勻速運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中的聲波干涉

呂令杰

(山東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南　250358)

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勻速運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中的聲波干涉

呂令杰

(山東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，山東 濟(jì)南250358)

探討了由兩個(gè)靜止聲源產(chǎn)生的聲波在勻速運(yùn)動(dòng)的介質(zhì)中的干涉，計(jì)算了兩聲源在同一時(shí)刻產(chǎn)生的兩列等相位的波面分別到達(dá)某點(diǎn)的時(shí)間差，并與角頻率相乘求得該點(diǎn)的相位差，進(jìn)而得到了等相位差的點(diǎn)所滿足的方程，最后討論了幾個(gè)特殊位置處的干涉情況及相關(guān)應(yīng)用.

聲波干涉；運(yùn)動(dòng)介質(zhì)；相位差；縱波；測(cè)速

當(dāng)介質(zhì)相對(duì)聲源勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，聲波的波長在空間中有所改變，但只要觀察者相對(duì)于聲源靜止，在聲場(chǎng)中任意點(diǎn)觀測(cè)到的聲波頻率都是相等的，并且等于聲源振動(dòng)的頻率[1].基于此，本文認(rèn)為兩個(gè)靜止的相干聲源在勻速運(yùn)動(dòng)的介質(zhì)中仍然會(huì)產(chǎn)生干涉. 筆者認(rèn)為對(duì)于上述問題，一般情況下常以介質(zhì)為參考系討論聲波的干涉，但是，若選擇兩相對(duì)靜止的聲源為參考系則便于問題的討論.此時(shí)各質(zhì)元的位移可以分解為質(zhì)元因振動(dòng)而偏離其平衡位置的位移(下文稱振動(dòng)位移)和平衡位置運(yùn)動(dòng)的位移.因?yàn)榻橘|(zhì)是整體運(yùn)動(dòng)的，即各質(zhì)元平衡位置運(yùn)動(dòng)的位移是相等的，該位移分量不會(huì)改變相應(yīng)質(zhì)元平衡位置處的密度或壓強(qiáng).假如我們只關(guān)心某點(diǎn)處的密度或壓強(qiáng)的變化情況，那么只需考慮平衡位置位于該點(diǎn)的質(zhì)元的振動(dòng)位移的變化.平衡位置位于該點(diǎn)的質(zhì)元的振動(dòng)位移的變化情況反映了該點(diǎn)的振動(dòng)情況，其變化頻率即該點(diǎn)的聲波頻率.與介質(zhì)靜止時(shí)不同，由于介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)，各質(zhì)元的平衡位置依次經(jīng)過該點(diǎn)，因此平衡位置位于該點(diǎn)的質(zhì)元是時(shí)刻更替的，可見該點(diǎn)的聲波頻率同時(shí)取決于質(zhì)元的振動(dòng)頻率和介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度.上述問題若選擇兩相對(duì)靜止的聲源為參考系，兩聲波在各點(diǎn)的頻率是相等的，平衡位置位于某點(diǎn)的質(zhì)元振動(dòng)位移的矢量和反映了該點(diǎn)的干涉情況.

若兩聲源初相位相同，分別計(jì)算出兩聲源在同一時(shí)刻產(chǎn)生的兩列波面到達(dá)某點(diǎn)的時(shí)刻t1、t2，兩個(gè)時(shí)刻的差值Δt乘以角頻率ω即得到該點(diǎn)的相位差，即

Δφ=ωΔt=2πf(t2-t1)

(1)

式中f為聲源振動(dòng)頻率.

圖1　計(jì)算相位差的示意圖

(x+l-vxt1)2+(y-vyt1)2=(v0t1)2

(2)

取其正根

(3)

(x-l-vxt2)2+(y-vyt2)2=(v0t2)2

(4)

取其正根

(5)

將t1、t2代入式(1)得

(6)

令式(6)中v=0，有

(7)

為了便于討論，令Δφ=±nπ

(8)

n取不同的實(shí)數(shù)值對(duì)應(yīng)不同的相位差.將式(8)代入式(6)，整理得速度為v時(shí)等相位點(diǎn)滿足的方程

(9)

當(dāng)v=0時(shí)式(9)成為靜止介質(zhì)中等相位點(diǎn)滿足的方程：

(10)

由雙曲線的定義知，當(dāng)n確定且n≠0時(shí)，該式是關(guān)于x和y的雙曲線方程(n=0時(shí)為直線)，雙曲線的焦點(diǎn)為兩聲源的坐標(biāo)(±l,0)，不同的非零n對(duì)應(yīng)不同的雙曲線對(duì).由于有軸對(duì)稱性，等相差的點(diǎn)在空間中形成旋轉(zhuǎn)雙曲面.

