具有恒Lyapunov指數(shù)譜的新三維混沌系統(tǒng)分析與電路實現(xiàn)

張國山，胡雪蘭

(天津大學 電氣與自動化工程學院，天津　300072)

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具有恒Lyapunov指數(shù)譜的新三維混沌系統(tǒng)分析與電路實現(xiàn)

張國山，胡雪蘭

(天津大學 電氣與自動化工程學院，天津300072)

構造一個新三維自治混沌系統(tǒng),它是Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)的通式.通過其Lyapunov維數(shù)、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖分析了當系統(tǒng)不同參數(shù)變化時的動力學特性.其Lyapunov指數(shù)譜說明該系統(tǒng)存在雙恒Lyapunov指數(shù)混沌鎖定;分岔圖和狀態(tài)變量幅值演變說明鎖定后混沌系統(tǒng)的幅值與相位可以調節(jié).最后,設計了該混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)并用Multisim軟件對該電路進行仿真,結果驗證了理論分析與電路仿真具有一致性.

混沌系統(tǒng);雙恒Lyapunov指數(shù)譜;非線性調幅;倒相

混沌運動是1963年由美國氣象學家Lorenz[1]在研究區(qū)域小氣候、求解他所提出的模型方程時首次發(fā)現(xiàn)的.混沌運動作為復雜的非線性運動開始受到人們的關注,常見的混沌系統(tǒng)有Chen系統(tǒng)[2]、Lü系統(tǒng)[3,4]等,隨后又有很多混沌系統(tǒng)被發(fā)現(xiàn)[5-8],有一些還具有恒Laypunov 指數(shù)譜的特性[9-12].新系統(tǒng)的一些性質,如調幅作用、倒相作用,可以省去工程應用中對混沌信號進行同相(反相)放大(縮小)時的硬件需求,也避免了許多由于增加硬件設備而增加的工程難度及成本.發(fā)現(xiàn)和研究具有新性質的混沌系統(tǒng)具有工程意義和實用價值.近年來,有關于Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)以及Lü系統(tǒng)之間的差異性和共同點的研究,引起了廣泛的關注.文獻[13-15]提出了3個系統(tǒng)的通式,分析了3種系統(tǒng)的差異性和共同點,但是均未考慮該通式本身動力學特性.本文提出了一種新的混沌系統(tǒng)通式,分析了參數(shù)變化對其動力學特性的影響.新系統(tǒng)具有雙恒Lyapunov指數(shù)譜混沌鎖定,鎖定后的系統(tǒng)具有全局、局部非線性調幅參數(shù)和倒相參數(shù).新系統(tǒng)在調幅參數(shù)和倒相參數(shù)的作用下,可分別實現(xiàn)系統(tǒng)的部分或者全部狀態(tài)變量幅值可調以及對某個狀態(tài)變量的倒相作用,同時系統(tǒng)保持相似的混沌吸引子.這些性質使新系統(tǒng)具有工程應用價值.

1　新混沌系統(tǒng)模型

新混沌系統(tǒng)的模型為

(1)

式(1)中x、y、z,均為系統(tǒng)的狀態(tài)變量.當M=1,N=1,c=-1時,系統(tǒng)為Lorenz系統(tǒng);當M=1,N=1,d=c-a時,系統(tǒng)為Chen系統(tǒng);當M=1,N=1,d=0時,系統(tǒng)為Lü系統(tǒng);因此,新系統(tǒng)為Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)和Lü系統(tǒng)的通式.除此之外,新系統(tǒng)具有以上3種系統(tǒng)不具有的性質,因此要對新系統(tǒng)進行一般化的研究.當a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,N=5時,系統(tǒng)可作為一個一般的新三維自治系統(tǒng)進行研究.此時新系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為:λ1=2.2454,λ2≈0,λ3=-15.2464,分形維數(shù)為:df=2.1473,系統(tǒng)為混沌系統(tǒng).系統(tǒng)的奇怪吸引子在各個相平面上的投影如圖1所示.下文對該混沌系統(tǒng)特性進行動力學分析,如未特殊說明,參數(shù)固定取值為：a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,N=5.

2　新混沌系統(tǒng)動力學行為分析

2.1基本特性分析

2.1.1耗散性

2.1.2對稱性

新系統(tǒng)(1)關于z軸對稱,即通過坐標變換(x,y,z)→(-x,-y,z),系統(tǒng)模型未發(fā)生改變.

2.1.3平衡點及穩(wěn)定性分析

令新系統(tǒng)等式左邊等于零,可得新系統(tǒng)式(1)的平衡狀態(tài)方程:

(2)

解方程組(2)可求得系統(tǒng)的3個平衡點:

S1=(0,0,0)

f(λ)=λ3+(a+b-c)λ2+(MNx02-bc+ab-ac+aMz0-ad)λ+[MNax02-abc+ab(Mz0-d)+MNax0y0]

平衡點處的多項式可簡化成

f(λ)=λ3+(a+b-c)λ2+(bd+ab)λ+2ab(c+d)

S2和S3對應的特征根為:λ1=-17.452,λ2,3=2.225±13.883i,系統(tǒng)的3個平衡點處的特征值不全具有負實部,系統(tǒng)有不穩(wěn)定平衡點.

