常微分方程線性系統(tǒng)的一般理論與方程求解

馬軍，李長(zhǎng)江

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常微分方程線性系統(tǒng)的一般理論與方程求解

馬軍，李長(zhǎng)江

（河北民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，河北 承德 067000）

在常微分方程的全部?jī)?nèi)容中，線性系統(tǒng)部分占有特別重要的地位，這不僅因?yàn)槠渥陨淼睦碚撘驯谎芯康檬智宄?，同時(shí)線性系統(tǒng)又是討論非線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)．利用線性空間理論進(jìn)一步對(duì)常微分方程線性內(nèi)容及方程求解做一些分析和探究．

常微分方程；線性系統(tǒng)理論；常系數(shù)線性方程；求解

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)主要基礎(chǔ)課程，線性方程理論是該門(mén)課程的主要內(nèi)容．如果能把線性方程理論放到高等代數(shù)線性空間框架下去理解，那么線性微分方程理論實(shí)質(zhì)上是線性空間理論的一個(gè)具體應(yīng)用，這樣可以幫助學(xué)生更好地掌握線性方程與方程組通解結(jié)構(gòu)的內(nèi)涵，加深對(duì)不同分支數(shù)學(xué)理論統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí).

1高階線性微分方程與方程組的通解結(jié)構(gòu)

設(shè)高階線性微分方程

綜合所述，得到以下結(jié)論：

利用這一結(jié)論判斷方程（2）解函數(shù)的線性相關(guān)性非常方便，這種局部概括整體的思想在分析學(xué)中非常重要，必須熟練掌握．

關(guān)于線性微分方程組的通解結(jié)構(gòu)問(wèn)題，完全可以仿照上述思路，也就是引入函數(shù)矩陣和函數(shù)列向量后，若把函數(shù)向量當(dāng)做通常的函數(shù)看待，則線性方程組的結(jié)論與線性方程的結(jié)論完全類(lèi)似．即齊次線性微分方程組的全部解構(gòu)成一個(gè)維向量空間，其通解是基本解組的線性組合；非齊次線性微分方程組的通解等于對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解和它的一個(gè)特解的和，這個(gè)特解可以由對(duì)應(yīng)齊次方程組的通解用常數(shù)變易法求得.具體過(guò)程中同樣引入了函數(shù)列向量的線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)、Wtonsky行列式等概念并作出相應(yīng)類(lèi)似的討論.

需要說(shuō)明的是：（1）無(wú)論是線性微分方程還是線性微分方程組，都可以不考慮通解．通解這個(gè)古典概念對(duì)于線性系統(tǒng)的理論并沒(méi)有具體實(shí)際意義，既然已經(jīng)求得了線性微分方程或方程組的全部解，就沒(méi)必要糾纏通解問(wèn)題，也省略了驗(yàn)證繁雜的雅柯比行列式[2]．（2）常微分方程線性系統(tǒng)理論是數(shù)學(xué)理論中較為完整的理論，搞清線性方程及方程組解的結(jié)構(gòu)是對(duì)線性空間理論的一個(gè)很好復(fù)習(xí)與應(yīng)用．另外，教科書(shū)中的一些證明顯得過(guò)于繁瑣，利用高等代數(shù)相關(guān)知識(shí)[3]完全可以適當(dāng)簡(jiǎn)化，從而可以進(jìn)一步弄清事物的本質(zhì)．

2常系數(shù)線性微分方程及方程組的求解

常系數(shù)線性微分方程的求解問(wèn)題從理論上說(shuō)已經(jīng)得到根本解決，尤其是求齊次線性微分方程可以不需要積分，具體的方法為Euler待定指函數(shù)法．常系數(shù)線性方程的一般形式為

3線性微分方程與方程組的聯(lián)系

[1] 王高雄，周之銘．常微分方程[M]．3版．北京：高等教育出版社，2006：120-210

[2] 李長(zhǎng)江．線性微分方程學(xué)法淺議[J]．高等函授學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2006（5）：42-51

[3] 張禾瑞，郝鈵新．高等代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007：211-256

[4] 石瑞青，嚴(yán)曉紅，齊霄霏，等．微分方程全程導(dǎo)學(xué)及習(xí)題全解[M]．北京：中國(guó)時(shí)代經(jīng)濟(jì)出版社，2007：181-185

[5] 趙慈庚，朱鼎勛．大學(xué)數(shù)學(xué)自學(xué)指南[M]．北京：中國(guó)青年出版社，1984：71-79

[6] 丁崇文．常微分方程[M]．2版．廈門(mén)：廈門(mén)大學(xué)出版社，2006

The general theory of ordinary differential equation and solving equatio

MA Jun，LI Chang-jiang

（School of Mathematics and Computer Science，Hebei Normal University for Nationalities，Chengde 067000，China）

In all content of the ordinary differential equation，the part of linear system occupies an important position. It is not only because the theory itself has been researched clearly，but also linear system is the basis of nolinear system．Takes advantage of the linear space theory to analysis and research the ordinary differential equation and solving equation further.

ordinary differential equation；linear system theory；constant coefficient linear differential equation；solution

1007-9831（2016）07-0058-03

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.07.015

2016-04-06

馬軍（1964-），男，河北平泉人，副教授，碩士，從事常微分方程研究．E-mail：cdsz_lcj2006@sina.com