活學(xué)活用，力達(dá)變通

貢青

反比例函數(shù)是初中學(xué)生學(xué)習(xí)的某一類型函數(shù)，它的圖像和一次函數(shù)明顯不同，反比例函數(shù)是不連續(xù)函數(shù)，圖像分別在兩個(gè)象限，每個(gè)象限內(nèi)均為曲線，給學(xué)生增加難度，也給教學(xué)增加難度.反比例函數(shù)的應(yīng)用對(duì)學(xué)生能力培養(yǎng)作用還是比較明顯的，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想，所以教學(xué)中應(yīng)加以充分重視，力爭學(xué)生靈活變通使用所學(xué)知識(shí).

反比例函數(shù)圖像的應(yīng)用，其中常見的就是函數(shù)圖像面積問題.通過這一問題教學(xué)和學(xué)生練習(xí)，讓學(xué)生感悟函數(shù)關(guān)系式與圖像之間的關(guān)系，更好地理解圖像上的點(diǎn)與函數(shù)關(guān)系式之間的關(guān)聯(lián).

一、緊扣定義，合理選擇

反比例函數(shù)定義中，關(guān)系式有三種表達(dá)形式：y= （k≠0），y=kx （k≠0），xy=k（k≠0），這三種表達(dá)形式都需要學(xué)生熟練掌握，每種表達(dá)式都有自己鮮明的特點(diǎn)和適用范圍.在反比例函數(shù)面積題解答中，xy=k（k≠0）是最常用的.

例題1.如圖，矩形ABOC的面積為2，反比例函數(shù)y= 的圖像過點(diǎn)A，則k的值為（ ）

A. -4 B. 4 C. -2 D. -

本題是典型的反比例函數(shù)圖像的面積問題，題目不難，但需要學(xué)生注意點(diǎn)A的設(shè)，由于點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，因此平時(shí)教學(xué)中，不少老師可能更多的是讓學(xué)生記住面積和k的直接關(guān)系，然后注意象限符號(hào)，最后得到答案為c，失去讓學(xué)生感受點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長度之間的關(guān)系的機(jī)會(huì)，尤其不同象限內(nèi)，每一條相關(guān)線段和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是不同的.應(yīng)該強(qiáng)調(diào)設(shè)點(diǎn)A為（x，y），得AC=-x，AB=y，解下去，在反比例函數(shù)表達(dá)式的選擇上，顯然應(yīng)該選擇xy=k（k≠0）.

例題2.如圖，點(diǎn)A、B是雙曲線y= 上的點(diǎn)，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，若S =1，則S +S =？搖 ？搖.

本題是在上一題的基礎(chǔ)上做了疊加，本質(zhì)上還是第一題，重點(diǎn)仍然是設(shè)點(diǎn)，找關(guān)系，如果學(xué)生熟悉了上一題，在這一題解答上，學(xué)生一定能駕輕就熟地解決好.

綜上兩題發(fā)現(xiàn)，解決矩形類問題時(shí)，第一要合理設(shè)點(diǎn)，并將線段和點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系確定好，而后合理選擇表達(dá)式幫助解決此類問題，教學(xué)中老師應(yīng)更多地在這兩方面加以引導(dǎo)，為以后遇到更復(fù)雜的題目打下基礎(chǔ).

二、強(qiáng)化概念，靈活轉(zhuǎn)變

如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y= 和y= 在第一象限內(nèi)的圖像分別是C 和C ，設(shè)點(diǎn)P在C 上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，交C 于點(diǎn)B，則△POB的面積為？搖 ？搖.

對(duì)比上題，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)題目都是疊加式圖形，不過本題中是兩個(gè)三角形的疊加，從原理來說，變化不大，如果在上面教學(xué)中，學(xué)生已掌握了矩形面積的解決方法，那么這類三角形面積題中，學(xué)生還是能很好地掌握解決矩形面積的基本思路，那么解決這個(gè)問題還是比較簡單的，重點(diǎn)是將△POA和△BOA的面積和兩個(gè)反比例函數(shù)的k之間的關(guān)系確定好，即兩個(gè)三角形的面積分別為2和1，那么△POB的面積就迎刃而解了.在這些題目講解中，緊緊扣住定義和表達(dá)式，進(jìn)一步強(qiáng)化概念，讓一部分對(duì)圖形感知較弱的學(xué)生慢慢體會(huì)和適應(yīng)數(shù)字和點(diǎn)、點(diǎn)和圖形之間的相互關(guān)系，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)以往知識(shí)的復(fù)習(xí)鞏固，并對(duì)所學(xué)知識(shí)加以遷移應(yīng)用.

三、強(qiáng)化基礎(chǔ)，拓展提升

學(xué)習(xí)了基本應(yīng)用以后，對(duì)反比例函數(shù)圖像類的面積問題有了初步認(rèn)識(shí)，當(dāng)然，前面的知識(shí)都是最簡單的應(yīng)用，遇到一些比較麻煩的要融會(huì)貫通.

如圖，E、F分別是矩形OABC的邊AB、BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y= （k>0）的圖像經(jīng)過E、F兩點(diǎn)，且B（8，t）（t>0），△OEF的面積為12.

（1）求t、k的值.

（2）點(diǎn)P為反比例函數(shù)y= （k>0）圖像上的一點(diǎn)，且P到原點(diǎn)的距離等于P到y(tǒng)軸的距離的 倍，求P點(diǎn)坐標(biāo).

此題從圖形上看比一般的面積題要復(fù)雜，其中△OEF的面積這個(gè)已知條件是解決整個(gè)問題的關(guān)鍵，△OEF的面積不同于一般的面積問題，與反比例函數(shù)之間沒有固定的直接關(guān)系，要求學(xué)生利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示相關(guān)線段長度，然后利用各圖形之間的面積關(guān)系求解.為了讓學(xué)生更充分地理解和應(yīng)用點(diǎn)的坐標(biāo)和線段之間的關(guān)系，教學(xué)時(shí)可從多個(gè)角度引導(dǎo)學(xué)生看這一類型題目.△OEF的面積可以看成大的矩形OCBA的面積減去周圍三個(gè)小三角形的面積，而三個(gè)小三角形的面積，主要是B、E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，這是這種解法的最重要部分，一定要讓學(xué)生多琢磨比對(duì)，尤其圖形感知能力較弱的學(xué)生，只有通過題目練習(xí)，才能將點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長度很好地聯(lián)系起來，解決整個(gè)問題就很輕松.

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種解法比較輕松的時(shí)候，老師可從另一個(gè)角度讓學(xué)生體會(huì)圖形變換的樂趣，如圖，過F作FG⊥OA，通過推理發(fā)現(xiàn)△OEF的面積和梯形GFBA的面積是相等的，而得到E、F點(diǎn)坐標(biāo)以后，發(fā)現(xiàn)求梯形的面積顯然比求三個(gè)三角形的面積要簡單得多，所以合理轉(zhuǎn)換顯得尤為重要.這個(gè)轉(zhuǎn)換是學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)的，這里有前面提到的三角形面積和k之間的關(guān)系，還關(guān)聯(lián)到兩塊圖形重合部分的利用.

綜上所述，反比例函數(shù)的面積問題其實(shí)是更多的利用好表達(dá)式、點(diǎn)的表示及線段的合理表達(dá)，要想讓學(xué)生融會(huì)貫通，教師的教學(xué)引導(dǎo)顯得尤為重要，注重基礎(chǔ)，不斷拓展，學(xué)生的能力才會(huì)更好地提高.