MATLAB在“函數(shù)重要極限”教學中的應用

徐森

【摘 要】本文通過MATLAB的繪圖功能，對函數(shù)的“重要極限”以及與之相似的四個函數(shù)的極限問題進行了研究，使學生印象更加深刻，便于理解。

【關鍵詞】微積分；重要極限；MATLAB

高等數(shù)學是理工類學科的一門基礎課程，在一些文科類學科中也有重要的應用。微積分是高等數(shù)學的重要內(nèi)容，是以極限為研究工具，以函數(shù)為研究對象的一門學科。

極限的學習與理解對于整個高等數(shù)學的學習起到至關重要的作用，然而極限的概念作為微積分當中的第一個重要概念，相對比較抽象，尤其對于數(shù)學基礎薄弱的同學，理解很吃力，影響正門課程的學習。如何調(diào)整教學方式方法，幫助學生更好的理解函數(shù)極限的概念成為高等數(shù)學這門課程的一個熱點問題。

Matlab軟件是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，它將矩陣運算、數(shù)值分析、圖形處理和編程技術結(jié)合在一起，具有良好的數(shù)據(jù)可視化和交互式環(huán)境。靈活運用這些功能可以使學生在實踐中探索極限的概念，激發(fā)學生學習的興趣。本文主要結(jié)合筆者的MATLAB應用實踐，用數(shù)學實驗的方法探索“重要極限”的概念。

先觀察函數(shù)的圖像，程序如下：

>> x1=0.1：-0.001：0.0001；

>> x2=-0.0001：-0.001：-0.1；

>> plot（x1，sin（x1）./x1，o，x2，sin（x2）./x2）；

>> title（y=（sinx）/x）；

>> xlabel（x）；

>> ylabel（y）；顯示圖像，如圖1所示

首先通過描繪函數(shù)圖像，研究函數(shù)的性質(zhì)，程序如下：

>>subplot（2，2，1）；

>>fplot（sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>subplot（2，2，2）；

>>fplot（x*sin（1/x），[-0.001，0.001]）；

>>title（y=x*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）；

>>x1=100：100：1000；

>>x2=-1000：100：-100；

>>subplot（2，2，3）；

>>plot（x1，sin（x1）./x1，x2，sin（x2）./x2）；

>>title（y=sinx/x）；

>>xlabel（x）；

ylabel（y）；

>>subplot（2，2，4）；

>>y1=（1./x1）.*sin（1./x1）；

>>y2=（1./x2）.*sin（1./x2）；

>>plot（x1，y1，x2，y2）；

>>title（y=（1/x）*sin（1/x））；

>>xlabel（x）；

>>ylabel（y）； 顯示圖像如圖2所示：

本題考察的4個函數(shù)與“重要極限”的表達形式非常接近，學生經(jīng)常混淆。本題從圖像的角度，結(jié)合理論對函數(shù)極限的結(jié)論進行了說明，幫助學生區(qū)別這幾類極限問題。

如何利用數(shù)學軟件進行輔助教學是現(xiàn)代教育研究課題之一，傳統(tǒng)的數(shù)學教學強調(diào)理論性、系統(tǒng)性、嚴密性的證明，枯燥的理論證明容易使學生失去學習的興趣，本文通過MATLAB的畫圖功能，描繪出函數(shù)的圖像，通過觀察了解極限的概念，有助于鞏固學生對重要極限的掌握和理解。

【參考文獻】

[1]毛建生.高等數(shù)學中兩個重要極限公式的教學模式探索[M].瀘州職業(yè)技術學院學報，2013，1.

[2]王閃閃，陳曉，蘇倩倩.MATLAB在“函數(shù)的極限”教學中的應用舉例[M].電腦知識與技術，2015，24，11.

