一類常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的求法

周志穎

（荊州理工職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖北 荊州 434000）

一類常系數(shù)非齊次線性微分方程特解的求法

周志穎

（荊州理工職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖北 荊州 434000）

針對(duì)n階常系數(shù)非齊次線性微分方程運(yùn)用特征函數(shù)導(dǎo)數(shù)法和比較系數(shù)法，得到了方程的一個(gè)公式化特解，簡(jiǎn)單易行。

n階常系數(shù)非齊次線性微分方程；特征根；特解

近年來(lái)，微分方程在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用越來(lái)越廣泛，微分方程理論的研究也引起國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。線性微分方程的解作為微分方程的基礎(chǔ)，梁樹生等[1-5]對(duì)其解的結(jié)構(gòu)以及求解方法進(jìn)行了詳盡的描述。龔東山等[6]介紹了n階常系數(shù)非齊次線性微分方程

特解的求法，本文將介紹n階常系數(shù)非齊次線性微分方程

1　預(yù)備知識(shí)

n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2）對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為

若r為方程（3）的根，由[4]可得如下定義：

定義1：稱

為方程（3）的特征方程。稱

為方程（2）的特征函數(shù)。

由導(dǎo)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)[7]可得：

其中u(x)和v(x)均為x的n次可微函數(shù)。

2　主要定理

定理：n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2）存在特解：

其中k(k=0, 1, …n)表示λ+iω（或λ-iω）為特征方程（4）的根的重?cái)?shù)。

證明：n階常系數(shù)非齊次線性微分方程（2）可表示為指數(shù)形式[3]129-130：

互為共軛。

由非齊次線性微分方程的疊加原理[3]112：

的解之和必為方程（8）的解。

現(xiàn)求方程（9）的特解。將Pl(x)與Pm(x)代入方程（9）得：

假定方程（11）有特解：

①當(dāng)λ+iω不是方程（4）的特征根時(shí)，有F( j)(λ+iω) ≠0（j=0, 1,…n），通過(guò)觀察及比較方程（12）等式兩邊系數(shù)，可得到：

②當(dāng)λ+iω是方程（4）的k重特征根時(shí)，有

F (λ+iω)=F′(λ+iω)=…F(k-1)(λ+iω)=0，F(xiàn)(k)(λ+iω) 10，將 F( j)(λ+iω)（j=0, 1,…n）帶入方程（12），得：

比較方程（13）等式兩邊系數(shù)，可得：

綜合①、②可得方程（9）的特解為：

其中k表示λ+iω（或λ-iω）為方程（4）的k重特征根。

其中k表示λ+iω（或λ-iω）為方程（4）的k重特征根。

由非齊次線性微分方程的疊加原理[3]112可得，方程（8）的特解為:

由復(fù)數(shù)的相關(guān)性質(zhì)[8]可得：

其中k表示λ+iω（或λ-iω）為方程（4）的k重特征根。證畢。

3　實(shí)例

例1求微分方程y′-2y′+5y=exsin2x的特解。

解：由題意可知λ=1，ω=2，l=0， m=0，又微分方程的特征根為r1=1+2i、r2=1-2i，所以λ+iω=2+2i是特征方程的單根，即k=1，由定理可得方程的特解為：

例2求微分方程y′′′-y=cosx的特解。

解：由題意可知λ=0，ω=1，l=0， m=0，又微分方程的特征根為，所以λ+iω=i不是特征方程的根，即k=0，由定理可得方程的特解為：

[1] 梁樹生．高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2010：137-169.

[2] 阮炯.常微分方程方法導(dǎo)引[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1991：2-14.

[3] 王高雄，周之銘，朱思銘，等．常微分方程[M].2版.北京：高等教育出版社，1983.

[4] 孫清華，李金蘭，孫昊．常微分方程內(nèi)容、方法與技巧[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2006：137-215.

[5] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系．?dāng)?shù)學(xué)分析（下冊(cè)）[M].3版.北京：高等教育出版社，2002.

[6] 龔東山，劉岳?。活惓Ｏ禂?shù)線性微分方程特解的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2010（4）：58-60.

[7] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].5版.北京：高等教育出版社，2002：76-124.

[8] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)[M].第二版.北京：高等教育出版社，2001：3-16.

A Particular Solution to the Kind of Non-homogeneous Linear Differential Equations with Constant Coeffi cients

ZHOU Zhiying
(Department of Basic Courses, Jingzhou Vocational and Technical College, Jingzhou Hubei 434000, China)

The eigenfunction derivative method and comparison coeffi cient method can be applied to the n-order non-homogeneous linear differential equation with constant coeffi cients, y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y′+pny=eλx(p1(x)cosωx+ pm(x)sinωx), and a formulable specifi c solution is obtained, which is simple and easy.

the n-order non-homogeneous linear differential equation with constant coeffi cients; characteristic root; a specifi c solution.

O175

A

1674 - 9200（2016）03 - 0036 - 03

（責(zé)任編輯劉常福）

2015 - 10 - 18

周志穎，男，湖北天門人，荊州理工職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)課部講師，碩士，主要從事數(shù)學(xué)教育研究。