別讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“形同虛設(shè)”
——以分組合作方式，用數(shù)學(xué)建模思想探究二次函數(shù)實(shí)驗(yàn)

□海南省萬(wàn)寧市民族中學(xué)陳輝亮

別讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)“形同虛設(shè)”
——以分組合作方式，用數(shù)學(xué)建模思想探究二次函數(shù)實(shí)驗(yàn)

□海南省萬(wàn)寧市民族中學(xué)陳輝亮

一、提出課題

現(xiàn)在許多家庭都是以煤氣為燃料，日常生活燒水、做菜、做飯，都少不了煤氣，如何才能使得用氣最少？以下就以燒一壺水為例，分組合作探究這個(gè)問(wèn)題。

二、學(xué)生探究

各小組討論并發(fā)表意見(jiàn)：燒水過(guò)程煤氣的用量與什么因素有關(guān)？

組1：煤氣燃燒時(shí)與熱效率有關(guān)，熱效率是指它對(duì)水直接加熱的能量與在空氣中消耗的總能量的比值，比值越大說(shuō)明熱效率就越高，還可以說(shuō)和燃燒時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)，時(shí)間越長(zhǎng)熱效率越低，時(shí)間越短熱效率越高。

組2：是否是完全燃燒，與水的初始溫度有關(guān)；還和水的多少有關(guān)。

組3：與水壺的效率有關(guān)，水壺的保溫效果好，那么散熱少，水燒開(kāi)就快，煤氣用量相對(duì)來(lái)說(shuō)就少。

組4：和當(dāng)時(shí)的大氣壓強(qiáng)有關(guān)，還和煤氣的質(zhì)量有關(guān)，質(zhì)量好的煤氣當(dāng)然用量就會(huì)少。

教師分析：假定在一個(gè)理想的條件下，相同的一壺水，相同的煤氣質(zhì)量，而且保證水的初始溫度一樣，相同的一個(gè)外部環(huán)境，排除上面這些因素的干擾，那么這時(shí)候問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成煤氣灶的旋鈕要轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)燒開(kāi)這樣的一壺水煤氣的用量最少？會(huì)是火很大還是火很小呢？

三、確定實(shí)驗(yàn)方案

各組分別設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，討論選擇最合理方案進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

組1：取兩個(gè)水壺一樣，控制水的質(zhì)量、初溫一樣，分別放在兩個(gè)燃?xì)庠钌霞訜?，旋鈕旋轉(zhuǎn)不同的角度觀察哪邊先燒開(kāi)。

組2：取一個(gè)水壺，放上一定質(zhì)量的水，使水的初溫一定，加熱至燒開(kāi)，測(cè)量水燒開(kāi)的時(shí)間是多少，接著把水壺水倒掉，讓水壺冷卻到原來(lái)的溫度，再加入相同質(zhì)量、溫度的水，這時(shí)將旋鈕轉(zhuǎn)到不同位置，記錄水燒開(kāi)所需要的時(shí)間。

組3：設(shè)計(jì)方案分三次來(lái)進(jìn)行，假設(shè)每次所用的煤氣是一樣的，然后分別將旋鈕轉(zhuǎn)到大火、中火、小火的位置；待到預(yù)先設(shè)置的煤氣用完，分別測(cè)量水溫升高了多少，進(jìn)行比較，得出效率，就可以判斷出來(lái)什么火時(shí)是最節(jié)省煤氣的。

組4：方案是在組3的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改良設(shè)計(jì)，用到了煤氣表的讀數(shù)，我們分別取五個(gè)不同位置的角度180、360、540、720、900進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，控制相同的條件下使水燒開(kāi)，分別記錄燃?xì)獗黹_(kāi)始時(shí)和水開(kāi)時(shí)的讀數(shù)，通過(guò)對(duì)比，就可以判斷出來(lái)旋鈕旋轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)是最節(jié)省煤氣的。

四、實(shí)驗(yàn)

根據(jù)小組討論確定的實(shí)驗(yàn)方案，選取五個(gè)不同角度18°、36°、54°、72°、90°進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄如下：

