淺析定積分的計(jì)算和應(yīng)用

牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林　長春　130111）

淺析定積分的計(jì)算和應(yīng)用

牛艷秋

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長春130111）

定積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要的基本概念，本文主要討論定積分的計(jì)算和應(yīng)用，對一些應(yīng)用的方法和技巧進(jìn)行分析和總結(jié)，進(jìn)一步討論了定積分在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用.

微分；積分；計(jì)算；應(yīng)用

微積分的兩大部分是微分和積分，兩個基本定理和牛頓—萊布尼茨公式說明了微分和積分的聯(lián)系：

第一基本定理：設(shè)函數(shù)f（x）在［a,b］上連續(xù)，x∈［a,b］，則變上限積分,對x求導(dǎo)，并且有

第二基本定理：設(shè)函數(shù)f（x）在［a,b］上連續(xù)，x∈［a,b］，則是f（x）的一個原函數(shù).

它告訴我們，一個連續(xù)函數(shù)f（x）的原函數(shù)不止一個，有無窮多，其中任意兩個原函數(shù)只相差一個常數(shù)，因?yàn)?（x）=是f（x）的一個原函數(shù)；所以如果F（x）是f（x）的另一個原函數(shù)，那么必有在此基礎(chǔ)上，推得了牛頓—萊布尼茨公式

眾所周知，想用定積分定義來求定積分的值是十分困難的，甚至不可能，而應(yīng)用牛頓—萊布尼茨公式來計(jì)算定積分就會非常簡便，它把定積分的計(jì)算方法轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)f（x）的任意一個原函數(shù)，或者說求f（x）的不定積分，因?yàn)椴欢ǚe分是f（x）的任意一個原函數(shù)的代表，所以不定積分在微積分學(xué)中也占有重要地位和作用.

1　定積分的計(jì)算方法

定積分的計(jì)算通常會采用以下三種計(jì)算方法來計(jì)算：

注意：在換元過程中，必須更換積分上、下限.（換元必?fù)Q限）

2　定積分的應(yīng)用

定積分的概念實(shí)質(zhì)上是從實(shí)際問題中抽象而來的，因此它在幾何、物理、及經(jīng)濟(jì)學(xué)上有廣泛的應(yīng)用.

定積分的所有應(yīng)用問題都具有一個固定的模式：求與某個區(qū)間［a,b］上的變量f（x）有關(guān)的總量Q.這個量Q可以是面積，體積，弧長，功等.我們用如下的步驟去確定這個量.

1°分割.用分點(diǎn)

a=x0＜x1＜…＜xn=b將［a,b］分為n個子區(qū)間.

2°近似.找一個連續(xù)函數(shù)f（x），使得在第i個子區(qū)間［xi-1, xi］上，Q可以用量f（ξi）（xi-xi-1），ξi∈［xi-1,xi］，（i=1,2,…n）來近似，這一步是問題的核心.

3°求和.將所有這些近似量加起來，得總量Q的近似值

4°取極限.當(dāng)分割無限細(xì)密時，得出

對上面的求積過程可作如下的較為簡捷的處理.f（ξi）用f（x）代替，Δxi用dx代替，和號Σ用積分號∫代替，即用

我們已經(jīng)指出，第二步的“近似”是關(guān)鍵.我們在具有代表性的任一小區(qū)間［x,x+dx］上，以“勻代不勻”找出微分

然后從a到b積分，就可求出量Q.這種在微小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析的方法叫做微元法.

2.1定積分在幾何上的應(yīng)用

在此類題中我們采用的就是微元法，前面我們對微元法進(jìn)行了分析，下面我們以解題的方式，來進(jìn)一步詮釋微元法的妙用：

例題求y=sinx；y=cosx；x=0以及x=2π所圍平面圖形的面積（見圖）.

2.2定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用

例題把一個帶電荷量+q的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學(xué)知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點(diǎn)O為r的地方，那么電場對它的作用力的大小為（k為常數(shù)）見圖，當(dāng)這個單位正電荷在電場中從r=-a處沿r軸移動到r=b（a＜b）處時，計(jì)算電場力F對它所作的功.

解在上述移動過程中，電場對這單位正電荷的作用力是變的，取r為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，設(shè)［r,r+dr］為［a,b］上的任一小區(qū)間，當(dāng)單位正電荷從r移動到r+dr時，電場力對它所作的功近似于，即功元素為于是所求的功為

2.3定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

例題已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位時的邊際收入為R'（x）=100-2x（元/單位）,求生產(chǎn)40單位時的總收入及平均收入,并求再增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收入.

在生產(chǎn)40單位后再生產(chǎn)10單位所增加的總收入可由增量公式求得

〔1〕陳文燈.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)［M］.北京：北京理工大學(xué)出版社，2011.5.

〔2〕孫淑珍.高等數(shù)學(xué)解題與分析［M］.北京：清華大學(xué)出版社；北京交通大學(xué)出版社，2010.9.

〔3〕徐兵.微積分（經(jīng)管類）［M］.北京：高教出版社，2010.8.

〔4〕張明智.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：中國電力出版社，2007.

〔5〕見濤.定積分的計(jì)算與應(yīng)用［J］.新課程學(xué)習(xí)，2013（8）：54-55.

〔6〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊［M］.北京：高教出版社，2007.4.

〔7〕王丹.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程［M］.長春：吉林大學(xué)出版社，2014.11.

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