定極限荷載

大跨度單層網(wǎng)殼屬于缺陷敏感型結構.由于施工技術和施工質(zhì)量等原因，單層網(wǎng)殼結構的初始幾何缺陷不可避免，并且直接影響到結構的穩(wěn)定性.

目前常用的結構初始幾何缺陷確定方法有一致缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法.Papadopouios等[1]基于蒙特-卡洛法提出一種快速算法——隨機有限元法，并對有隨機缺陷的網(wǎng)殼結構的屈曲荷載進行研究.Gordini等[2-3]采用隨機缺陷法研究了桿件初始彎曲及長度缺陷對雙層網(wǎng)殼結構承載能力的影響.Bruno等[4]提出采用節(jié)點等效幾何缺陷法研究初始缺陷對單層網(wǎng)殼穩(wěn)定性的影響.Qi等[5]基于初始彎曲和殘余應力的影響提出了計算網(wǎng)殼設計承載力的方法.趙海等[6]基于隨機場展開法提出了高效尋求網(wǎng)殼結構初始缺陷的最不利分布形式的方法.劉慧娟等[7]提出隨機缺陷模態(tài)迭加法來獲得單層網(wǎng)殼結構最不利缺陷分布下的穩(wěn)定承載力.盧家森等[8]提出了使用凸集模型確定單層球面網(wǎng)殼最不利初始幾何缺陷的有效方法.此外，劉學春等[9]采用施工偏差概率法模擬弦支穹頂結構的初始幾何缺陷；陳世英等[10]發(fā)現(xiàn)優(yōu)化尋優(yōu)結果與初始幾何缺陷分布有直接關系；蔡健等[11]提出了計算量較少的N階特征缺陷模態(tài)法計算網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定承載力.

本研究分別采用隨機缺陷模態(tài)法和一致缺陷模態(tài)法對大跨度單層網(wǎng)殼結構進行非線性穩(wěn)定分析，研究了隨機缺陷樣本數(shù)量、矢跨比等因素對網(wǎng)殼結構穩(wěn)定極限荷載的影響，給出所需最少空間樣本數(shù)目，并對兩種方法的計算結果進行了對比分析.

1　隨機缺陷模態(tài)法

隨機缺陷模態(tài)法假定：結構每個節(jié)點的安裝偏差均符合二倍均方差范圍內(nèi)的正態(tài)概率密度函數(shù)[12]，即每個節(jié)點安裝偏差隨機變量為RX/2，其中X服從標準正態(tài)分布，R為節(jié)點最大安裝偏差；各節(jié)點位置偏差隨機變量是相互獨立的.

由此可知，每一個樣本空間點對應一種可能的初始幾何缺陷分布模式(樣本)，可以計算出一個相應的穩(wěn)定極限荷載值(樣本值).因此由n個初始幾何缺陷樣本可以得到n個穩(wěn)定極限荷載樣本值.

隨機缺陷模態(tài)法主要計算步驟如下：

步驟1確定最大安裝偏差R，調(diào)用高斯隨機分布函數(shù)生成坐標偏差，引入坐標偏差修改完善結構的節(jié)點坐標，形成初始幾何缺陷分布形式，通過非線性屈曲分析，得到穩(wěn)定極限荷載值，形成樣本空間的一個樣本值；

步驟2根據(jù)預先確定的樣本空間數(shù)目n，重復步驟1進行非線性屈曲分析，得到n個極限荷載值，即樣本空間的n個樣本值；

步驟3運用概率與數(shù)理統(tǒng)計知識對樣本值進行分布檢驗，確定結構最終的穩(wěn)定極限荷載值.

2　工程算例

文中以跨度L=70 m，高度H=10 m，矢跨比H/L=1/7的凱威特_聯(lián)方型單層球面網(wǎng)殼為算例.網(wǎng)殼總頻數(shù)為9，而聯(lián)方與凱威特的頻數(shù)比為6∶3，凱威特肋環(huán)與斜桿分別采用φ278 mm×7 mm和φ226 mm×6 mm的圓鋼管，聯(lián)方斜桿和環(huán)桿分別采用φ252 mm×7 mm和φ206 mm×6 mm的圓鋼管.鋼材的彈性模量為E=206 GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3.材料為理想彈塑性，滿足Von Mises屈服準則，其屈服強度σ0=235 N/mm2.網(wǎng)殼結構的永久荷載和活荷載均為0.5 kN/m2，活載滿跨布置，方向豎直向下.網(wǎng)殼與下部結構的連接為鉸接.