當(dāng)vx=0而vy≠0時(shí)，式(9)成為

(11)

(12)

令

(13)

上式寫成

(14)

圖2　式(14)的圖像

當(dāng)vx≠0而vy=0時(shí)，式(9)成為

(15)

等號(hào)兩邊同除以v0,得

(16)

令

(17)

則上式寫成

(18)

圖3　式 (18)的圖像

當(dāng)vx≠0而vy≠0時(shí)，式(9)不再是雙曲線方程，但速度不太大時(shí)與雙曲線非常接近.

下面討論幾個(gè)特殊位置處的干涉情況.

令式(6)中x=0，有

(19)

vy=0且vx≠0時(shí)，有

(20)

可見與介質(zhì)靜止時(shí)不同，在x=0的平面上的相位差仍然是一常量，但一般不為零.

令式(6)中y=0，即在x軸上，此時(shí)分成3個(gè)區(qū)間分別討論如下.

1) 接收器在聲源A的左側(cè)，x<-l，則x+l<0，x-l<0.有

(21)

vx=0時(shí),

(22)

(23)

2) 接收器在聲源A、B的中間，-l0，x-l<0，有

(24)

vx=0時(shí),

(25)

(26)

3) 接收器在聲源B的右側(cè)，x>l，則x+l>0，x-l>0.

(27)

vx=0時(shí),

(28)

(29)

以上討論說明vx和vy的變化都會(huì)改變x軸或x=0平面上的相位差，現(xiàn)以vy=0且vx≠0時(shí)為例，說明vx對(duì)以上位置處干涉情況的影響.將式(8)代入式(23)，得

(30)

該式反映了在y=0且x<-l的區(qū)間內(nèi)的干涉情況與vx的關(guān)系.在該區(qū)間的遠(yuǎn)場(chǎng)處兩列波的振幅大致相等，干涉效果較明顯.聲波作為一種縱波，在該區(qū)間兩列波行進(jìn)方向和振動(dòng)方向都相同，其干涉規(guī)律跟橫波相同[2]，即n為偶數(shù)時(shí)干涉相長，n為奇數(shù)時(shí)干涉相消.隨著速度的變化，該區(qū)間內(nèi)干涉相長與干涉相消會(huì)交替出現(xiàn).在y=0且x>l的區(qū)間內(nèi)的相位差由式(29)決定，其分析跟上述類似.

將式(8)代入式(26)，得

(31)

該式反映了在y=0且-l

(32)

由于在該區(qū)間兩列波振動(dòng)方向相同但行進(jìn)方向相反，此時(shí)干涉規(guī)律與橫波相反[2]，即n為偶數(shù)時(shí)干涉相消，n為奇數(shù)時(shí)干涉相長.因此當(dāng)vx=0時(shí)，n=0，此時(shí)該點(diǎn)干涉相消，當(dāng)v增大時(shí)干涉相長與干涉相消會(huì)交替出現(xiàn).由式(20)知，在x=0的平面上相位差都相等，但在該平面的遠(yuǎn)場(chǎng)處兩列波行進(jìn)方向和振動(dòng)方向大致相同，干涉規(guī)律與橫波相同.由此可見，在同一等相位差的雙曲線(或雙曲面)上的不同位置處聲波的干涉情況不一定相同，這是縱波與橫波干涉的不同之處.

(33)

該式反映了在該區(qū)間內(nèi)不同的n所對(duì)應(yīng)的x隨vx變化的規(guī)律.例如n=0時(shí)，

(34)可見在該區(qū)間內(nèi)相位差為零的點(diǎn)的x坐標(biāo)正比于vx.

需要注意的是，干涉是質(zhì)元振動(dòng)位移的相加，各質(zhì)元平衡位置的位移不變，即使是在干涉相消的位置處質(zhì)元的速度也不為零.此外，相對(duì)于介質(zhì)靜止的情況，該問題除了干涉情況發(fā)生變化之外，質(zhì)元的振動(dòng)位矢也有所改變，本文未做詳細(xì)分析.根據(jù)干涉圖譜的變化情況可以計(jì)算出聲源與介質(zhì)的相對(duì)速度，利用這種方法可以測(cè)量流體的流速或物體運(yùn)動(dòng)速度.

[1]漆安慎，杜嬋英.力學(xué)[M].2版.北京：高等教育出版社，2009：366-367.

[2]劉義春.縱波干涉的規(guī)律及其應(yīng)用[J].物理通報(bào)，2000(9)：11-13.

Acoustic interference in uniform motion medium

LV Ling-jie

(College of physics and Electronics, Shandong Normal University, Jinan, Shandong 250358, China)

In the paper, we discuss the interference of two sound waves engendered by static sound sources in the uniform motion medium, calculate the time distance of the equiphase waves simultaneously engendered by the two sound sources to a point. It is multiplied by the pulsatance to obtain the phase difference, then we get the equation of equiphase point. Finally, we discuss the interferences in several special positions and illustrate related applications.

sound wave interference; moving medium; phase difference; longitudinal wave; velocity measurement

2015-05-05；

2015-07-31

呂令杰(1993—)，男，山東寧陽人，山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院2012級(jí)本科生.

O 422.5文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1000- 0712(2016)02- 0052- 04