2.2雙恒Lyapunov指數(shù)鎖定

當固定參數(shù)a=25,b=3,c=15,d=8,N=5,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨M變化圖像如圖2(a)所示.同理可得,當固定參數(shù)a=25,b=3,c=15,d=8,M=5,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)隨N變化圖像如圖2(b)所示.由圖可看出系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)不隨M或N取值的變化而改變,因此系統(tǒng)具有雙恒Lyapunov指數(shù)譜.

將平衡點代入到特征多項式后可消除參數(shù)M和N,即特征值的大小與M和N取值無關,因此變量M和N不影響系統(tǒng)在平衡點上的動力學特征.在參數(shù)M和N變化時,系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)維持不變,實現(xiàn)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌鎖定.但實際計算由于受到計算精度的影響,Lyapunov指數(shù)圍繞一個固定值會發(fā)生微小的波動,可以忽略不計.由于參數(shù)M和N對系統(tǒng)變化的獨特影響,將對其進行進一步分析.

圖2　參數(shù)變化時系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜

2.3調幅特性

圖3　固定a=25,b=3,c=15,d=8,N=5,　M變化時的分岔圖

2.4倒相作用

調幅參數(shù)M和N同時變化符號時,具有倒相作用.對新系統(tǒng)進行變換: (x,y,z,a,b,c,d,M,N)→(x,y,-z,a,b,c,d,-M,-N)發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)具有不變性,即新系統(tǒng)的輸出信號z將隨著調幅參數(shù)M和N的極性的改變而改變,調幅參數(shù)對系統(tǒng)輸出信號z具有倒相作用.如圖5所示,圖中新系統(tǒng)的吸引子與圖1相比,正好沿z方向顛倒,即M、N具有改變輸出信號z極性的作用,可以將M、N定義為倒相參數(shù).

圖5　a=25,b=3,c=15,d=8,M=-5,N=-5,奇怪吸引子在各相平面上的投影

3　電路實現(xiàn)

混沌電路設計[16]主要有個性化設計、模塊化設計和改進型模塊化設計3種方法.其中,改進型混沌電路模塊化設計不需要將微分方程(狀態(tài)方程)轉換成積分方程,而是通過直接比較混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程與電路實現(xiàn)的狀態(tài)方程的對應項系數(shù)來確定各個元器件的參數(shù)值.該方法的仿真和實驗結果精度高,需要的元器件的數(shù)量最少.本文采用改進型混沌電路模塊化設計的方法.對(1)式作時間尺度變換并改寫成標準形式,即：令τ=τ0t,τ0=100,有

(3)

根據(jù)式(3)設計相應的模塊電路并將輸入、輸出對應項對應連接,可得新系統(tǒng)的電路實現(xiàn),如圖6所示.其中,模擬乘法器表示電路方程中的非線性項,運算放大器、電阻和電容以及與之相關系的電路完成了相應的加、減和微分運算[17].圖中的U1B表示狀態(tài)變量x,U2C表示狀態(tài)變量y,U3B表示狀態(tài)變量z.

由圖6可得該電路實現(xiàn)的狀態(tài)方程為

(4)

圖6　系統(tǒng)電路原理圖

式(4)中:C1=C2=C3=10 μF,R3=R8=R9=R13=R14=R16=100 kΩ,R2=R4=R5=R7=R17=R18=10 kΩ,對比式(3)和式(4)可得：R1=R6=4 kΩ,R10=12.5 kΩ,R11=R15=2 kΩ,R12=33.3 kΩ,R19=6.67 kΩ.

采用Multisim軟件對電路進行仿真,仿真結果如圖7所示.其中: (a)和(b)的橫坐標均為x,(c)的橫坐標為y.其中的x、y、z均代表電壓值,可以看出電路仿真與數(shù)值仿真結果是一致的.下面對混沌電路仿真結果進行分析,在電路中,改變R11的大小,即相應的改變了M系統(tǒng)中的取值,輸出信號x、y、z的幅值會進行相同比例的放大或縮小,即改變吸引子大小,但同時保持其形狀不變,驗證了M的全局非線性調幅特性.同理改變R15的大小,即相應的改變了系統(tǒng)中N的取值,會同比例的改變輸出信號x、y的幅值大小,即對應的圖7中(a)將放大或縮小,(b)和(c)將橫向拉伸或者壓縮,驗證了N的局部非線性調幅特性.同時只改變兩個乘法器A1和A2的X或Y輸入端的輸入信號的極性,即可驗證M、N的倒相作用.例如,將A1中X端輸入信號變?yōu)閤即連接U1B端,A2中的X輸入端信號變?yōu)閦即連接U3B端，發(fā)現(xiàn)吸引子形狀和大小都不發(fā)生改變,只是z信號極性改變,即系統(tǒng)的吸引子沿z方向顛倒一下,驗證了M、N同時改變極性對z信號的倒相作用.