網(wǎng)殼結構的有限元分析模型如圖1所示.每根桿件劃分為3個BEAM188單元[13].非線性方程求解方法為弧長法，收斂準則為力的收斂準則，以下所有非線性分析都做同樣處理.

圖1　網(wǎng)殼結構計算模型

選取初始幾何缺陷的空間樣本數(shù)n=200，按照文獻[14]的要求，網(wǎng)殼結構最大初始缺陷值為R=L/300，由非線性有限元分析得到的結構穩(wěn)定極限荷載Pcr如圖2所示.

圖2　網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載

由圖2和相應計算結果可知，該網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載Pcr的最大值為5.133 kN/m2，最小值為3.585 kN/m2.如無特別說明，后文中Pcr單位為kN/m2.

圖3給出200個樣本值的分布直方圖.由圖3可以看出，這些樣本值呈中間高兩邊低，接近于正態(tài)分布.以下利用概率密度函數(shù)f(x)對樣本值進行χ2優(yōu)度檢驗：

(1)

式中，3.584

圖3　穩(wěn)定極限荷載分布直方圖

由極大似然估計法可得：

(2)

(3)

取n=200，由式(2)和(3)可得上述200個樣本均值和方差μ=4.493 9，σ2=0.082 7，將μ、σ2代入式(1)可得X的概率密度函數(shù)的表達式為

(4)

(3.584

將樣本值X的可能取值區(qū)間(3.584，5.300)分為10個小區(qū)間，取事件Aj為第j個區(qū)間(j=1，2，…，10)，得到表1所示χ2檢驗計算結果.表中χ2優(yōu)度檢驗時小于5的分組就近合并，fj為落入?yún)^(qū)間Aj的樣本值個數(shù)，pj為公式(4)在區(qū)間Aj上的積分概率.

表1　優(yōu)度檢驗計算結果

由表1可得：

χ2=208.32-200=8.32.

在顯著水平0.1情況下[15]，由表1知分組數(shù)k=8，未知量r=2，則：

(5)

隨機變量不同情況下，最終穩(wěn)定極限荷載值及其保證率如表2所示.表中取實際保證率φ′=Ni/200，Ni為樣本值不小于Pcr,200的樣本數(shù)目.

表2最終穩(wěn)定極限荷載值及其保證率

Table2Finalvalueofstableultimateloadsanditsguaranteerate

β?(β)/%?'/%Pcr,200/(kN·m-2)184.1383.504.20631.64595.0092.504.0208297.7296.503.9187399.8799.503.6311

一般情況下實際統(tǒng)計的保證率小于理論計算的保證率.從表2可知，隨機變量β取值越大，所得最終穩(wěn)定極限荷載的保證率理論值也越大，且保證率的理論值與實際值越接近.因此，在工程實際中一般取β≥2.文中取β=3時，所計算的200個樣本值xi中只有1個低于最終穩(wěn)定極限荷載，失效概率為0.5%.

3　參數(shù)分析

3.1矢跨比對穩(wěn)定極限荷載計算結果的影響

不改變桿件截面尺寸和組成形式，不同矢跨比情況下的單層網(wǎng)殼結構非線性穩(wěn)定性的隨機缺陷模態(tài)法分析結果如表3所示，樣本數(shù)n取200，最大初始缺陷分別為L/300.表中Pcr,0和Pcr,200分別為完善和有隨機幾何缺陷單層網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載.均值下降和終值下降分別指μ和Pcr,200相對于Pcr,0的下降值.

