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    數(shù)學(xué)助破兇案的奧秘之一—如何尋找犯罪熱區(qū)

    2016-10-20 12:31陸繼宗雋武
    科學(xué)生活 2016年9期
    關(guān)鍵詞:熱區(qū)方格羅斯

    陸繼宗?雋武

    偵破刑事案件,特別是殺人兇案,是電視劇的主要題材之一。因?yàn)槠渲胁粌H有扣人心弦、曲折復(fù)雜的情節(jié),還有現(xiàn)代化的刑案偵破手段的介紹。然而,在十多年前,美國曾拍了一部別出心裁的偵破系列劇,名為《Numbers》,直譯意思為“一些數(shù)字”,中文意譯為《數(shù)字追兇》。劇中有兩個(gè)主要人物,一為聯(lián)邦調(diào)查局特工丹·埃普斯,一為他的弟弟數(shù)學(xué)家查利。每一集都圍繞查利如何用他掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)工具來幫助哥哥破獲刑事兇案,使數(shù)學(xué)成為協(xié)助破案的利器。那么,使用數(shù)學(xué)技巧來破案究竟靠不靠譜呢?數(shù)學(xué)果真是破案的利器,抑或只是為了提高收視率的一種炒作呢?為了回答這個(gè)問題,美國全國公共電臺(tái)數(shù)學(xué)普及節(jié)目主持人基思·德夫林和加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授、《數(shù)字追兇》電視劇首席數(shù)學(xué)顧問合著了一本同名的書籍,解釋了為什么數(shù)學(xué)知識(shí)確可用來作為破案的利器。我們將通過一系列文章,具體介紹數(shù)學(xué)在刑事偵破工作中的作用,以及圍繞這一工作饒有趣味的有關(guān)知識(shí)。

    如何抓住強(qiáng)奸殺人犯?

    聯(lián)邦調(diào)查局特工丹·埃普斯看了一眼平攤在他父親家餐廳桌子上的一張大洛杉磯地區(qū)的街區(qū)圖。地圖上用叉號(hào)標(biāo)記了犯罪地點(diǎn),一個(gè)殘忍的系列殺手在幾個(gè)月內(nèi)襲擊、強(qiáng)奸,然后殺害了十多位年輕的女性。丹的任務(wù),是在罪犯再次對(duì)女性發(fā)動(dòng)襲擊前抓住這名殺手。但是調(diào)查毫無進(jìn)展——丹沒有線索,也不知道下一步該做什么,真可以說是一籌莫展。

    “要幫忙嗎?”這是丹的弟弟查利的聲音,他是附近某大學(xué)數(shù)學(xué)系的一名杰出年輕教授。丹一直對(duì)他弟弟不可思議的數(shù)學(xué)才能佩服得五體投地,希望能從他那里得到任何幫助。但是調(diào)查能從一個(gè)數(shù)學(xué)家那里得到幫助嗎?

    “此案與數(shù)字無關(guān),查利。”丹語氣嚴(yán)厲并不是由于生氣,更多地是由于遇到了挫折而造成的,但查利似乎并未注意到這一點(diǎn),他的回答完全是就事論事,但似乎有點(diǎn)答非所問:“任何事情都與數(shù)字分不開?!?/p>

    丹并不信服。當(dāng)然,他常常聽查利說數(shù)學(xué)就是研究各種模式:辨認(rèn)模式、分析模式以及預(yù)言模式,等等。但即使讓一個(gè)數(shù)學(xué)天才去看雜亂無章散布在地圖上的叉號(hào),他又會(huì)看出什么奧秘來呢。沒有規(guī)律性,任何人根本沒有辦法預(yù)言下一個(gè)叉號(hào)將打在哪個(gè)精確位置上,也就是說,下一個(gè)年輕的姑娘會(huì)在哪里被襲擊,我們應(yīng)當(dāng)在哪里設(shè)防——這可能會(huì)出現(xiàn)在每個(gè)夜晚。如果叉號(hào)的排列具有某種規(guī)律性,那么倒可以用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來描繪一個(gè)圖形,就像丹在中學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)所學(xué)到的知識(shí):方程x2+y2=9 可以用來描繪一個(gè)圓周圖形。

    自動(dòng)噴水龍頭的啟發(fā)

    看著地圖上的記號(hào),即使查利也不得不同意,好像無法用數(shù)學(xué)來預(yù)言殺手下一次將在哪里作案。然而他們家里花園中灌澆草坪的自動(dòng)噴水龍頭不斷噴出水珠,落在草坪上,這一現(xiàn)象啟發(fā)了查利。因?yàn)椴槔?,事?shí)上,現(xiàn)代生活中幾乎沒有哪一個(gè)領(lǐng)域可以不依賴數(shù)學(xué),但是必須建立一種模式,不然數(shù)學(xué)無法走出第一步。

