TheoH方差在光學陀螺隨機誤差分析中的應用

李 明，張 黎

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TheoH方差在光學陀螺隨機誤差分析中的應用

李 明，張 黎

( 東北林業(yè)大學 機電工程學院，哈爾濱 150040 )

針對用Allan方差方法進行隨機誤差分析時平均時間只能達到數據長度的一半，以致長相關時間下估計值的置信度較低的問題，本文提出運用高置信度的混合理論方差(TheoH方差)對光學陀螺進行分析。該方法結合光學陀螺的信號特征，通過改變混合點位置對偏差補償函數進行改進，提高了估計準確度。運用多種方差估計算法對仿真信號以及光學陀螺實測數據進行分析。實驗結果表明，TheoH方差辨識結果和實際的冪律譜噪聲特性一致，且具有比Allan方差更高的估計精度。

光纖元件；光學陀螺；隨機誤差；TheoH方差；Allan方差

0 引 言

光學陀螺的性能指標主要包括：零偏與零偏穩(wěn)定性、角隨機游走系數、標度因數、動態(tài)測量范圍、帶寬、啟動時間、預熱時間等。其中零偏不穩(wěn)定性、角度隨機游走系數和標度因數是評價光學陀螺性能的關鍵性指標，它直接決定了光學陀螺的應用領域和精度等級，代表了陀螺研制生產單位的技術水平。Allan方差是一種從時域數據中分析振蕩器頻率穩(wěn)定性的方法，能夠對光學陀螺輸出角速率中存在的各個噪聲項(包含零偏不穩(wěn)定性和角度隨機游走)和整個噪聲系統(tǒng)進行細致的表征和辨識[1]。

然而運用Allan方差進行噪聲信號處理時，其平均時間只能達到數據總時間長度的一半，在長相關時間下，由于估計實際自由度的降低，導致估計值的置信度較差。針對傳統(tǒng)Allan方差的不足，學者們提出了很多改進算法。文獻[2]運用重疊Allan方差(Overlapping Allan Variance)對慣性傳感器的隨機誤差進行分析，通過重疊采樣形成所有可能的相關時間為的子序列，來最大限度的利用現(xiàn)有數據估計Allan方差，但該方法的相關時間依然只能是總時間長度的一半。文獻[3]運用總方差法對光纖陀螺的隨機誤差特性進行了分析，該方法雖然增加了方差估計的自由度，但延伸后的數據并不能反映信號的真實情況[4]。Theo1(Theoretical Variance #1，也稱#1理論方差)方差是模仿Allan方差的較新的統(tǒng)計方法，其相關時間可以達到3/4(為信號總持續(xù)時間)，具有更好的置信度，但Theo1方差是對Allan方差的有偏估計，因此需要對其做偏差修正[5]。文獻[6]將Theo1方差用于光學陀螺長相關時間下隨機誤差分析，提取出了更多的陀螺噪聲信息。TheoH方差是去除了Theo1方差與Allan方差之間偏差，再與Allan方差在不同相關時間上合成的較新的統(tǒng)計方法，尤其適合相關時間較長和多種噪聲混合存在的情況，可以從相同的數據序列中最大程度獲得統(tǒng)計信息[7]。文獻[8]運用TheoH方差對光學陀螺的隨機誤差進行了分析，取得了較好的效果，不過該方法在短相關時間用經典Allan方差混合來繪制雙對數曲線，如果換成交疊Allan方差的話，應該可以進一步提高隨機誤差系數估計值的置信度[9]。

在文獻[8]的基礎上，本文在TheoH方差的雙對數曲線繪制過程中，用交疊Allan方差代替Allan方差進行混合，提高了中、短相關時間下參數的估計置信度；同時通過調整去除偏離函數中交接時間點的位置，使雙對數曲線更加平滑，便于使用最小二乘法進行參數擬合。將改進方法用于仿真信號和對陀螺實測數據的分析，結果表明該方法在中、短相關時間下具有和交疊Allan方差相同的估計置信度，而且在長相關時間下能獲得更多的隨機誤差信息，提高了光學陀螺隨機誤差的估計準確度。

1 Allan方差與TheoH方差原理

1.1 Allan方差和交疊Allan方差

Allan方差是一種時域分析技術，本質是將光學陀螺輸出的隨機誤差信號輸入到帶通參數(也稱相關時間)的Allan方差濾波器，得到一組濾波輸出，進而辨識和細化出較多的誤差源。大量試驗數據表明，不同的隨機誤差項將出現(xiàn)在不同的相關時間區(qū)域[8]。Allan方差的估計是基于有限長度數據，其估計的可信度完全依賴于數據的獨立組數[6]。對于獨立組數為的序列，代表Allan方差估計的實際自由度，對于隨機信號來說，估計值的可信度隨的增加而提高，Allan方差估計值的百分比誤差為

為提高Allan方差的估計置信度，學者們又提出了交疊Allan方差，其采樣示意圖如圖1。該方法除進行重疊采樣外與Allan方差計算方法完全一樣，可以有效提高Allan方差在短相關時間下的估計置信度，但由于其最大相關時間也為，所以在長相關時間下的估計置信度仍然不高。

