初始狀態(tài)不確定的非線性過程系統(tǒng)狀態(tài)估計的魯棒粒子濾波方法

曹婷婷，張正江，鄭崇偉

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初始狀態(tài)不確定的非線性過程系統(tǒng)狀態(tài)估計的魯棒粒子濾波方法

曹婷婷，張正江，鄭崇偉

(溫州大學物理與電子信息工程學院，浙江 溫州 325035)

在過程系統(tǒng)的控制與故障檢測等方面，狀態(tài)估計發(fā)揮著重要作用。針對非線性過程系統(tǒng)狀態(tài)估計過程中初始狀態(tài)不確定性問題，提出一種魯棒粒子濾波方法。該方法首先引入初始狀態(tài)準確性間接判定準則，根據(jù)判定的結果來選擇是否進行基于觀測偏差反饋機制的初始狀態(tài)迭代改進。初始值準確性較差時，可以通過初始狀態(tài)迭代改進策略使最終的初始粒子更接近真實的初始狀態(tài)，從而增加產(chǎn)生初始粒子的正確性概率，通過粒子濾波迭代得到更準確的狀態(tài)估計結果。將提出的魯棒粒子濾波方法與傳統(tǒng)粒子濾波方法應用于兩個非線性動態(tài)系統(tǒng)實例中，結果驗證了所提出方法的有效性與魯棒性。

非線性過程系統(tǒng)；初始狀態(tài)；狀態(tài)估計；魯棒粒子濾波方法

引 言

狀態(tài)估計在工業(yè)過程的控制與故障檢測等方面發(fā)揮著重要作用。從貝葉斯的觀點來看，狀態(tài)估計的目的是根據(jù)過程的測量信息來推斷狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)。當過程模型可以用狀態(tài)方程和觀測方程表示時，貝葉斯方法提供了一種通過狀態(tài)轉換方程和當前測量更新估計來預測狀態(tài)的解決方案。眾所周知，在線性高斯過程系統(tǒng)中，最常用的狀態(tài)估計方法是卡爾曼濾波。而在非線性過程系統(tǒng)，盡管可以采用擴展卡爾曼濾波來進行狀態(tài)估計，但這種方法的穩(wěn)定性、精確度等一般很難滿足實際非線性較強的系統(tǒng)要求。

在非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計方面，粒子濾波（particle filter，PF）獲得了廣泛的關注，其基本思想是應用Monte Carlo方法產(chǎn)生大量隨機樣本（粒子）去近似狀態(tài)的后驗分布從而實現(xiàn)狀態(tài)估計。這種方法能應用于線性與非線性狀態(tài)空間模型。眾多學者在PF的原理及應用方面做了大量研究。在PF原理綜述方面，Arulampalam等[1]對不同的PF算法進行總結與應用分析；楊小軍等[2]對PF的原理、收斂性及應用等方面進行了介紹。針對PF存在的不同問題，學者們相繼提出了很多改進的解決方法。如李良群等[3]提出一種迭代擴展卡爾曼PF方法；馮馳等[4]在PF的重新采樣過程中引入有效樣本數(shù)并設定重采樣閾值；肖延國等[5]提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡改進型無跡PF方法； Maiz等[6]針對時序測量數(shù)據(jù)包含壞值情況下提出了一種PF改進策略；Yin等[7]提出了一種基于遺傳算子策略的智能PF方法。在PF的應用方面，Chen等將PF應用于過程系統(tǒng)的參數(shù)估計[8]及動態(tài)數(shù)據(jù)校正問題[9]上；湯儀平等[10]將PF應用于高濃度染料色澤軟測量模型辨識上；趙眾等[11]將PF應用于氣相聚乙烯質量指標在線估計上；López-Negrete等[12]將PF方法應用于滾動時域狀態(tài)估計上；Zhang等[13]基于數(shù)據(jù)校正和顯著誤差檢測提出了一種用于魯棒數(shù)據(jù)校正的PF方法；Zhao等[14]針對非線性過程狀態(tài)估計提出了考慮上下界約束情況下的PF方法；Cui等[15]將PF方法應用于動態(tài)估計同步發(fā)電機的內(nèi)部狀態(tài)；Zadakbar等[16]將PF方法應用于非線性非高斯系統(tǒng)的動態(tài)風險評估。Alrowaie等[17]將PF方法應用于非線性非高斯系統(tǒng)基于模型的故障診斷。近年來，PF方法被廣泛地應用于目標跟蹤問題上[18-19]。