為了更形象地反映數(shù)據(jù)特征，我們以旋轉(zhuǎn)角度為橫坐標(biāo)，所用燃?xì)鉃榭v坐標(biāo)作散點(diǎn)圖如下圖。

實(shí)驗(yàn)記錄旋轉(zhuǎn)角度燃?xì)獗碜x數(shù)開(kāi)始時(shí)水開(kāi)時(shí)用氣量1 8 ° 9 . 2 1 0 9 . 0 8 0 0 . 1 3 0 3 6 ° 9 . 0 8 0 8 . 9 5 8 0 . 1 2 2 5 4 ° 8 . 9 5 8 8 . 8 1 9 0 . 1 3 9 7 2 ° 8 . 8 1 9 8 . 6 7 0 0 . 1 4 9 9 0 ° 8 . 6 7 0 8 . 4 9 8 0 . 1 7 2

五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)

從散點(diǎn)圖的趨勢(shì)來(lái)看，各小組學(xué)生經(jīng)過(guò)思考、分析、歸納、對(duì)比學(xué)過(guò)的函數(shù)圖像中，一元二次函數(shù)圖像與之最相似，故學(xué)生認(rèn)為可以用一元二次函數(shù)近似地表示這種變化，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成研究二次函數(shù)；我們先假設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，根據(jù)函數(shù)解析式我們可以算出當(dāng)旋鈕旋轉(zhuǎn)到什么位置時(shí)，煤氣的用量最少，最少是多少的問(wèn)題。

為了確定a，b，c三個(gè)常數(shù)的值，在選取點(diǎn)方面學(xué)生展開(kāi)了激烈的討論。

組2：取最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，還有中間一點(diǎn)，也就是第二、三、五個(gè)點(diǎn)。

組3：我們組討論認(rèn)為第三個(gè)點(diǎn)在函數(shù)圖像中應(yīng)該算是誤差點(diǎn)，如果是畫(huà)圖像的話，第三個(gè)點(diǎn)可能不在圖像上，所以排除第三個(gè)點(diǎn)，選取第一、二、五個(gè)點(diǎn)。

1.擬合函數(shù)。設(shè)函數(shù)y=ax2+bx+c，?。?8，0.130），（36，0.122），（90，0.172）代入函數(shù)得方程組

解得：a=1.9033×10-5；b=-1.4722×10-3；c=0.15033

則函數(shù)式為：y=1.9033×10-5x2-1.4722×10-3x+0.15033

2.求最少用氣量。求解得燃?xì)庥昧孔钌贂r(shí)旋鈕的實(shí)際位置是：

3.檢驗(yàn)分析。學(xué)生們展開(kāi)了新一輪的討論。

組1認(rèn)為：分別在39°和另外取一角度80°燒同一壺水，再記錄煤氣表的用量。

組4認(rèn)為：代個(gè)數(shù)字進(jìn)去，代剛才五個(gè)量里的一個(gè)，除了誤差點(diǎn)那個(gè)，即第四個(gè)點(diǎn)。

學(xué)生總結(jié)：組1的檢驗(yàn)方法是錯(cuò)誤的，因?yàn)楸容^時(shí)不能就取兩個(gè)值，關(guān)鍵是這個(gè)不能比較，就是不一定能試到最小的，這樣比較的沒(méi)有代表性；而組4的檢驗(yàn)方法比較合理，它直接刻畫(huà)這個(gè)數(shù)學(xué)模型是否符合實(shí)際問(wèn)題。

六、實(shí)驗(yàn)反思

此次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)到如何由實(shí)際的問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，以小組合作方式進(jìn)行探究、實(shí)驗(yàn)、歸納、建立數(shù)學(xué)模型、解決問(wèn)題。培養(yǎng)學(xué)生對(duì)“形”的把握能力，通過(guò)“形”來(lái)處理數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，利用多媒體軟件技術(shù)擬合函數(shù)等綜合能力。滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，發(fā)展了學(xué)生“想用、能用、會(huì)用”的數(shù)學(xué)知識(shí)意識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生求真、求實(shí)、創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，但本實(shí)驗(yàn)也存在不足之處，實(shí)驗(yàn)耗時(shí)比較長(zhǎng)，可以分兩個(gè)階段進(jìn)行，對(duì)實(shí)驗(yàn)操作要求比較高，數(shù)據(jù)要合理規(guī)范和學(xué)生要有較高的個(gè)人綜合處理能力。