中點(diǎn)配中點(diǎn) 靈巧又簡(jiǎn)便

胥誠(chéng)

【摘要】所謂“中點(diǎn)配中點(diǎn)”，即是在已知中點(diǎn)的情況下，再造中點(diǎn)，以連成中位線或平行四邊形，使問題獲解的輔助方法. 它在已知三角形、四邊形的邊上或?qū)蔷€上的中點(diǎn)等一類問題中有著廣泛的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 中點(diǎn)；中位線；平行四邊形

例如：△ABC中，AB = AC，E為AB的中點(diǎn)，在AB延長(zhǎng)線上有點(diǎn)D，使BD = BA，求證：CD = 2CE，就是已知中點(diǎn)的問題. 怎樣配好中點(diǎn)？結(jié)合結(jié)論有下列五種常用解法.

法一：∵ B為AD的中點(diǎn)，若取△ACD中CD邊上的中點(diǎn)F，則B、F恰好配對(duì). （如圖1）

由BF = AC = AB = BE，且有∠2 = ∠ACB = ∠1，并有BC = BC，∴ △BEC ≌ △BFC，∴ △CF = CE，即CD = CE，∴ CD = 2CE.

法二：同法一取AC的中點(diǎn)F′，B、F′也正好配對(duì). 同理有BF′ = CD.

通過△BEC ≌ △F′CB又可證得CE = BF′，使問題得證. （如圖2）

法三：∵ E為AB的中點(diǎn)，若將AC延長(zhǎng)到P，使CP = AC，則C為AP的中點(diǎn)，此時(shí)E、C正好配對(duì)，（如圖3）連接BP，則CE = BP，可通過證△BCD ≌ △CBP（ ），而得到BP = CD，則CE = BP = CD，即CD = 2CE.

法四：同法三延長(zhǎng)BC到F，使BC = CF，則C為BF的中點(diǎn)，此時(shí)E、C配對(duì)，（如圖4）連接AF，則CE = AF，再證△BCD ≌ △ACF（ ），從而CD = AF = 2CE.

法五：∵ E為AB的中點(diǎn)，若將CE延長(zhǎng)到F，且使CE = EF，則E又為CF的中點(diǎn)，此時(shí)E與E自身配對(duì)，（如圖5）連接AF，BF，由對(duì)角線互相平分得？荀ACBF，∴FB = AC = AB = BD，又∠CBD + ∠ABC=∠CBD + ∠ACB = 180，而∠CBF + ∠ACB = 180°，∴∠CBF = ∠CBD，

又BC = BC，∴ △BCF ≌ △BCD，∴ CD = CF = 2CE.

由此可見，配中點(diǎn)可以是取某一線段的中點(diǎn)，（如法一、法二），也可以是加倍延長(zhǎng)，使某點(diǎn)成為中點(diǎn)，（如法三、法四、法五）. 以構(gòu)造三角形的中位線，造成全等三角形（如法一、法二、法三、法四）或平行四邊形（如法五）. 既可以是兩個(gè)不同點(diǎn)配對(duì)（如法一、法二、法三、法四），也可以是同一點(diǎn)自身配對(duì)（如法五）.

對(duì)下列練習(xí)，同學(xué)們不妨一試.

1. 在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，射線BE交AC于F，則AF = AC.

提示：取FC的中點(diǎn)G，連DG（如圖6）

2. 四邊形任一組對(duì)邊中點(diǎn)連線小于另一組對(duì)邊之和的一半.

提示：連BD、取BD的中點(diǎn)P，連PN，PM（如圖7）.

3. 已知：在四邊形ABCD中，M，N，P分別為AB，CD，BC的中點(diǎn)，AP交CM于G，MN交DG于O，求證：

① OM = ON，② DO = 3GO.

提示：（如圖8）連AC，取CG的中點(diǎn)Q，連NQ.

4. 如圖9，在 △ABC中，D為AC上一點(diǎn)，且CD = AB，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)，MN交BA的延長(zhǎng)線于E，

求證：AN = AE.

提示：連BD，取BD的中點(diǎn)P，

連PM，PN.