PF能夠較好地解決非線性系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題。然而，現(xiàn)有的PF方法在進行狀態(tài)估計時一般假設初始狀態(tài)是已知且準確的。在實際工業(yè)過程中，初始狀態(tài)一般是未知的。通過估計得到初始狀態(tài)存在誤差。狀態(tài)的初始值取得不合適會導致不準確的狀態(tài)估計結果[14]。本文針對非線性過程系統(tǒng)狀態(tài)估計過程中初始狀態(tài)不確定性問題，提出一種魯棒粒子濾波方法，并將魯棒粒子濾波方法與傳統(tǒng)的粒子濾波方法應用于兩個非線性動態(tài)系統(tǒng)實例中進行比較分析。

1 狀態(tài)估計中的PF方法

動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題一般可通過貝葉斯框架進行描述。本節(jié)首先介紹貝葉斯框架下描述的狀態(tài)估計問題，然后對傳統(tǒng)PF進行介紹，最后通過實例分析初始狀態(tài)對PF影響。

1.1 貝葉斯描述的狀態(tài)空間估計

考慮一般的非線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型如下

從貝葉斯估計的觀點來看，狀態(tài)估計的目的是從給定的測量序列推斷狀態(tài)的概率密度函數(shù)。假設初始條件，概率分布函數(shù)是有效的，通過預測方程式(3)和更新方程式（4）來獲取[20]

1.2 傳統(tǒng)PF方法

PF是一種從非線性狀態(tài)空間模型中連續(xù)地估計系統(tǒng)狀態(tài)的統(tǒng)計工具，是一種典型的Monte Carlo方法。給定測量向量可推斷出狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)。PF的基本思想是應用一組隨機樣本（粒子）和相應的權重值近似分布

其中，權重值之和為1，為產(chǎn)生粒子的個數(shù)，是一個指標函數(shù)，如果，其值為1，反之為0。因此，關鍵步驟是從中產(chǎn)生粒子。由于不是一個傳統(tǒng)的概率密度函數(shù)，無法實現(xiàn)直接抽樣，因此必須采用重要性抽樣（importance sampling）獲得粒子和相應的權重值。重要性抽樣首先要選擇重要性密度函數(shù)，然后從這個重要性密度函數(shù)（一般為標準的高斯分布函數(shù)）進行粒子的抽樣。定義粒子對應的權重值為

如果采用當前的粒子分布代表當前狀態(tài)的分布，隨著PF迭代的進行，具有大權重值的粒子對狀態(tài)分布將起決定性作用，這就導致抽樣過程出現(xiàn)退化（degeneration）現(xiàn)象，也即粒子多樣性的減少。因此PF要通過重抽樣（re-sample）階段來避免PF退化現(xiàn)象。重抽樣階段將根據(jù)權重值大小來重新選擇粒子，設重抽樣后的粒子為，則對應的權重值均設為等權重值，即

基于重抽樣后的粒子及其權重值，狀態(tài)變量的估計值可通過式（10）進行計算。觀測變量的校正值則可表示為

1.3 初始狀態(tài)對PF影響的實例

現(xiàn)有的PF方法研究中，一般假設狀態(tài)的初始值是已知而且準確的，然而實際工業(yè)過程狀態(tài)的初始值一般是未知的或有誤差的。初始狀態(tài)不準確將會導致狀態(tài)估計的不準確。下面以一個實例來說明初始狀態(tài)不準確對狀態(tài)估計結果的影響。

