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    三次Bezier曲線的生成與拼接

    2016-10-17 18:36李紅林
    科技視界 2016年21期
    關(guān)鍵詞:連續(xù)性

    李紅林

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    【摘 要】本文利用VC++編程環(huán)境,生成兩段三次Bezier曲線,并對(duì)曲線進(jìn)行連續(xù)性條件討論,且實(shí)現(xiàn)了曲線拼接。

    【關(guān)鍵詞】三次;Bezier;連續(xù)性;曲線拼接

    【Abstract】In this paper, the VC++ programming environment is used to generate three Bezier curves, and the continuity conditions are discussed, and the curves are achieved

    【Key words】Cubic; Bezier; Continuity; Curve Splicing

    Bezier曲線是由法國(guó)人Bezier于20世紀(jì)70年代初為解決汽車外型設(shè)計(jì)而提出的一種新的參數(shù)表示方法[1]。Bezier 方法是曲線、曲面造型中的一個(gè)里程碑,它以逼近原理為基礎(chǔ),應(yīng)用Bezier方法,可逼近數(shù)學(xué)曲線、曲面或設(shè)計(jì)師勾畫(huà)的草圖,起到輔助設(shè)計(jì)的作用[2-3]。由于實(shí)際應(yīng)用中的線和面形狀復(fù)雜,用單一曲線、曲面無(wú)法表示,所以有必要對(duì)曲線、曲面進(jìn)行拼接。

    1 定義

    1.1 Bezier曲線的定義

    2 三次Bezier曲線的生成

    在VC++6.0 環(huán)境下,新建一個(gè)基于MFC的單文檔工程。在工程View.cpp中添加Bezier曲線生成函數(shù),當(dāng)n=3時(shí),生成任意兩條三次Bezier曲線,如圖1所示。

    3 三次Bezier曲線的拼接及連續(xù)性

    樣條曲線是由各個(gè)多項(xiàng)式曲線段連接而成,為了保證各個(gè)曲線段在連接點(diǎn)處是光滑的,需要滿足各種連續(xù)性條件[5]。連續(xù)性有參數(shù)連續(xù)性和幾何連續(xù)性。若兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處具有n階連續(xù)導(dǎo)矢,即n階連續(xù)可微,則將這類連續(xù)性稱為n階參數(shù)連續(xù)性條件,記為Cn。若只要求兩條相鄰參數(shù)曲線段在連接點(diǎn)處的n階導(dǎo)矢成比例,而不要求必須相等,則將這類連續(xù)性稱為n階幾何連續(xù)性,記為Gn。因參數(shù)連續(xù)性條件比幾何連續(xù)性條件更加苛刻一些。所以,在三次Bezier曲線拼接時(shí)以幾何連續(xù)性為例。

    設(shè)兩條三次Bezier 曲線的控制點(diǎn)列分別為Pi(i=0,1,2,3)和Qj(j =0,1,2,3)。若將P(t)段與Q(t)相連,則在連接點(diǎn)處達(dá)到G0、 G1、G2連續(xù)的充要條件是:

    (1)G0連續(xù):P(1)=Q(0)。即P(t)的終點(diǎn)與Q(t)的起點(diǎn)重合,如圖2 所示,曲線在連接點(diǎn)處不能保證是光滑連接。

    (2)G1連續(xù):是兩段相鄰曲線在連接點(diǎn)處不僅達(dá)到G0連續(xù),同時(shí)一階導(dǎo)數(shù)成比例,即P(1)=αQ(0),其中α是比例系數(shù)。具有G1連續(xù),在連接點(diǎn)處有公共的切矢方向,即P2,P3(Q0),Q1三點(diǎn)共線,如圖3所示。

    (3)G2連續(xù):指兩段相鄰曲線段的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)在交點(diǎn)處均成比例。P(1)=αQ(0),P(1)=βQ(0)。G2連續(xù)除了滿足G1 條件外,還滿足:副法矢方向相同、曲率相等。

    4 結(jié)論

    本文首先對(duì)三次Bezier曲線進(jìn)行了簡(jiǎn)單分析與實(shí)現(xiàn);其次對(duì)曲線的連續(xù)性進(jìn)行分析;最后對(duì)生成的三次Bezier曲線進(jìn)行拼接。該拼接方法可實(shí)現(xiàn)任意次的Bezier曲線的拼接。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]杜曉增,丁宇辰.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)[M].2版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013:103.

    [2]嚴(yán)蘭蘭,宋來(lái)忠,李軍成.有理Bezier 曲線的拼接[J].三峽大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,27(5):469-471.

    [3]楊林英.Bezier曲線的拼接及擴(kuò)展[D].蘭州:西北師范大學(xué),2013.

    [4]蘆殿軍.Bezier 曲線的拼接及其連續(xù)性[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2004,22(6):84-86.

    [5]銀紅霞,杜四春,蔡立軍.計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M].北京:水利水電出版社,2005:133-134.

    [責(zé)任編輯:楊玉潔]

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