1.2 Theo1方差和原理

Theo1方差是美國國家標準局(NIST)推薦的的一種新的方差分析方法，它具有和Allan方差相似的統(tǒng)計特性，但是在估計長相關時間下振蕩器穩(wěn)定性方面具有顯著的優(yōu)點，首先是計算的相關時間能達到數據總時間長度的75%，其次是具有更高的估計置信度，而且可以辨識出更多種類的噪聲[10]。相比較于Allan方差，Theo1是一種估計性能提高了的方差分析方法，對于時間序列，采樣間隔為，總時間為，Theo1方差采取了二次采樣方法，就是在采樣時間內，，為偶數，方差計算的采樣時間步幅變?yōu)?，再次進行采樣。Theo1方差有兩個采樣時間，一個是，一個是，相對應于Allan方差的定義，Theo1方差的定義為

但是由于Theo1采用完全不同的數據采樣方法，所以相對Allan方差是有偏的，因此需要對其做偏差修正。TheoBR(Bias-Removed version of Theo1，用表示)就是自動補償Theo1與交疊Allan方差之間偏差后得到的方差計算函數。即：

為更準確的對隨機誤差進行估計，TheoH方差采用了一種混合統(tǒng)計的方式：

圖3 交疊Allan方差與TheoBR方差組合過程

但是該算法在對光學陀螺進行分析時，會出現(xiàn)融合點重疊的問題，因此經過反復試驗，本文提出將該算法的值變?yōu)闂l件下的最大值，這樣能夠使融合曲線更為平滑，更易于利用最小二乘法進行辨識，更適合光學陀螺的特點。相對于Allan方差，Theo1和TheoH理論方差估計置信度更高[5-8]。

2 仿真與實驗研究

類似于Allan方差，TheoH方差能夠很好地給出原子鐘的頻率穩(wěn)定性。更為一般地，對于光學陀螺中的各種噪聲，TheoH方差可以通過分析雙對數圖中對應的曲線斜率檢驗噪聲類型以及辨識噪聲參數。光學陀螺的隨機誤差源主要包括角度隨機游走、偏置不穩(wěn)定性、速率隨機游走、速率斜坡、量化噪聲，以及指數相關(Markov過程)噪聲等[11]。這些隨機噪聲過程都可以用冪律譜模型來表征。因此，如果TheoH方差的分析對象是光學陀螺的角度信號或者角速度信號，TheoH方差分析方法完全可以替代Allan方差用于光學陀螺的隨機誤差特性分析，文獻[6]和[8]證明了該推論。

2.1 仿真試驗研究

光學陀螺中的隨機噪聲服從冪律譜噪聲特性，通過改變與白噪聲方差(或標準差)相關的參數，可以得到方差時變的各種冪律譜噪聲[6]。文獻[12]用一階馬爾可夫過程來模擬零偏不穩(wěn)定性，用高斯白噪聲驅動的數學模型來模擬其它噪聲，作為光學陀螺仿真數學模型。本文借鑒該數學模型，采樣頻率為10 Hz，采樣時間1200 s，仿真信號如圖4。圖中白色部分為零偏不穩(wěn)定性，黑色部分為其它噪聲項。本文重點只對零偏不穩(wěn)定性進行提取是因為零偏不穩(wěn)定是評價光學陀螺性能的重要指標，也是補償算法和濾波算法中經常要用到的參數，因此本文著重考察多種算法在提取零偏不穩(wěn)定性方面的表現(xiàn)。而評價光學陀螺的另一個指標——角度隨機游走，是短相關時間下可以提取到的隨機誤差系數，用TheoH方差和Allan方差提取的結果相差不大，因此沒有進行仿真。

圖5是分別運用Allan方差、Theo1方差和TheoH方差對仿真信號進行分析的雙對數曲線圖，橫軸為平均時間(或相關時間)，縱軸為標準差(Deviation，即方差的開平方)。從圖中可以看出，當平均因子較小(即相關時間較短)時，傳統(tǒng)Allan方差和TheoH方差幾乎完全相等，但是在大的平均因子的情況下，由于傳統(tǒng)Allan方差估計的自由度很小，估計值波動較大，尤其是在接近測量數據總持續(xù)時間的一半()時，Allan方差估計值波動非常劇烈，這是因為從對應的自由度來看，當時，Allan方差僅有一個自由度，而TheoH方差有2.1～6個自由度的原因[7]。圖中還可以看到TheoH方差和Theo1方差的相關時間可以達到900 s左右且依然保持穩(wěn)定，而Allan方差不到400 s就開始劇烈波動了。而且Theo1方差法在長相關時間下，由于沒有得到有效補償相對Allan方差發(fā)生了偏離，只有TheoH方差即通過改變采樣步長進行二次采樣的方法將相關時間提高到了，又對算法造成的偏離進行了自動補償，為準確的辨識出陀螺的噪聲系數提供了保障。