考慮一組非線性狀態(tài)方法和觀測方程

其中，是過程的狀態(tài)變量，是過程的觀測變量。過程噪聲和觀測噪聲都服從高斯分布，。這組非線性方程的真實初始值及總迭代次數(shù)分別為：0，20。

圖1 初始狀態(tài)不準確時傳統(tǒng)PF狀態(tài)估計結果

2 魯棒PF方法

在實際狀態(tài)估計問題中初始狀態(tài)是未知或不準確的。初始狀態(tài)不確定性會導致狀態(tài)跟蹤不準確或精度降低。本文提出的一種魯棒PF方法將有效地解決以上問題。

根據(jù)初始狀態(tài)判定的結果來選擇PF的初始粒子產(chǎn)生機制。如果接受，則PF的初始狀態(tài)準確，采用傳統(tǒng)PF來產(chǎn)生初始狀態(tài)，即用式（9）來產(chǎn)生PF粒子。

因此，魯棒PF方法采用式(18)產(chǎn)生狀態(tài)的初始粒子以增加產(chǎn)生初始粒子的正確性概率。

產(chǎn)生狀態(tài)的初始粒子后，繼續(xù)用PF進行狀態(tài)估計并判斷是否接受。如果不接受，則采用式（17）、式（18）繼續(xù)迭代更新狀態(tài)的初始粒子。如此迭代改進，直到接受。

綜上所述，魯棒PF方法的流程框圖可表示如圖2所示。首先根據(jù)給定的初始狀態(tài)，采用觀測變量的測量值與校正值之差來間接進行初始狀態(tài)準確性判定（measurement test）。如果判定初始狀態(tài)準確，則采用式（9）來產(chǎn)生PF粒子，并用PF進行狀態(tài)估計。否則，采用基于觀測偏差反饋機制的初始狀態(tài)迭代改進策略來產(chǎn)生狀態(tài)的初始粒子并進行狀態(tài)估計。

圖2 魯棒PF方法的流程框圖

在下一節(jié)傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法狀態(tài)估計結果比較過程中，衡量估計狀態(tài)與真實狀態(tài)的接近程度將涉及觀測變量的校正值與測量值之間的根均方誤差（RMSE）。根均方誤差值越小則表明校正值與測量值越接近，從而間接表明估計狀態(tài)與真實狀態(tài)越接近。RMSE的計算式為

其中，為總的時間步長，即PF的總迭代次數(shù)。

3 實例研究

本節(jié)通過兩個典型的實例來驗證所提出的魯棒PF方法的有效性。傳統(tǒng)PF方法的估計結果用于對比分析。所有的PF方法將選用200個粒子并且迭代20次（20）。

3.1 典型的非線性動態(tài)系統(tǒng)

考慮非線性動態(tài)系統(tǒng)如1.3節(jié)所述，該例子作為非線性動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)估計的測試范例已應用于多篇文獻中[9,13]。

圖3 非線性動態(tài)系統(tǒng)中傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法的狀態(tài)估計曲線比較

魯棒PF方法與傳統(tǒng)PF方法的RMSE分別為0.7959和2.3156，結果間接表明魯棒PF方法估計狀態(tài)與真實狀態(tài)更接近。圖4為兩種PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布情況。藍色分布圖為傳統(tǒng)PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布圖，綠色分布圖為魯棒PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布圖。由圖可知，魯棒PF方法產(chǎn)生的初始粒子正確性概率更高。

圖4 非線性動態(tài)系統(tǒng)中傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法產(chǎn)生初始粒子的分布情況

3.2 pH中和反應過程系統(tǒng)

pH中和反應過程系統(tǒng)如圖5所示。該實例曾在文獻[8]中用于測試狀態(tài)估計與參數(shù)估計問題。在該過程系統(tǒng)中，pH中和反應連續(xù)地發(fā)生于攪拌釜反應器中，反應器有兩個輸入流，包括濃度為流速為的乙酸以及濃度為流速為的氫氧化鈉。這個反應過程的數(shù)學模型為