[責任編輯：楊玉潔]

用萬分之一的天平分別稱取各樣品0.2g于小燒杯中，往小燒杯中加入5mL的濃硝酸于室溫下浸泡至粉末變成土黃色，然后將燒杯置于80℃的調(diào)溫板上加熱約3h，使?jié)庀跛崧龘]發(fā)，再將調(diào)溫板調(diào)至120℃，使殘余的濃硝酸全部揮發(fā)。冷卻后，再加5mL的濃硝酸，繼續(xù)加熱，重復此過程直至燒杯中的溶液呈無色。最后，往燒杯中加入2mL的高氯酸，于200℃的調(diào)溫板中緩慢蒸干直至燒杯中有無色晶體析出。待冷卻后，加入10%的硝酸溶解樣品并定容至2.5mL，以備用于ICP-AES測定。

1.3 數(shù)據(jù)統(tǒng)計方法

數(shù)據(jù)采用 Sigmaplot 8.0 軟件進行處理，選用平均值和標準誤差進行統(tǒng)計分析，使用 SPSS 13.0 對數(shù)據(jù)進行差異顯著性分析。

2 實驗結(jié)果

由表1可知，Cd處理 28d后，對照組旱柳植株各器官中沒有檢測到Cd，而處理組不同器官中的Cd積累量隨著處理濃度的增高而顯著增加。根系是Cd進入植株體內(nèi)的最初器官，對鎘有明顯的富集作用。處理28天時根部Cd含量達到最大值2984.54？滋g/g，Cd向地上部分轉(zhuǎn)移量少。鎘在旱柳植株的根、幼莖、葉、老莖木質(zhì)部、老莖韌皮部富集規(guī)律為：根>幼莖>老莖韌皮部>葉>老莖木質(zhì)部。旱柳植株各器官中Fe和 Mn以及老莖韌皮部中Zn的含量隨著Cd處理濃度增加而減少（P<0.05），Cu在老莖韌皮部中的含量幾乎不變（P>0.05）。但是在旱柳植株除老莖韌皮部的各器官中，Zn和Cu的含量隨著Cd處理濃度增加均呈現(xiàn)先升高后降低的趨勢。

3 分析討論

ICP-AES測定結(jié)果顯示，在Cd脅迫下旱柳各個器官中Cd的含量大小順序為：根>幼莖>老莖韌皮部>葉片>老莖木質(zhì)部，并且，根對Cd的富集量要遠遠大于其他器官。因為根是最先感受逆境脅迫的器官，而且植物根部的特殊結(jié)構可能也為根固定大量的重金屬提供了結(jié)構基礎。由于根的皮層的存在明顯增加了根的直徑和表面積，這有助于皮層積累大量的Cd[7]。此外，根部細胞的初生細胞壁中的果膠質(zhì)、纖維素和糖蛋白等形成的網(wǎng)架結(jié)構中的網(wǎng)孔，以及果膠質(zhì)中多聚半乳糖醛酸的羧基基團，對于植物吸收和固定Cd離子均起到很大的作用[3]（表1）。

迄今為止，以植物葉片或地上部分（干重）含Cd量為100mg/kg作為Cd超富集植物的臨界標準。吸收的重金屬Cd可大量遷移至地面是超富集植物的特點之一[8]。本實驗研究結(jié)果顯示，10？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd含量達328.65？滋g/g。50？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd積累量達到511.47？滋g/g。100？滋mol/L處理組旱柳植株處理28天時，地上部分Cd積累量達到667.94？滋g/g。旱柳地上部分富集Cd的量達到了Cd超富集植物的標準，且在賈中民等[9]的垂柳和旱柳對鎘的積累及生長光合響應比較分析研究結(jié)果也顯示旱柳富集Cd的能力大于垂柳，所以旱柳在Cd污染土壤的植物修復應用方面有較大的前景和價值。