表3不同矢跨比下單層網(wǎng)殼結構非線性穩(wěn)定性分析結果

Table 3Results of nonlinear stability analysis of the single layer reticulated shell under different rise span ratios

H/LPcr,0/(kN·mm-2)μσPcr,200/(kN·mm-2)均值下降/%終值下降/%1/59.58747.47060.39616.282215.9134.471/67.91835.69660.29944.798515.7739.401/76.59444.49390.28763.631119.2044.941/85.72763.58890.25072.836820.9650.47

從表3可知，考慮初始幾何缺陷后，單層網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載相對于完善結構有較大幅度的下降，最大下降率達到50.47%；隨著矢跨比的減小，網(wǎng)殼結構穩(wěn)定極限荷載終值下降的幅度有所增大.因此初始幾何缺陷對小矢跨比單層網(wǎng)殼結構穩(wěn)定性的影響較大.

3.2樣本數(shù)量對穩(wěn)定極限荷載計算結果的影響

圖4　μn關系曲線

圖4可知，對于不同矢跨比的單層網(wǎng)殼，都呈現(xiàn)樣本均值μ隨著n的增大逐漸趨于穩(wěn)定的規(guī)律；在n≥70時，矢跨比為1/5和1/7的單層網(wǎng)殼的μ值趨于穩(wěn)定；在n≥100時，矢跨比為1/8的單層網(wǎng)殼的μ值才趨于穩(wěn)定.說明小矢跨比的單層網(wǎng)殼對于隨機幾何初始缺陷更為敏感，數(shù)值也更難趨于穩(wěn)定.

(6)

相鄰組的變化率用δ′表示.

考慮篇幅限制，表4給出了矢跨比為1/7的單層網(wǎng)殼樣本數(shù)n=50，60，70，80，90，100，110，120，130，140，150的計算結果，其中k和r為每個樣本進行優(yōu)度檢驗的分組數(shù)和未知量.從表4的計算結果可以看出，當樣本數(shù)n≥80時，相鄰組穩(wěn)定極限荷載的變化率均小于1%.Pcr,n與Pcr,200的相對誤差δ隨著樣本數(shù)的增大先增大后減小，當樣本數(shù)n>60時，相對誤差δ均小于5%.

表4矢跨比為1/7的網(wǎng)殼的部分計算結果

Table 4Some computational results of the shell with rise-span ratio being 1/7

nμσχ2χ20.1(k-r-1)Pcrδ'/%δ/%504.4680.3313.866.253.474-1.694.32604.4740.3533.014.613.4161.635.91704.4860.3384.174.613.4731.344.36804.4990.3263.957.783.5200.093.06904.4850.3212.616.253.5230.712.971004.4890.3144.126.253.5490.762.271104.4950.3076.997.783.5760.681.531204.5030.3014.846.253.600-0.110.851304.4930.2994.876.253.5960.400.961404.4950.2955.676.253.610-0.030.571504.4890.2936.159.243.6090.440.60

不同矢跨比的單層網(wǎng)殼結構δ和δ′隨n的變化情況如圖5和圖6所示.

圖5　不同矢跨比網(wǎng)殼的δ變化曲線

Fig.5δvariation curves of the shells with different rise-span ratios

圖6　不同矢跨比網(wǎng)殼的δ′變化曲線

Fig.6δ′ variation curves of the shells with different rise-span ratios

4　與一致缺陷模態(tài)法結果對比

一致缺陷模態(tài)法認為網(wǎng)殼結構的最低階屈曲模態(tài)對應勢能最小狀態(tài)，當結構的缺陷分布形式與最低階屈曲模態(tài)吻合時，最容易發(fā)生屈曲.因此我國相關規(guī)程建議采用一致缺陷模態(tài)法進行網(wǎng)殼穩(wěn)定性分析[14].

4.1一致缺陷法計算結果

一致缺陷模態(tài)法得到的穩(wěn)定極限荷載Pcr,1以及基于隨機缺陷模態(tài)法計算結果的概率保證率φ如表5所示.

由表5可知，當矢跨比H/L<1/5時，一致缺陷法得到的穩(wěn)定極限荷載概率保證率較高，且隨著矢跨比的減小而增大.矢跨比H/L=1/5單層網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載的概率保證率僅為59.54%.因此采用最低階屈曲模態(tài)作為初始幾何缺陷分布形式計算大矢跨比網(wǎng)殼的穩(wěn)定極限荷載要慎重[17].