圖6是文獻[8]提出的Allan方差與TheoBR混合得到的TheoH方差(Hybrid of Allan and TheoBRVariance)，本文提出的交疊Allan方差與TheoBR混合得到的TheoH方差(Hybrid of Overlapping Allan and TheoBR Variance)和去除交接點跳變的改進的TheoH方差(Improvement TheoH Variance)三種方法的比較圖?？梢钥吹礁倪M前不管是Allan方差還是重疊Allan方差同TheoBR方差并沒有完全融合在一起，出現(xiàn)了一段突然的跳變，造成曲線不夠平滑，必然會影響到下一步獨立噪聲項的辨識準確度。產生這個問題的原因是TheoBR方差的補償函數是針對原子時鐘頻率穩(wěn)定度的，并不完全適用于光學陀螺，本文通過大量試驗對其算法進行了改動，將融合點由提前到了。使兩種算法的融合更為完美，擬合出的曲線更為平滑，提高了辨識精度，更易于用最小二乘法等隨機誤差辨識方法進行擬合及噪聲系數的提取。

圖6 TheoH方差改進前后雙對數曲線比較圖

把用一階馬爾可夫過程仿真的零偏不穩(wěn)定性1 200 s平均值作為標準值(0.033 8)，分別用Allan方差、文獻[8]提出的方法、本文提出的兩種改進方法和來提取零偏不穩(wěn)定性誤差系數值，通過比較哪個更接近標準值來判斷各個算法的參數辨識能力，比較結果見表1。可以看到，本文改進算法辨識出的零偏不穩(wěn)定性估計值最接近標準值。

Table 1 Extraction results of bias instability by different variance analysis methods

2.2 光學陀螺信號隨機誤差分析

光學陀螺在工作時，受溫度、輻射和外界環(huán)境干擾的綜合影響，隨機噪聲較大，通過對陀螺的隨機誤差項進行辨識和細化，可以為進一步進行結構改進和算法補償提供依據。本文以動態(tài)試驗中采集到的陀螺輸出信號為例，對多種方差分析算法進行了比較分析。圖7為光纖陀螺的量測信號，采樣時間間隔為0.05 s，采集數據約60 000個。

圖8是用不同方差分析方法對光學陀螺啟動信號進行分析的比較圖?？梢钥吹皆诙滔嚓P時間下各個方差的計算結果基本保持一致，在長相關時間下卻完全不同：Allan方差的波動很大，交疊Allan方差雖然在短相關時間具有較高的置信度，但最多只能計算到數據總長度的一半，所以更長的相關時間還需要TheoH方差來進行估計，Theo1方差很早就偏離了方差變化的趨勢，總方差的表現(xiàn)也正如它的數據延伸算法原理一樣，延伸的數據不能代表信號真實變化，只是減小了波動，延續(xù)了短相關時間下變化的趨勢，并不能真正的表征長相關時間下的變化特點。只有TheoH方差既能在短相關時間與Allan方差保持一致，又在其無法進行計算的長相關時間下進行了置信度較高的估計，二次采樣的算法使之能包含更多的陀螺噪聲信息，可以更為準確的提取出各個噪聲項。

3 結 論

本文結合光學陀螺的特點，對用于原子時鐘頻率穩(wěn)定度分析的TheoH方差進行了有效改進，使之更為適用于光學陀螺信號分析。該方法克服Allan方差方法在長相關時間下等效自由度低導致置信度低的問題，擬合出的方差曲線相關時間提高了50%，并且包含更多的噪聲信息，為準確辨識和提取噪聲源，并進一步對光學陀螺進行結構改進或導航濾波算法精度的提高提供了參考。

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Application of TheoH Variance in Stochastic Error Analysis for the Optical Gyroscope Signal

LI Ming，ZHANG Li

( College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China )

To solve the problems that the averaging time of Allan variance can only reach half of total data length，and confidence at long averaging time is lower, according to the random errors properties of the inertial sensors at time and frequency domains, a new method for analyzing the random error properties of the inertial sensor based on high confidence and hybrid Allan variance (TheoH variance) is proposed, which can better adapt to the characteristics of optical gyroscope by changing the location of the transition point. The simulated random error of optical gyroscope and measured data of FOG start-up signal are analyzed with the TheoH variance and other variance analysis method. The results show that the estimation values of the TheoH variance are consistent with power-law noise，It can efficiently improve the confidence in the case of great averaging time, and its estimation accuracy is higher than the Allan variance, especially in long term- values.

optical fiber components; optical gyroscope; stochastic error; TheoH variance; Allan variance

1003-501X(2016)08-0027-06

TN253

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.08.005

2015-11-18；

2016-01-06

中央高校基本科研業(yè)務費專項資金項目(2572015BB06)；東北林業(yè)大學教育教學研究項目(DGY2014-33)

李明(1980-)，男(漢族)，江蘇宿遷人。講師，碩士，主要研究方向是計算機應用。E-mail: liming_nefu1980@sina.com。