    他把丹拖曳到了窗前,可以看到噴水龍頭正在不知疲倦地工作。“我們一直在提一個(gè)錯(cuò)誤的問題?!彼f,“從那些你已經(jīng)知道的發(fā)案地點(diǎn),你根本無法預(yù)言兇手下一次將在哪里作案。”他指著噴水龍頭說?!斑@就好像,不管你對(duì)濺落在草坪上的水珠的位置研究得再多,也無法預(yù)言下一水滴將濺落在何處?!彼戳说ひ谎?,確信他的哥哥正在聽?!暗俏覀兗俣?,你不能看見這個(gè)噴水龍頭安裝在哪里,你所能得到的是濺落到地上的所有水滴的分布模式。然后利用數(shù)學(xué)工具,你就能精確推算出噴水龍頭在什么地方。你不能利用水滴的模式去預(yù)言下一顆水滴將落在哪里,但你能夠用已經(jīng)確定的水滴落點(diǎn)反推出水龍頭在哪里。這只水龍頭所在的地方就相當(dāng)于兇手所在之處?!?/p>

    丹一下子很難接受他弟弟提出的建議?!安槔?,你是否是在告訴我,你可以推出兇手的落腳之處?”

    查利的回答很簡單:“對(duì)?!?/p>

    丹仍然懷疑查利的想法是否真的管用,不過他弟弟的信心和熱情給他留下了深刻印象,所以他同意讓查利幫助調(diào)查。

    查利第一步是學(xué)一些犯罪學(xué)的基本科學(xué)知識(shí):首先,系列殺手的行為是怎么樣的。在這一點(diǎn)上,他作為一個(gè)數(shù)學(xué)家,多年經(jīng)驗(yàn)教會(huì)了他如何辨認(rèn)哪些是關(guān)鍵因素,而忽略所有其他的因素,以使一個(gè)看似非常復(fù)雜的問題能夠化成一個(gè)僅包含少數(shù)幾個(gè)變量的問題。例如,在與丹以及他哥哥所工作的聯(lián)邦調(diào)查局辦公室里的其他特工交談后,他知道了暴力系列犯罪在地點(diǎn)的挑選上會(huì)呈現(xiàn)出某種傾向性。罪犯們傾向于靠近他們的住所實(shí)施犯罪,但不會(huì)挨得太緊;他們會(huì)環(huán)繞他們的居住所在地設(shè)立一個(gè)“緩沖區(qū)”,在此區(qū)域內(nèi)他們不實(shí)施犯罪,這個(gè)區(qū)域太靠近其住處、太危險(xiǎn),所以他們不想在這個(gè)他們所謂的舒適區(qū)作案;而在這舒適區(qū)外,犯罪地點(diǎn)出現(xiàn)的頻率是隨著離住所距離的增加而減少的,這也容易解釋,因?yàn)樵竭h(yuǎn)則意味著越不方便,而且他們?cè)讲皇煜つ切┑胤健?/p>

    然后,回到他在加州科學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)系的辦公室,查利興奮地認(rèn)真工作了起來,黑板上布滿了數(shù)學(xué)的等式和公式。他的目標(biāo):找到數(shù)學(xué)的鑰匙,從而確定一個(gè)“熱區(qū)”——地圖上的一個(gè)區(qū)域,由作案地點(diǎn)反推出來,是犯罪分子最可能居住的地區(qū)。

    查利得出的公式

    就像他在著手解一個(gè)艱難的數(shù)學(xué)問題那樣,查利嘗試種種方法而沒有成功時(shí),時(shí)間在飛快地流逝。最后,他有了一個(gè)他認(rèn)為可以管用的想法。他擦掉了以前寫在黑板上的潦草字跡,寫下了這個(gè)看起來很復(fù)雜的

    公式:

    下一步是對(duì)此公式進(jìn)行微調(diào),就是用由丹提供的以前系列犯罪案件來驗(yàn)證這個(gè)公式。當(dāng)他輸入聯(lián)邦調(diào)查局以前破獲的案件中的犯罪地點(diǎn),從而證實(shí)這個(gè)公式是不是能正確地預(yù)言罪犯的住處。因?yàn)橛行r(shí)候,這個(gè)公式并不能反映真實(shí)情況,比如哪些是要考慮的因素、哪些是可忽略的因素,一定要與辦案人員交流后才能得知,不過,當(dāng)查利根據(jù)大家的意見作了某些小的調(diào)整后,這個(gè)公式似乎就管用了。

