廣義余扭曲余代數(shù)的性質(zhì)

劉紅江

(河南應(yīng)用技術(shù)職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 鄭州 450042)

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廣義余扭曲余代數(shù)的性質(zhì)

劉紅江

(河南應(yīng)用技術(shù)職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部,河南 鄭州 450042)

利用對偶的思想,由廣義扭曲代數(shù)的性質(zhì)給出了廣義余扭曲余代數(shù)的一些相關(guān)性質(zhì).

余扭曲子;余代數(shù)映射;余模

1　預(yù)備知識

代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)是Hopf代數(shù)研究的主要內(nèi)容，而在此研究過程中經(jīng)常用到對偶的思想方法,該方法可以由已知的代數(shù)結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)得到余代數(shù)的相關(guān)結(jié)論.近年來，人們得到了許多代數(shù)結(jié)構(gòu)和余代數(shù)結(jié)構(gòu)的推廣形式，并給出了它們的性質(zhì)[1-3].文獻(xiàn)[4]引入了扭曲子的概念, 利用它得到了一種新的代數(shù)結(jié)構(gòu),即廣義扭曲代數(shù),同時討論了廣義扭曲代數(shù)的性質(zhì).該代數(shù)結(jié)構(gòu)是廣義Smash積的推廣形式. 利用對偶思想,文獻(xiàn)[5]引入了余扭曲子的概念, 并利用余扭曲子得到了一種新的余代數(shù)結(jié)構(gòu)-廣義余扭曲余代數(shù)，從而推廣了廣義Smash余積的概念. 筆者將討論廣義余扭曲余代數(shù)的性質(zhì).

定理1[3]設(shè)C和D是余代數(shù),線性映射W:C?D→D?C是余扭曲映射,則下列條件是等價的.

(1)CW?D是廣義Smash余積.

(2)下面條件成立

(ID?εC)·W(c?d)=εC(c)d

(εD?IC)·W(c?d)=εD(d)c

T12·T13·Δ2=Δ2·T:D?D→D?D?D,T23·T13·Δ1=Δ1·T:D?D→D?D?D,T23·T12=T12·T23:D?D?D→D?D?D,其中Δi,i=1,2,表示對第i個元素作用,則雙線性映射T·Δ:D→D?D是定義在D上的另一個余結(jié)合余代數(shù)結(jié)構(gòu),余單位是εD,把它表示為DT,映射T叫做D的余扭曲子.

2　主要結(jié)果及其證明

定理3設(shè)S是余代數(shù)D的一個余扭曲子,U是余代數(shù)F的一個余扭曲子，如果V:D→F是余代數(shù)映射，使得(V?V)·S=U·(V?V),那么V:DS→FU是余代數(shù)映射.

證要證V:DS→FU是余代數(shù)映射,即證：

U·ΔF·V=(V?V)·S·ΔD,εF·V=εD

已知V:D→F是余代數(shù)映射,所以

ΔF·V=(V?V)·ΔD,εF·V=εD

又因?yàn)?V?V)·S=U·(V?V),所以

U·ΔF·V=U·(V?V)·ΔD=(V?V)·S·ΔD

定理得證.

該例就是定理3的一個特殊例子,其中D=B?A,F=B'?A',V=g?f,S(U)是從W(W')得到的余扭曲子.

定理4設(shè)(D,Δ,ε)是余代數(shù),S:D?D→D?D是D的余扭曲子,則有下列結(jié)論

(1)設(shè)V是左D-余模,λ:V→D?V,λ(v)=v(-1)?v(0).假設(shè)Γ:D?V→D?V是已給定的線性映射,Γ(d?v)=dΓ?vΓ,d∈D,v∈V,使得：

ε(v(-1)Γ)v(0)Γ=ε(v(-1))v(0)

和

S12·Γ13·λ2=λ2·Γ:D?V→D?D?V

S12·Γ23·Γ13·Δ=Δ·Γ:D?V→D?D?VS12·Γ23=Γ23·S12:D?D?V→D?D?V

那么V成為左DS-余模,?！う?V→D?V ,VΓ是V上的左DS-余模結(jié)構(gòu),Γ·λ(v)=v(-1)Γ?v(0)Γ.稱映射Γ為V的相對于S的左余模余扭曲子.