圖5 pH中和反應的攪拌釜反應器

表1 pH中和反應過程模擬中使用的物理參數(shù)

在模擬過程中，過程噪聲服從零均值對角協(xié)方差矩陣為diag(1.0×10-3,1.0×10-3)的高斯分布。觀測噪聲服從零均值標準差為0.2的高斯分布，真實的初始狀態(tài)為（,）（0.0432 mol·L-1，0.0432 mol·L-1）。

圖6 pH中和反應過程系統(tǒng)傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法的狀態(tài)估計曲線比較

魯棒PF方法與傳統(tǒng)PF方法的RMSE分別為0.4176和0.7699。結果間接表明魯棒PF方法估計狀態(tài)與真實狀態(tài)更接近。圖7為兩種PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布情況。藍色分布圖為傳統(tǒng)PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布圖，綠色分布圖為魯棒PF方法產(chǎn)生的初始粒子分布圖。由圖7可知，魯棒PF方法產(chǎn)生的初始粒子更接近于真實的初始狀態(tài)。

圖7 pH中和反應過程系統(tǒng)傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法產(chǎn)生初始粒子的分布情況

在以上兩個實例中，通過狀態(tài)估計曲線、RMSE及產(chǎn)生初始粒子分布情況等方面的綜合比較，結果表明魯棒PF方法在初始狀態(tài)魯棒性方面明顯優(yōu)于傳統(tǒng)PF方法。

4 結 論

論文提出了魯棒PF方法，針對初始狀態(tài)不確定性問題，引入初始狀態(tài)準確性間接判定準則，根據(jù)判定的結果來選擇是否進行初始狀態(tài)改進。初始值準確性較差時，魯棒PF方法可以通過初始狀態(tài)迭代改進策略使最終的初始粒子更接近真實值，從而增加產(chǎn)生PF初始粒子的正確性概率。在給定的初始狀態(tài)不準確情況下，將傳統(tǒng)PF方法與魯棒PF方法應用于兩個典型非線性動態(tài)系統(tǒng)實例中，通過狀態(tài)估計曲線、RMSE及產(chǎn)生初始粒子分布情況的綜合比較驗證了魯棒PF方法的有效性與魯棒性。

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A robust particle filter for estimating states in nonlinear process systems with uncertain initial states

CAO Tingting, ZHANG Zhengjiang, ZHENG Chongwei

(College of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou 325035, Zhejiang, China)

State estimation is critical for both process control and fault detection. A robust particle filter was proposed to estimate states in nonlinear process systems with uncertainty of initial states, which an indirect acceptance criterion was introduced to determine accuracy of the initial states and then to decide the needs for iterative improvement on the initial states by the feedback mechanism of observation bias. In case that the initial states were inaccurate, the iterative improvement strategy would be triggered to adjust particles closer to the true initial states. Therefore, the probability of setting the correct initial states to particles was increased and the accuracy of state estimation was improved through particle filter iteration. When applied to two nonlinear dynamic systems, the proposed particle filter demonstrated much more effectiveness and robustness than the traditional particle filter.

nonlinear process system; initial states; state estimation; robust particle filter

supported by the National Natural Science Foundation of China (61374167), the Natural Science Foundation of Zhejiang Province (LQ14F030006) and the Science and Technology Planning Project of Zhejiang Province (2015C31157, 2014C31074, 2014C31093).

date: 2015-09-11.

ZHANG Zhengjiang, zjzhang@wzu.edu.cn

TQ 021.8

A

0438—1157（2016）09—3826—07

10.11949/j.issn.0438-1157.20151440

國家自然科學基金項目（61374167）；浙江省自然科學基金項目（LQ14F030006）；浙江省科技計劃項目（2015C31157，2014C31074，2014C31093）。

2015-09-11收到初稿，2016-05-04收到修改稿。

聯(lián)系人：張正江。第一作者：曹婷婷（1990—），女，碩士研究生。