Hilbert空間上公共不動點的強收斂定理

何松年，楊　卓

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津　300300）

Hilbert空間上公共不動點的強收斂定理

何松年，楊卓

（中國民航大學(xué)理學(xué)院，天津300300）

提出了一種非擴張映像有限族公共不動點的迭代算法，并證明了其強收斂性。作為此結(jié)果的推論，得到兩種最小范數(shù)公共不動點的迭代算法。此結(jié)果是He等人結(jié)果的推廣。

Hilbert空間；公共不動點；最小范數(shù)公共不動點；強收斂

1　引言和預(yù)備知識

假設(shè)C是Hilbert空間H的一個非空閉凸子集，稱T：C→C是非擴張映像，若?x，y∈C，‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖成立。T的不動點全體記作Fix（T），假設(shè)Fix（T）≠。

眾所周知，對于任意x∈H，在C中都存在唯一一個點，記作PCx；滿足?y∈C，‖x-PCx‖≤‖x-y‖，稱PCx為x到C上的度量投影，稱映射PC：x→PCx為H到C的投影算子，PC為非擴張映像。

為符號簡明起見，將分別用→和?表示H中點列的強收斂和弱收斂。

文獻［1］中，He等人給出了一個強收斂定理來計算PCu，其中?u∈H任意取定，C是有限個凸函數(shù)水平集的交，即Ci=｛x∈H：ci（x）≤0｝，i=1，2，…，m，其中m是一個正整數(shù)，ci：H→R是凸函數(shù)。

定理1給定u∈H，任取一初始點x0∈H，序列｛xn｝?C由下面格式給出

其中

ci：H→R是凸函數(shù)，在H上次可微，并且次微分?ci是有界算子假設(shè)序列｛λn｝?（0，1），若則｛xn｝強收斂于

本文目的是把這一定理推廣到求有限個一般非擴張映像的公共不動點。為證明主要定理，需要下面幾個引理。

引理1設(shè)H為實Hilbert空間，則下面的等式成立［1］

其中：u，v∈H，λ∈（0，1）。

引理2設(shè)H為實Hilbert空間，則下面不等式成立［1］

引理3設(shè)C是Hilbert空間H的非空閉凸子集，則對x∈H和z∈C，z=PCx等價于［2］〈x-z，y-z〉≤0，?y∈C。

引理4設(shè)C是實Hilbert空間H的非空閉凸子集，T：C→C非擴張映像，如果｛xn｝?C滿足xn?z并且‖xn-Txn‖→0，那么有如下結(jié)果［3］：z=Tz。

引理5假設(shè)｛sn｝是非負(fù)實數(shù)列，滿足

ii）limn→∞αn=0；

2　主要結(jié)果

定理2設(shè)C為實Hilbert空間H的非空閉凸子集，｛Ti：C→C｝，i=1，2，…，m是一個非擴張映像族，并且序列｛xn｝由下面格式給出

證明為不失一般性，僅證明m=2的情況［5-6］。

首先證明｛xn｝有界。任取p∈S，得到

由上式，顯然

由數(shù)學(xué)歸納法，有說明｛xn｝有界，由此易證｛Ti（xn）｝和有界。

一方面，由Ti的非擴張性，很容易證明也是非擴張的。應(yīng)用引理2和的非擴張性，有

式（6）可寫成如下形式

根據(jù)式（7），得

更進一步，有

所以

若0∈C，可得如下最小范數(shù)公共不動點算法。

推論若0∈C，則由以下算法

產(chǎn)生的序列｛xn｝強收斂到PS0。

若0?C，則式（8）失效，類似于定理2可證明如下結(jié)果。

定理3若0?C，由以下算法

產(chǎn)生序列｛xn｝強收斂到PS0，其中同定理2。

［1］MARINO G，XU H K.Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces［J］.J Math Anal Appl，2007，329：336-346.

［2］HE S N，ZHAOZY，LUO B.A simple algorithm for computing projection onto intersection of finite level sets［J］.Journal of Inequalities and Applications，2014，14（1）：307-319.

［3］GOEBEL K，KIRK W A.Topics in Metric Fixed Point Theory［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1990.

［4］HE S N，YANG C P.Solving the variational inequality problem defined on intersection offinite level sets［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，16（3）：318-335.

［5］XU H K.Iterative algorithms for nonlinear operators［J］.J LondonMath Soc，2002，66：240-256.

［6］LIU L S.Iterative processes with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach spaces［J］.J Math Anal Appl，1995，194：114-125.

（責(zé)任編輯：楊媛媛）

Strong convergence theorems for common fixed point algorithm in Hilbert spaces

HE Songnian，YANG Zhuo
（College of Science，CAUC，Tianjin 300300，China）

A kind of algorithm for common fixed point of finite nonexpansive mappings is proposed，and the strong convergence is also proved.As an application of this result，two algorithms for minimum norm common fixed point are achieved.Research result of He and his collegues is extended.

Hilbert spaces；common fixed point；minimum norm common fixed point；strong convergence

O177.91；O241.7

A

1674-5590（2016）03-0062-03

2015-05-14；

2015-09-04基金項目：天津市重點實驗室開放課題（1040030603）；中國民航大學(xué)研究生項目（Y15-25）

何松年（1963—），男，山西太原人，教授，博士，研究方向為非線性分析理論、算法及其應(yīng)用.