圖7　奇怪吸引子在相平面上的投影(其中:x為200 mV/diV,y為200 mV/diV,z為500 mV/diV)

4　結論

本文構造了新三維自治混沌系統(tǒng),新系統(tǒng)含有6個參數(shù),通過理論推導、數(shù)值仿真、Lyapunov維數(shù)、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖研究了系統(tǒng)的動力學特性.分析了不同參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學行為的影響,得到該新三維系統(tǒng)具有以下幾個典型特征: 雙參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜、全局非線性調幅參數(shù)、局部非線性調幅參數(shù)、倒相參數(shù).理論分析和電路仿真驗證了新混沌系統(tǒng)的動力學特性和可實現(xiàn)性.

[1]Lorenz E N.Deterministic non-periodic flow [J].Journal of the atmospheric sciences,1963,20(2):130-141.

[2]Chen Guan-rong,Ueta T.Yet another chaotic attractor [J].International Journal of Bifurcation and Chaos,1999,9(07):1465-1466.

[3]Lü Jin-hu,Chen Guan-rong,Cheng Dai-zhan,et al.Bridge the gap between the Lorenz system and the Chen system [J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(12):2917-2926.

[4]Lü Jin-hu,Chen Guan-rong,Zhang Suo-chun.Dynamical analysis of a new chaotic attractor [J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2002,12(05):1001-1015.

[5]唐良瑞,李靜,樊冰.一個新四維自治超混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn)[J].物理學報,2009,58(3):1446-1455.

[6]蔡國梁,譚振梅,周維懷，等.一個新的混沌系統(tǒng)的動力學分析及混沌控制[J].物理學報,2007,56(11):6230-6237.

[7]Li Chun-lai,Li Hong-min,Tong Yao-nan.Analysis of a novel three-dimensional chaotic system [J].Optik-International Journal for Light and Electron Optics,2013,124(13):1516-1522.

[8]王發(fā)強,劉崇新.Liu混沌系統(tǒng)的混沌分析及電路實驗的研究[J].物理學報,2006,55(10):5061-5069.

[9]李春彪,陳謖,朱煥強.一個改進恒Lyapunov 指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)與同步控制[J].物理學報,2009,58(4):2255-2265.

[10]李春彪,徐克生,胡文.Sprott 系統(tǒng)的恒 Lyapunov指數(shù)譜混沌鎖定及其反同步[J].物理學報,2011,60(12):504-515.

[11]李春彪,王翰康,陳謖.一個新的恒 Lyapunov 指數(shù)譜混沌吸引子與電路實現(xiàn)[J].物理學報,2010,59(2):783-791.

[12]周小勇.一種具有恒 Lyapunov 指數(shù)譜的混沌系統(tǒng)及其電路仿真[J].物理學報,2011,60(10):54-65.

[13]Leonov G A,Kuznetsov N V.On differences and similarities in the analysis of Lorenz,Chen,and Lü systems [J].Applied Mathematics and Computation,2015,256:334-343.

[14]Chen Yu-ming,Yang Qi-gui.The nonequivalence and dimension formula for attractors of Lorenz-type systems [J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2013,23(12): 50200-50212.

[15]Leonov G A.Shilnikov chaos in Lorenz-like systems [J].International Journal of Bifurcation and Chaos,2013,23(03): 50058-50068.

[16]禹思敏.混沌系統(tǒng)與混沌電路:原理,設計及其在通信中的應用[M].西安：西安電子科技大學出版社,2011.

[17]楊曉松,李清都.混沌系統(tǒng)與混沌電路[M].北京：科學出版社,2007.

A novel three-dimensional chaotic system analysis with invariable Lyapunov exponent spectrum and its circuit implementation

ZHANG Guo-shan, HU Xue-lan

(School of Electrical Engineering & Automation, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A novel three-dimensional autonomous chaotic system is constructed, which is the general structure of the Lorenz system, Chen system and Lü system.The dynamic properties of the new system are analyzed via Lyapunov dimension, Lyapunov exponent spectrum, bifurcation diagrams when system parameters vary.The Lyapunov exponent spectrum is locked when the parameters of the quadratic cross-product terms vary.The bifurcation diagrams and state variable evolutions of the locked chaotic systems show that the amplitude evolvement and the phase of the chaos signals can be modulated.Finally, the circuit of the new chaotic system is designed and realized by Multisim software, and results show a good agreement between theory analysis and circuit simulations.

chaotic system; double invariable Lyapunov exponent spectrum; nonlinear modulation; phase reversal

2015-08-05；

2015-10-15

國家自然科學基金(61473202)資助

張國山(1961—)，男，吉林農(nóng)安人，天津大學電氣與自動化工程學院教授，博士生導師，主要從事系統(tǒng)控制與智能控制研究工作.

物理實驗

O 415.5

A

1000- 0712(2016)03- 0034- 06