在Cd脅迫下，Cd 能夠引起植物體內(nèi)微量元素代謝失衡，而且進入植物體內(nèi)的Cd會影響其它生長必需元素的吸收和轉(zhuǎn)運，繼而抑制植株的生長發(fā)育[10]。Zhang et al[11]，孫盛等[12]和萬雪琴等[13]研究表明，Cd顯著改變了番茄幼苗、黃瓜幼苗和楊樹體內(nèi)鐵、錳、鋅、銅的含量。一般認為Cd與Fe、Mn、Zn和Cu等二價金屬元具有相似的化學性質(zhì)，這些元素在根吸附位點競爭吸收，Cd對Zn、Cu、Mn和Fe等吸收與轉(zhuǎn)運的影響與植物有關[14]。在旱柳中，Cd抑制根對Fe和Mn的吸收，同時也阻礙了根系中的Fe和Mn向葉部運輸。在旱柳中Cd與Fe、Mn表現(xiàn)為拮抗關系。研究結(jié)果表明，低濃度Cd處理會增加旱柳植株對Zn 和Cu的吸收，而高濃度的Cd處理則會減少植物對它們的吸收，這與一些研究結(jié)果一致[13，15-16]。因此，Cd對旱柳對Zn 和Cu的吸收的影響具有明顯的劑量效應，即每種元素存在一個Cd的臨界閾值[13]。與此同時，高濃度的Cd可能會通過破壞細胞膜上的離子通道、轉(zhuǎn)運蛋白和離子載體，從而使該種元素的吸收速率降低，這也是高濃度Cd處理會導致這些營養(yǎng)元素吸收量降低的原因之一。

【參考文獻】

[1]楊衛(wèi)東，陳益泰，王樹鳳.鎘脅迫對旱柳礦質(zhì)營養(yǎng)吸收的影響[J].林業(yè)科學研究， 2009，22（4）：618-622.

[2]宋建，金鳳媚，薛俊，等.不同番茄品系吸收和積累鎘能力的差異[J].安徽農(nóng)業(yè)科學，2016，44（5）：33-35.

[3]黃白飛，辛俊亮.植物積累重金屬的機理研究進展[J].草業(yè)學報，2013，22（1）： 300-304.

[4]黃運湘，廖柏寒，王志坤.鎘脅迫對大豆生長及籽粒中營養(yǎng)元素含量的影響[J].安全與環(huán)境學報，2008，8（2）：11-15.

[5]梁家妮，馬友華，周靜.土壤重金屬污染現(xiàn)狀與修復技術研究[J].環(huán)境整治， 2009，4：45-49.

[6]董林林.鎘污染土壤的超積累植物篩選[D].西安：陜西師范大學，2008.

[7]劉恒.Cd脅迫對水稻材料根系形態(tài)特征及解剖結(jié)構的影響[D].成都：四川農(nóng)業(yè)大學，2010.

[8]毛海立，楊波，龍成梅，等.重金屬鎘超富集、富集植物篩選的研究進展[J].黔南民族師范學院學報，2011，6：4-9.

[9]賈中民，王力，魏虹，等.垂柳和旱柳對鎘的積累及生長光合響應比較分析[J].林業(yè)科學，2013，49（11）：51-59.

[10]Guo Z， Yuan H Y， Ao Y S . Effect of cadmium on photosynthesis and nutrient elements uptake of Solanum nigrum L. seedlings[J].Ecology and Environmental Sciences， 2009， 18（3）：824-829.

[11]Hang S J， Hu F， Li H X， et a1. Influence of earthworm mucus and amino acids on tomato seedling growth and cadmium accumulation[J].Environmental Pollution， 2009， 157（10）：2737-2742.

[12]孫盛，李梅，王春利.鎘脅迫對黃瓜幼苗吸收和積累Cd、Mn和Fe的影響[J]. 現(xiàn)代農(nóng)業(yè)科技，2012（24）：73-74.

[13]萬雪琴，張帆，夏新莉，等.鎘脅迫對楊樹礦質(zhì)營養(yǎng)吸收和分配的影響[J].林業(yè)科學，2009，45（7）：45-51.

[14]汪模輝，李鑒倫，曾江萍.鎘及鎘鋅交互作用的植物效應艾倫弘[J].廣東微量元素科學，2006，12（12）：6-11.

[15]徐勤松，施國新，周耀明，等.鎘在黑藻葉細胞的亞顯微定位分布及毒害效應分析[J].實驗生物學報，2004，37（6）：461-468.

[16]袁祖麗，馬新明，韓錦峰，等.鎘脅迫對煙草營養(yǎng)器官發(fā)育及礦物質(zhì)元素的影響[J].河南科學，2005，23（5）：679-682.

[責任編輯：王楠]