(2)設(shè)V是右D-余模,ρ:V→V?D,ρ(v)=v(0)?v(1).假設(shè)Π:V?D→V?D是已給定的線性映射,Π(v?d)=vΠ?dΠ,d∈D,v∈V ,使得：

v(0)Πε(v(1)Π)=v(0)ε(v(1))

和

S23·Π12·Π13·Δ=Δ·Π:V?D→V?D?D,S23·Π13·ρ=ρ·Π:V?D→V?D?D,

Π12·S23=S23·Π12:V?D?D→V?D?D,那么V成為右DS-余模,Π·ρ:V→V?D ,V上的右DS-余模結(jié)構(gòu)用VΠ來表示，Π·ρ(v)=v(0)Π?v(1)Π，稱映射Π為V的相對于S的右余模余扭曲子.

(3)設(shè)V是D-雙余模,Γ,Π是V的相對于S的左、右余模余扭曲子,VΓ是左DS-余模和VΠ是右DS-余模.假設(shè)下面條件滿足：

Γ12·ρ=ρ·Γ:D?V→D?V?D,

Π23·λ=λ·Π:V?D→V?D?D,

證(1)要證V是左DS-余模,只需證

ε(v(-1)Γ)v(0)Γ=v,

v(-1)Γ?(v(0)Γ)(-1)Γ'?(v(0)Γ)(0)Γ'=

(v(-1)Γ)1?(v(-1)Γ)2?v(0)Γ,

所以, (v(-1)Γ)1?(v(-1)Γ)2?v(0)Γ=

((v(-1)1)Γ)S?(v(-1)2)Γ'S?v(0)ΓΓ'=

((v(-1))Γ)S?(v0(-1))Γ'S?v0(0)ΓΓ'=

((v(-1))Γ)S?(v0(-1))SΓ'?v0(0)ΓΓ'=

v(-1)Γ?(v(0)Γ)(-1)Γ'?(v(0)Γ)(0)Γ'

而ε(v(-1)Γ)v(0)Γ=v顯然是成立的.

(2)要證V是右DS-余模,需證

v(-1)Πε(v(0)Π)=v

(v(0)Π)(0)Π'?(v(0)Π)(1)Π'?v(1)Π=

v(0)Π?(v(1)Π)1?(v(1)Π)2

由V是右D-余模,可知

v(0)ε(v(1))=v,

v(0)(0)?v(0)(1)?v(1)=v(0)?v(1)1?v(1)2,

所以 v(0)Π?(v(1)Π)1?(v(1)Π)2=

v(0)ΠΠ'?((v(1)1)Π')S?(v(1)2)ΠS=

v(0)(0)ΠΠ'?((v(0)(1))Π')S?(v(1))ΠS=

v(0)(0)ΠΠ'?((v(0)(1))S)Π'?(v(1))ΠS=

(v(0)Π)(0)Π'?(v(0)Π)(1)Π'?v(1)Π

v(-1)Πε(v(0)Π)=v顯然成立.

(3)由V是D-雙余?？芍?/p>

v(-1)Γ?(v(0)Γ)(0)Π?(v(0)Γ)(1)Π=

v(0)Π(-1)Γ?(v(0)Π)(0)Γ?v(1)Π

因?yàn)?v(-1)Γ?(v(0)Γ)(0)Π?(v(0)Γ)(1)Π=

v(-1)Γ?(v(0)(0))ΓΠ?(v(0)(1))ΓΠ=

v(0)(-1)Γ?(v(0)(0))ΓΠ?(v(1))ΓΠ=

v(0)(-1)Γ?(v(0)(0))ΠΓ?(v(1))ΠΓ=

v(0)Π(-1)Γ?(v(0)Π)(0)Γ?v(1)Π

[1] ME Sweedler. Hopf algebras[M]. New York: W.A.Benjamin Inc, 1969.

[2] C Kassel. Quantum groups[M]. New York: Springer-Verlag, 2000.

[3] S Caenepeel, Bogdan lon, G Military, et al. The factorization problem and the smash biproduct of algebras and coalgebras[J]. Algebras and Representation Theory,2000, 3(1): 19-42.

[4] Javier L P, F Panaite, F V Oystaeyen. General twisting of algebras[J]. Advances in Mathematics, 2007, 212(1): 315-337.

[5] 焦?fàn)庿Q,劉紅江.廣義扭曲雙代數(shù)[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2011, 39(2): 10-12,16.

The properties of generalized cotwisted coalgebras

LIU Hongjiang

(Henan Vocational College of Applied Technology, Basic Teaching Department,Zhengzhou 450042, China)

Using the ideas of duality and the properties of the generalized twisted algebras,we give some properties of the generalized cotwisted coalgebra.

cotwistor; coalgebra mapping; comodule

2016-03-25;

2016-05-15

劉紅江(1982- ),男，河南鄭州人,碩士，講師, 研究方向: Hopf代數(shù)和量子群.

O153.3

A

1671-9476(2016)05-0053-02

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.013