兩二次曲線之間斜率關(guān)系結(jié)論發(fā)現(xiàn)的統(tǒng)一研究

趙臨龍

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兩二次曲線之間斜率關(guān)系結(jié)論發(fā)現(xiàn)的統(tǒng)一研究

趙臨龍

（安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，陜西安康 725000）

利用二次曲線的極點(diǎn)與極線關(guān)系，統(tǒng)一解決兩二次曲線之間有關(guān)斜率關(guān)系的結(jié)論，揭示二次曲線之間斜率關(guān)系的內(nèi)在本質(zhì).

二次曲線；極點(diǎn)；極線；斜率；關(guān)系；統(tǒng)一

1 問(wèn)題背景

吳建山在文[1]中，研究2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題江西省預(yù)賽試題，給出6個(gè)推廣性質(zhì).

試題[1]給定橢圓C：2/22/2=1(>>0)，⊙：2+2=2，自橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)P作⊙的2條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若直線MN在軸上的截距分別為，，證明：2/22/2=2/2.

性質(zhì)1[1]已知橢圓C1：2/2+2/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過(guò)C1上一點(diǎn)P作C2的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C1在點(diǎn)P處的切線斜率1與C2的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質(zhì)2[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和雙曲線C2：2/22/2=1(>>0)，過(guò)C2上一點(diǎn)P作C1的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C2在點(diǎn)P處的切線斜率1與C1的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足1+2=0.

性質(zhì)3[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和雙曲線C2：2/22/2=1(>>0)，過(guò)C1上一點(diǎn)P作C2的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C1在點(diǎn)P處的切線斜率1與C2的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足1+2=0.

性質(zhì)4[1]已知橢圓C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過(guò)C2上一點(diǎn)P作C1的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C1在點(diǎn)P處的切線斜率1與C2的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質(zhì)5[1]已知雙曲線C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過(guò)C1上一點(diǎn)P作C2的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C1在點(diǎn)P處的切線斜率1與C2的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足2122=0.

性質(zhì)6[1]已知雙曲線C1：2/22/2=1(>>0)和圓C2：2+2=2，過(guò)C2上一點(diǎn)P作C1的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則C1在點(diǎn)P處的切線斜率1與C2的切點(diǎn)弦MN的斜率2滿足2122=0.我們說(shuō)，射影幾何的優(yōu)勢(shì)就是統(tǒng)一認(rèn)識(shí)二次曲線的內(nèi)在本質(zhì).因此，我們可以借促射影幾何的二次曲線的“極點(diǎn)與極線”理論，統(tǒng)一來(lái)研究這些性質(zhì)，揭示其內(nèi)在本質(zhì).

2 理論準(zhǔn)備

定義[2]過(guò)點(diǎn)P引二次曲線Γ的直線PAB交Γ于A、B兩點(diǎn)，若直線PAB上一點(diǎn)Q滿足：

則點(diǎn)Q軌跡為點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線，點(diǎn)P為Γ的極點(diǎn).

特例，二次曲線切點(diǎn)P的極線為過(guò)切點(diǎn)P與Γ相切的直線.

定理 過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)引二次曲線Γ：

的直線PAB交Γ于A、B兩點(diǎn)，若直線PAB上一點(diǎn)Q(x，y)滿足(1)，則點(diǎn)Q軌跡為直線：

由（1）得：

于是，有結(jié)論（3）.定理獲證.

推論1 二次曲線Γ上的極點(diǎn)P(x0，y0)的極線方程是（3）.

證明：在方程（3）中，反過(guò)來(lái)將點(diǎn)Q(x，y)看作極點(diǎn)，則極點(diǎn)Q關(guān)于二次曲線Γ的極線過(guò)點(diǎn)P(x0，y0).

證明：如圖1. 對(duì)于兩極點(diǎn)P、Q，關(guān)于二次曲線Γ的極線分別是和，則和的交點(diǎn)R關(guān)于二次曲線Γ的極線分別過(guò)點(diǎn)P、Q，即直線PQ為極點(diǎn)R關(guān)于二次曲線Γ的極線.

推論4 過(guò)二次曲線Γ外一點(diǎn)P(x0，y0)引Γ的兩切線PA、PB(A、B分別為切點(diǎn))，則極點(diǎn)P的極線為AB，其極線方程形式為（3）.

證明：由于兩極點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)極線分別是PA和PB，則PA和PB的交點(diǎn)P關(guān)于Γ的極線為直線AB，其極線方程形式為（3）.

推論5 對(duì)于二次曲線Γ的極點(diǎn)P(0,0)的極線方程形式為：

3問(wèn)題研究

3.1 性質(zhì)的統(tǒng)一研究

性質(zhì)7 已知橢圓Γ1：（）和雙曲線Γ2：（），過(guò)Γ1（或Γ2）上一點(diǎn)P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則在點(diǎn)P處的切線斜率與切點(diǎn)弦MN的斜率滿足.特例：當(dāng)橢圓Γ1：（）退化為：時(shí)，.

特例當(dāng)橢圓Γ1：（）退化為：時(shí)，斜率（y0≠0）；對(duì)于雙曲線Γ2，斜率（y0≠0）.