    第二天,查利在聯(lián)邦調(diào)查局辦公室顯示了一份打印的標(biāo)明“熱區(qū)”的犯罪地點(diǎn)圖。這是查利把他新的公式輸?shù)剿挠?jì)算機(jī)中去時(shí),計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)圖形:一張?jiān)诘さ穆迳即壏缸锏攸c(diǎn)圖上畫出的一系列有顏色的區(qū)域的地圖,顏色逐步向中心變化,這些區(qū)域就是殺手可能居住的熱區(qū),而中間的黃色區(qū)域是殺手最有可能居住的區(qū)域。

    雖然有了這張圖,也仍然還有許多工作留給丹和他的同事們?nèi)プ?,但是他們不需要像在大海里找一根針那樣去找殺手了。感謝查利的數(shù)學(xué)公式,他們只需要在浴缸里找那根針了。

    查利向丹和調(diào)查此案的其他聯(lián)邦調(diào)查局特工解釋,這個(gè)系列殺手,雖然在隨機(jī)挑選的犯罪地點(diǎn)上來尋找被害人,從而試圖不暴露他的住處,但是數(shù)學(xué)公式揭露了真相:以很高的概率確定了罪犯居住地點(diǎn)的熱區(qū)。丹和他的小組決定偵查居住在這個(gè)熱區(qū)中的某一年齡段的符合作案條件(比如曾有前科等等)的若干男人,并使用監(jiān)視以及隱蔽的手法,從嫌疑人拋棄的煙頭、吸管中獲得DNA證據(jù),看看誰的DNA與從犯罪現(xiàn)場偵查獲得的DNA相符。

    過了不多幾天,經(jīng)歷了幾次緊張的時(shí)刻,他們抓到那個(gè)罪犯,案件告破。

    丹告訴他的弟弟說:“查利,這是你的公式立下的功勞?!?/p>

    事實(shí)還是虛構(gòu)?

    除少數(shù)戲劇性情節(jié)外,上面所敘述的就是電視觀眾看到的系列電視劇《數(shù)學(xué)追兇》第一集。許多觀眾不相信數(shù)學(xué)能以這種方式幫助捉拿罪犯。事實(shí)上,整個(gè)第一集是基于一個(gè)真實(shí)案例,在此案中用了一個(gè)數(shù)學(xué)公式來確定罪犯居住地的熱區(qū)。它就是觀眾看到的,查利寫在黑板上的那個(gè)公式。

    現(xiàn)實(shí)中,得到這個(gè)公式的那個(gè)數(shù)學(xué)家名叫金·羅斯莫。羅斯莫用來預(yù)言系列犯罪案兇犯居住在哪里的數(shù)學(xué)技巧叫做地理分析技術(shù)。

    羅斯莫已在重新分析老案件上取得了一些初步的成功,在取得了他的博士學(xué)位并被提升為偵探后,他把他的興趣傾注到了開發(fā)更好的數(shù)學(xué)方法,來進(jìn)行他稱的“犯罪地理靶定”,其他人則稱此方法為“地理分析技術(shù)”,因?yàn)樗桥c那種被調(diào)查人員基于犯罪分子的行為和心理特征來尋找罪犯的、大家熟知的“心理分析技術(shù)”相輔相成的。地理分析技術(shù)由分析犯罪分子的犯罪地點(diǎn)來確定一個(gè)罪犯的基本行動(dòng)規(guī)律。

    羅斯莫早期在加拿大從事系列犯罪案件調(diào)查,但真正使他成為整個(gè)北美地區(qū)執(zhí)法機(jī)構(gòu)大家庭中著名一員的是發(fā)生在美國路易斯安那州拉斐特的那樁市南強(qiáng)奸案,這就是電視劇《數(shù)字追兇》中情節(jié)的真實(shí)來源。

    十多年來,一名用頭巾圍著臉的不明身份襲擊者一直在躡手躡足地跟蹤小鎮(zhèn)上的婦女,并且襲擊她們。1998年,被數(shù)以千計(jì)的舉報(bào)信息以及相應(yīng)數(shù)目嫌疑人困擾著的警察邀請(qǐng)羅斯莫來幫忙。羅斯莫分析犯罪地點(diǎn)數(shù)據(jù),并制成了一幅類似于《數(shù)字追兇》中查利所顯示的地圖,上面用有顏色的地帶來標(biāo)明熱區(qū)以及它的更熱也就是更可能的內(nèi)圈。這幅地圖使得警察能夠把搜索范圍縮小到半平方英里(約合1.3平方千米)、約十多名嫌疑犯中間,最后抓到了罪犯,而羅斯莫?jiǎng)t迅速成為犯罪偵查圈內(nèi)的著名人物。

