導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

張曉麗　李東平

摘 要：數(shù)學(xué)在現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中的作用越來越重要，導(dǎo)數(shù)作為高等數(shù)學(xué)中的一個重要概念，是經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用的一個重要工具。本文運(yùn)用導(dǎo)數(shù)作為分析工具，對每個經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析，并通過彈性分析與邊際分析的有機(jī)結(jié)合，衡量出如何確定最優(yōu)的價格以獲取最大利潤。利用導(dǎo)數(shù)來解決經(jīng)濟(jì)問題是非常有效的方式，使我們既可以從數(shù)學(xué)的角度得出結(jié)論，又可以在經(jīng)濟(jì)的理論上得到合理解釋，從而達(dá)到為企業(yè)經(jīng)營者的科學(xué)決策提供依據(jù)的目的。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；經(jīng)濟(jì)學(xué)；邊際分析；彈性分析；優(yōu)化分析

一、導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義

定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果極限存在，則稱函數(shù)f（x）在x0處可導(dǎo)，并稱其極限值為函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f ′（x0），即f ′（x0）=。其中令x=x0+Δx，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），則公式可改寫為==f ′（x0）。所以f ′（x0）是Δy與Δx之比的極限。稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而f ′（x0）則為函數(shù)f（x）在x0處關(guān)于x的變化率。如果導(dǎo)數(shù)定義中極限不存在，那么稱函數(shù)f（x）在點x0處不可導(dǎo)。

函數(shù)y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）的幾何意義是：y=f（x）在點（x0，y0）處切線的斜率。

二、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

（一）邊際與邊際分析

如果y=f（x）在x0處可導(dǎo)，那么它在x=x0處的變化率為，即函數(shù)y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)f ′（x0），在經(jīng)濟(jì)分析中我們稱它為f（x）在點x0處的邊際函數(shù)值。設(shè)在點x=x0處，x從x0改變一個單位時y的增量Δy的準(zhǔn)確值為Δy

x=x0

Δx=1，由于實際的經(jīng)濟(jì)問題中，x一般是一個比較大的量，而Δx=1與x相比就可以看作是一個相對較小的量，由微分學(xué)可知，Δy的近似值可表示為Δy

x=x0

Δx=1≈dy=f ′（x）Δx

x=x0

Δx=1=f ′（x0）。這說明f（x）在點x0處，當(dāng)x改變一個單位時，y近似的改變f ′（x0）個單位。在實際應(yīng)用中，我們通常略去“近似”二字，來解釋邊際函數(shù)的定義。于是，就有以下定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）可導(dǎo)，則稱導(dǎo)數(shù)f ′（x）為邊際函數(shù)，稱f ′（x0）為f（x）在點x0處的邊際函數(shù)值。

（二）彈性與彈性分析

彈性也是經(jīng)濟(jì)學(xué)中重要的概念之一，它反映了一個經(jīng)濟(jì)變量變化對另一個經(jīng)濟(jì)變量變化的影響程度。彈性常用于對需求、供給、生產(chǎn)收益等問題的討論。彈性的計算有兩種：點彈性和弧彈性。這里我們只介紹函數(shù)的點彈性。下面將給出一般函數(shù)的彈性定義。設(shè)函數(shù)y=f（x），Δx和Δy分別為自變量和函數(shù)的絕對改變量，Δx/x和Δy/y分別稱為自變量的相對改變量和函數(shù)的相對改變量，而

稱為函數(shù)f（x）從x到x+Δx兩點間的彈性，若y=f（x）在點x處可導(dǎo)，則稱

=·=y ′·=f ′（x）·為f（x）在點x處的彈性，記作。對于一般的x，是x的函數(shù)，稱為f（x）的彈性函數(shù)。在點x0處的值記為

x=x0，當(dāng)Δx很小時，

x=x0≈

。這說明，

x=x0表示在點x0處，當(dāng)x相對改變量為1%時，f（x）近似改變了

x=x0%（在應(yīng)用中常常略去“近似”），也就是說，反映f（x）隨x的變化而變化的幅度，即f（x）對x變化反應(yīng)的靈敏度。

三、優(yōu)化分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常遇到的優(yōu)化問題，例如最大產(chǎn)出分析、最大收入分析、最大利潤分析、資源合理利用的優(yōu)化分析等，數(shù)學(xué)的最優(yōu)化求解方法是這類問題的主要解決方法。進(jìn)行優(yōu)化分析可以幫助企業(yè)管理者以最低的生產(chǎn)成本獲得最大化收益，意義非常深遠(yuǎn)。這里考慮運(yùn)用邊際函數(shù)求最大利潤。利潤等于收入減去成本，邊際利潤為邊際收入減去邊際成本，即ML=MR-MC。

1）當(dāng)MR-MC>0時，每增加一個單位的產(chǎn)品，所增加的收益大于所增加的成本，因而總利潤增加，但沒能達(dá)到獲得最大收益的規(guī)模，此時，企業(yè)應(yīng)該擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模。

2）當(dāng)MR-MC<0時，每增加一個單位的產(chǎn)品，所增加的收益要小于所增加的成本，從而總利潤減少，說明企業(yè)應(yīng)該減少生產(chǎn)規(guī)模。

3）當(dāng)MR-MC=0時，即MR=MC，企業(yè)達(dá)到最優(yōu)的產(chǎn)量規(guī)模。即L（x）取得最大值的必要條件是：邊際收益與邊際成本相等。另外，如果要保證利潤取得最大值，利潤對產(chǎn)量的二階導(dǎo)數(shù)必須小于零，即：=-<0，即<。其中，是邊際收益的變化率，即邊際收益曲線的斜率，是邊際成本的變化率，即邊際成本曲線的斜率。所以，利潤最大化的必要條件是邊際收益邊際成本相等，充分條件是邊際成本曲線的斜率大于邊際收益的曲線的斜率。不管是競爭性的還是非競爭性的企業(yè)都適用。

通過以上分析，我們發(fā)現(xiàn)，在達(dá)到某一點x0之前，增加產(chǎn)量會使企業(yè)獲利增加；過了這一點，產(chǎn)量增加反而會使利潤減少。

以上只是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一小部分，然而其他優(yōu)化問題還有很多，例如稅收的最大化問題、最佳存款利息等等，而這類問題在引入導(dǎo)數(shù)的概念以后更加容易解決。

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項目號：

1.吉教科合字[2004]第104號：微分包含定性理論在經(jīng)濟(jì)預(yù)測中的應(yīng)用研究

2.吉教科合字[2005]第166號：數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)投資決策方案中的應(yīng)用研究