對(duì)不確定原理的一點(diǎn)新認(rèn)識(shí)

孫為民

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京　210093)

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對(duì)不確定原理的一點(diǎn)新認(rèn)識(shí)

孫為民

(南京大學(xué) 物理學(xué)院，江蘇 南京210093)

討論了在一維的有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的、采用箱歸一化處理的自由粒子的位置動(dòng)量不確定關(guān)系的表達(dá)，發(fā)現(xiàn)在這樣特定的物理情形下，粒子的位置坐標(biāo)與動(dòng)量不能同時(shí)測(cè)準(zhǔn)的物理論斷雖然一定成立，但通常的位置動(dòng)量不確定關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)形式需要作一定形式的修改， 本文得出了這一情形中位置動(dòng)量不確定關(guān)系的具體形式，由此加深了對(duì)于量子力學(xué)中的不確定原理的認(rèn)識(shí)，并且從對(duì)箱歸一化下的自由粒子的動(dòng)量不確定度的認(rèn)識(shí)的角度出發(fā)，討論了對(duì)于無窮體積極限的物理認(rèn)識(shí).

不確定關(guān)系；周期性邊界條件；無窮體積極限

在通常國內(nèi)的量子力學(xué)教材中，對(duì)于不確定原理的講授是通過直接分析算符的數(shù)學(xué)形式和對(duì)易關(guān)系給出的(例如見文獻(xiàn)[1])，這樣的分析與推導(dǎo)是足夠普遍的，但就物理問題本身而言，并未包括全所有的物理上感興趣的情形.這樣的情形的一個(gè)簡(jiǎn)單例子，就是在有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的，采用箱歸一化處理的自由粒子的情形.本文就試圖以此具體情形為例，討論一下這種情形下不確定關(guān)系的具體表達(dá)，以及如何看待“無窮大體積”極限這一物理問題.

(1)

系統(tǒng)的任一波函數(shù)(指滿足周期性邊界條件的波函數(shù))都可表示為這一組動(dòng)量本征函數(shù)的線性疊加：

(2)

現(xiàn)在我們來計(jì)算一下在這樣的一個(gè)波函數(shù)所描述的狀態(tài)下粒子的動(dòng)量不確定度 Δp和位置不確定度Δx.假定波函數(shù)已歸一化，則有

(3)

(4)

于是得出

(6)

(7)

(8)

此處涉及到的積分通過直接計(jì)算可給出

(9)

由此算出

(10)

這樣立即就有

(11)

(12)

(13)

可得出

(14)

(15)

(16)

(17)

通過直接計(jì)算給出：

(18)

(19)

在得出上式最后一步時(shí)，用到了所討論的ψ(x) 滿足周期性邊界條件這一點(diǎn).從上面的結(jié)果出發(fā)，利用式(14)就能得出

(20)

(21)

這樣就有

(22)

或者寫為

(23)

[1]錢伯初. 量子力學(xué)[M]. 北京：高等教育出版社, 2006: 94-98.

Some new cognitions for the uncertainty principle

SUN Wei-min

(School of Physics, Nanjing University, Nanjing, Jiangsu 210093, China)

This paper discusses the expression of the position-momentum uncertainty relation for the case of a free particle moving in a one-dimensional finite region, which is subjected to the box normalization treatment. It is found that for such a specific physical situation, although the physical thesis that the position coordinate and the momentum of a particle cannot be exactly measured simultaneously certainly holds, the mathematical form of the usual position-momentum uncertainty relation needs some modifications. In this paper the concrete form of the position-momentum uncertainty relation for such a situation has been obtained, which deepens our understanding of the uncertainty principle in quantum mechanics. From the viewpoint of the cognition of the momentum uncertainty of a free particle subjected to the box normalization, a discussion of the physical cognition of the infinite volume limit is also made.

uncertainty relation; periodic boundary condition; infinite volume limit

2015-05-07；

2015-07-20

孫為民，(1973—)，男，江蘇蘇州人，南京大學(xué)物理學(xué)院現(xiàn)代物理系副教授，博士，主要從事量子規(guī)范場(chǎng)論的形式理論的研究工作.

O 413.1

A

1000- 0712(2016)02- 0011- 03