一類非線性振動系統(tǒng)的周期運動

余曉娟

（漢江師范學院 數(shù)學與財經(jīng)系, 湖北 十堰 442000）

一類非線性振動系統(tǒng)的周期運動

余曉娟

（漢江師范學院 數(shù)學與財經(jīng)系, 湖北 十堰 442000）

在非線性振動系統(tǒng)中，周期運動至關重要。該文研究了一類兩自由度非線性振動系統(tǒng)的周期運動，這個系統(tǒng)由兩個相互耦合的二階非線性微分方程表示，運用Liapunov函數(shù)方法和特殊技巧，得到了該類系統(tǒng)的周期解。

振動系統(tǒng)；周期運動；周期解

1　預備知識

在非線性振動系統(tǒng)中，周期運動具有非常重要的作用，但周期解的存在性問題一直都是研究的重點。

對于多自由度系統(tǒng)的周期解，在理論與應用上都有著十分重要的作用,文獻[1]研究了如下一類兩自由度系統(tǒng)的周期解：

其中a1，a2，b1，b2是大于0的常數(shù)，f1，f2是關于x，y，sint，cost的連續(xù)函數(shù)。

本文在此基礎上，研究比較復雜的一類兩自由度非線性系統(tǒng)，它由兩個相互耦合的二階非線性微分方程組成：

系統(tǒng)（1）能夠描述許多的物理現(xiàn)象，廣泛存在于動力機械、彈性結(jié)構(gòu)的動力屈曲、航空航天設備（火箭或繩系衛(wèi)星）、船舶在海洋中的航行、流固耦合系統(tǒng)等工程實際問題中，在理論與應用方面都有很重要的地位和作用[1-5]。

2　周期解

將二階方程組（1）轉(zhuǎn)化為等價的一階微分方程組：

對其中一些項作處理，設

為方便，我們設

定理設系統(tǒng)（2）滿足下列條件：

（i）系數(shù)矩陣（3）的特征方程的特征根λi均有負實部，即

其中 δ是一個正常數(shù)；

證明為書寫簡捷方便，我們將a(t), b(t), c(t), d(t) 分別用a, b, c, d表示，則系數(shù)矩陣（3）的廣義特征方程為：

特征矩陣（3）的所有特征根λi(t)具有負實部，即Re λi≤- δ < 0（i=1, 2, 3,4）。δ是一個正常數(shù)，于是有

我們構(gòu)造Liapunov 函數(shù)為：

其中B=min(6δ2,1),故V是正定的。a(t), b(t), c(t), a(t)是正有界的，界為M>1。

類似地，我們有

于是，V有一個無窮小上界。

沿系統(tǒng)（2）對V求全導數(shù)，得到

則系統(tǒng)（2）的解是一致最終有界的，其有界域為：

因此，系統(tǒng)（2）至少存在一個周期為ω的周期解。本結(jié)果推廣了文獻[1,6]的相關結(jié)果。

[1] 劉俊. 一類周期系統(tǒng)的周期解[J]. 四川師范大學學報（自然科學版），1999（3）：289-294.

[2] Liang Zai-Zhong . A study of the construction of Liapunov function for a class of fourth order nonlinear systems[J].Appl. Math.and Mech.(English Ed), 1995(2):195-202.

[3] Hara T. Onthe uniform ultimateboundedness of the solutions of certain third order differential equations[J]. J. Math.Anal.Appl., 1981(5): 533-544.

[4] Liu Jun, Luo Hongying, Liu Xi. Oscillation Criteria for Half-Linear Functional Differential Equation with Damping[J]. Thermal Science, 2014(5):1537-1542.

[5] Luo Hongying, Liu Jun, Liu Xi, Zhu Chunyan. Oscillation Behavior of a Class of New Generallzed Emden-Fowler Equations[J]. Thermal Science, 2014(5): 1559-1564.

[6] Ji Jinchen，Chen Yushu. Bifurcation in a Parametrically Excited Two-Degree-of Freedom Nonlinear Oscillating System with 1:2 Internal Resonance[J]. Applied mathematics and mechanics, 1999(4)：350-359.

Periodic Motion of a Class of Nonlinear Oscillating Systems

YU Xiaojuan
(School of Mathematics and Finance, Hanjiang Normal University, Shiyan Hubei 442000, China)

In the system of nonlinear oscillating, periodic motion is of prime importance. The paper studies the periodic motion for a class of two-degree-of-freedom nonlinear oscillating systems. This model can be expressed by two mutual coupling second-order nonlinear differential equations. By using the method of Liapunov function and special techniques, periodic solution to the system are obtained.

oscillation system; periodic motion; periodic solution

O175.14

A

1674 - 9200（2016）03 - 0039 - 03

（責任編輯劉常福）

2016 - 03 - 16

國家自然科學基金項目“非線性波的時空復雜性研究”（11361048）。

余曉娟，女，湖北十堰人，漢江師范學院數(shù)學與財經(jīng)系講師，碩士，主要從事函數(shù)論、微分方程、數(shù)學教育研究。