顯然，當(dāng)y0= 0時(shí)，所得切線和切點(diǎn)弦均垂直于x軸，即k1和k2都不存在.因此，性質(zhì)7中的條件“y0≠0”不能省略.這是文[1]忽略的地方，現(xiàn)在作以彌補(bǔ).性質(zhì)7將文[1]中的性質(zhì)2、3、5、6統(tǒng)一起來(lái)。

性質(zhì)8 已知橢圓Γ1：（）和Γ2：，過(guò)Γ1（或Γ2）上一點(diǎn)P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則在點(diǎn)P處的切線斜率與切點(diǎn)弦MN的斜率滿足.

證明：對(duì)于橢圓Γ1，其極點(diǎn)P(x0，y0)（y0≠0）關(guān)于Γ1的極線（切線）方程為：，即斜率（y0≠0），極點(diǎn)P關(guān)于Γ2的極線（切點(diǎn)弦）方程為：（y0≠0）.于是；反之，對(duì)于圓Γ2，其極點(diǎn)P(x0，y0)（y0≠0）關(guān)于Γ2的極線（切線）方程為：（y0≠0），極點(diǎn)P關(guān)于Γ1的極線（切點(diǎn)弦）方程為：，即斜率（y0≠0）.于是，即結(jié)論成立.

同樣，性質(zhì)8中的條件“y0≠0”是對(duì)文[1]性質(zhì)1和4的彌補(bǔ)（即將文[1]中的性質(zhì)1、4統(tǒng)一起來(lái)），而且該結(jié)論與圓Γ2：的半徑無(wú)關(guān)，即是對(duì)于文[1]性質(zhì)1、4的推廣.

3.2 新結(jié)論研究

性質(zhì)9 已知拋物線Γ1：和橢圓Γ2：（），過(guò)Γ1（或Γ2）上一點(diǎn)P(x0，y0)（y0≠0）作另一條Γ2（或Γ1）的2條切線PM，PN（切點(diǎn)分別為M，N），則在點(diǎn)P處的切線斜率與切點(diǎn)弦MN的斜率滿足.其中，對(duì)于拋物線Γ1上的點(diǎn)滿足P(x0，y0)（），對(duì)于橢圓Γ2上的點(diǎn)P(x0，y0)滿足.

證明：由Γ1和Γ2得交點(diǎn)坐標(biāo)滿足：，則.

反之，考慮點(diǎn)P(x0，y0)（-a<）在橢圓Γ2：（）上，由于點(diǎn)P關(guān)于曲線Γ1和Γ2的極線方程沒(méi)有變化，即性質(zhì)9結(jié)論依然成立.

4 研究啟示

射影幾何作為研究幾何圖形點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系的重要學(xué)科，尤其對(duì)于二次曲線內(nèi)在性質(zhì)的統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí)，具有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用.

4.1 統(tǒng)一命題

本文將文[1]中二次曲線的6個(gè)性質(zhì)，統(tǒng)一為2個(gè)基本性質(zhì)，并且擴(kuò)充其內(nèi)容，使結(jié)論形成更加完整的統(tǒng)一體，幫組人們認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì).

4.2 發(fā)現(xiàn)結(jié)論

本文進(jìn)一步給出文[1]中二次曲線的拋物線相關(guān)性質(zhì)，顯示射影幾何在幾何發(fā)現(xiàn)中的獨(dú)特作用，利于全面認(rèn)識(shí)幾何問(wèn)題的內(nèi)在本質(zhì).

有關(guān)射影幾何的作用，還可參看筆者文獻(xiàn)[3-6].

[1] 吳建山.一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題的探究與發(fā)現(xiàn)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2014（3）：48-49.

[2] 周振榮，趙臨龍.高等幾何[M].華中師范大學(xué)出版社，2013.

[3] 趙臨龍，劉娟.射影幾何對(duì)偶原理的優(yōu)越性[J].重慶科技學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010（2）：176-177.

[4] 趙臨龍.前我國(guó)初數(shù)研究存在的三種不良傾向——兼談2003年北京市高考中的蝴蝶定理[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（3）：11-13.

[5] 趙臨龍.初等數(shù)學(xué)研究途徑：結(jié)構(gòu)是基礎(chǔ) 轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵——2012年高考數(shù)學(xué)北京理科第19題再探究[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（3）：11-13.

[6] 趙臨龍.一道幾何命題射影解法的啟示[J].重慶三峽學(xué)院學(xué)報(bào)，2015（3）：18-20.

（責(zé)任編輯：涂正文）

A Unified Study of the Findings of the Slope Relationships Between Two Conic Curves

ZHAO Linlong

By using the relationships between the poles and the pole lines of conic curves, the paper aims to give a unified conclusion to all the slope-relationship findings between two conic curves, as well as to reveal the intrinsic essence of the slope relationship.

conic curve; pole; pole line; slope; relationship; unification

O182

A

1009-8135（2016）03-0005-04

2016-01-06

趙臨龍（1960-），男，陜西西安人，安康學(xué)院三級(jí)教授，主要研究幾何學(xué).

陜西省特色專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目（2011－59），安康學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)項(xiàng)目（2013）階段性成果