表5一致缺陷模態(tài)法分析結果及保證率

Table 5Analysis results by use of consistent mode imperfection method and their guarantee rate

H/LPcr,1?/%1/57.375059.541/64.846899.771/73.530999.961/82.828599.88

4.2兩種方法計算結果對比

一致缺陷模態(tài)法和隨機缺陷模態(tài)法穩(wěn)定極限荷載的計算結果如圖7所示.

圖7　兩種方法計算結果的對比

由圖7可知，穩(wěn)定極限荷載隨著矢跨比的減小而降低，完善結構的穩(wěn)定極限荷載大于有初始缺陷的結構.矢跨比≥1/6，兩種缺陷分布模態(tài)法計算得到的穩(wěn)定極限荷載差別隨著矢跨比的增大而增大.當單層網(wǎng)殼的矢跨比≤1/6時，兩種缺陷分布方法的計算結果基本吻合，因此，初始幾何缺陷分布形式對小矢跨比單層網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定極限荷載影響較小，可用一致缺陷法計算.

對于矢跨比大于1/6的單層網(wǎng)殼結構，用隨機缺陷模態(tài)法可以得到較為可靠的穩(wěn)定承載力.為此，建議對于大矢跨比網(wǎng)殼結構采用兩種缺陷分布模態(tài)法進行穩(wěn)定計算.

5　結語

以凱威特_聯(lián)方單層球面網(wǎng)殼結構為例，采用隨機缺陷模態(tài)法進行了非線性穩(wěn)定分析，并與一致缺陷模態(tài)法計算結果進行對比分析，得出以下主要結論：

(1)隨機缺陷模態(tài)法取空間樣本數(shù)目n≥90計算得到的網(wǎng)殼結構穩(wěn)定極限荷載精度和概率保證率較高.

(2)對于大矢跨比單層網(wǎng)殼結構，采用一致缺陷模態(tài)法所得穩(wěn)定極限荷載有可能不是最小值，應采用隨機缺陷模態(tài)法加以驗證.

(3)當單層網(wǎng)殼結構的矢跨比小于或等于1/6時，兩種初始缺陷分布方法計算出的穩(wěn)定極限荷載接近.

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Supported by the Open Subject of the State Key Laboratory of Subtropical Building Science(2012ZC23)

A Probe into Nonlinear Stability of Single-Layer Reticulated Shells by Means of Random Imperfection Modal Method

WEIDe-minTUJia-ming

(School of Civil Engineering and Transportation，South China University of Technology，Guangzhou 510640，Guangdong，China)

The nonlinear stability of Kiewitt-Lamella single-layer reticulated shells is analyzed by means of random imperfection modal method，and the stable ultimate load of the reticulated shell structure，which is affected by both the spatial sample number of random defect and the rise-span ratio，is investigated. Then，a comparison of calculated results is made between random imperfection modal method and consistent imperfection modal method. The results show that (1) the spatial sample number of random defect should be not less than 90 for the stability analysis of structures via statistical method； (2) for the reticulated shell structure with large rise-span ratio，the probabilistic reliability to calculate the critical load via consistent imperfection modal method is rather low，so that it is nece-ssary to verify the critical load with the help of random imperfection modal method； and (3) when the rise-span ratio of a single-layer reticulated shell is less than 1/6，the calculated stable bearing capacities obtained by the two above-mentioned initial defect distribution methods are nearly equal.

single-layer reticulated shell； random imperfection modal method； consistent imperfection modal me-thod； nonlinear analysis； rise-span ratio； stable ultimate load

1000-565X(2016)07-0083-07

2015-12-07

亞熱帶建筑科學國家重點實驗室開放課題(2012ZC23)

魏德敏(1955-)，女，教授，主要從事大跨空間結構方面的研究.E-mail:dmwei@scut.edu.cn

TU 393.3doi： 10.3969/j.issn.1000-565X.2016.07.013