    羅斯莫公式的解釋

    最后,讓我們來更仔細(xì)地看一下那個(gè)由羅斯莫發(fā)明,在《數(shù)字追兇》中被查利寫下的公式:

    為了理解此公式的意義,我們先要重溫中學(xué)數(shù)學(xué)中解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)。解析幾何的最基本設(shè)計(jì)就是設(shè)置一個(gè)由x軸和y軸構(gòu)成的直角坐標(biāo)系,每個(gè)xi和yj值構(gòu)成了坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn),表達(dá)為(xi,yj)。比如方程 x2+y2=9在坐標(biāo)系中就是一個(gè)由一系列點(diǎn)構(gòu)成的圓,圓心在坐標(biāo)系的原點(diǎn),圓的直徑為3。

    現(xiàn)在我們用一張坐標(biāo)方格紙來畫剛才所說的坐標(biāo)系,此時(shí)每個(gè)點(diǎn)就相當(dāng)于一個(gè)坐標(biāo)小方格。我們把一張透明的坐標(biāo)方格紙疊放在地圖上,用兩個(gè)數(shù)字“i”和“j”來確定每一個(gè)小方格的位置:一個(gè)表明它在第幾行,另一個(gè)表明它在第幾列;等式的左邊是殺手的住所在此小方格里的概率pij,右邊表示如何計(jì)算這個(gè)概率。

    我們把已經(jīng)知道的犯罪地點(diǎn)由地圖上的坐標(biāo)來表示,(xi,yi)表示第一次犯罪的地點(diǎn),(x2,y2)表示第二次犯罪的地點(diǎn),依此類推。這個(gè)公式是說:

    要計(jì)算在第“i”行、第“j”列的坐標(biāo)方格中的概率pij,首先要計(jì)算從此坐標(biāo)方格的中心(xi,yj)到每一犯罪地點(diǎn)(xn,yn)你必須要走多遠(yuǎn)。這里的下標(biāo)n代表任一犯罪地點(diǎn)——n=1是指第一個(gè)犯罪地點(diǎn),n=2指第二個(gè)犯罪地點(diǎn),依此類推。必須要走多遠(yuǎn)這個(gè)問題的答案是:

    | xi — xn | + | yj — yn |,

    公式中有兩個(gè)地方要用到此答案。

    從左至右來看這個(gè)公式,它由兩個(gè)分式組成。左邊的分式,是把距離放在分母上,分子是。距離的冪次為f,冪次f的數(shù)值的選取如下:用過去犯罪模式的數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)此公式時(shí),符合得最好的那個(gè)f值。這個(gè)公式的這一部分表達(dá)了如下思想:當(dāng)處在緩沖區(qū)外時(shí),犯罪地點(diǎn)的概率隨距離的增大而減小。

    右邊的分式是概率公式中用到的緩沖區(qū)里每次犯罪“行走距離”的概念。在右邊的分式中,用2B減去距離,B是選來描述緩沖區(qū)大小的一個(gè)數(shù),并在此式中使用減得的結(jié)果。當(dāng)距離增加時(shí),公式第二項(xiàng)的分母上由減法給出的結(jié)果愈小,用另一冪次g加大了這個(gè)結(jié)果后,第二項(xiàng)的值就愈大。

    這個(gè)公式的兩個(gè)分式結(jié)合起來就起了一種“平衡作用”,表達(dá)了下面這一分析:當(dāng)離開罪犯據(jù)點(diǎn)向外移動(dòng)時(shí),犯罪的概率先是增大(當(dāng)通過緩沖區(qū)移動(dòng)時(shí)),然后是減小。用優(yōu)美的數(shù)學(xué)符號(hào)“+”把此公式的這兩部分結(jié)合起來,希臘字母表示“對(duì)每一次犯罪的貢獻(xiàn)求和,就給出了第‘ij個(gè)坐標(biāo)方格中的概率的值?!眱身?xiàng)中都出現(xiàn),它是被用來增加這項(xiàng)或那項(xiàng)的“權(quán)重”的。的值選得愈大,“概率隨距離的增大而減小”的現(xiàn)象的權(quán)重也就愈大,反之較小的值則是強(qiáng)調(diào)緩沖區(qū)的效應(yīng)。當(dāng)用這個(gè)公式來計(jì)算(當(dāng)然用計(jì)算機(jī)來進(jìn)行)所有坐標(biāo)小方格的概率pij,制作一張熱區(qū)地圖就很容易了:你只要把小方格涂上顏色就行了,概率最大的涂黃色、稍小一些的涂橙色、然后是紅色,如此,概率最小的留下不

    涂色。

    (本文材料主要取自《數(shù)學(xué)緝兇》一書,上??萍冀逃霭嫔?011年第1版)

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