關(guān)于《概率統(tǒng)計(jì)簡明教程》教學(xué)中的幾點(diǎn)思考

王晶晶

摘 要： 本文主要介紹了工科概率統(tǒng)計(jì)中幾種容易混淆的知識點(diǎn)，通過具體例子對相關(guān)問題進(jìn)行了說明，并針對如何提高工科學(xué)生分析概率統(tǒng)計(jì)問題的能力進(jìn)行了詳細(xì)的闡述.

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量 聯(lián)合分布律 聯(lián)合密度函數(shù) 邊緣密度函數(shù)

1.引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在我國高校絕大部分工科專業(yè)都是一門重要的基礎(chǔ)課程，不僅因?yàn)樗诟鱾€領(lǐng)域中都有十分廣泛的應(yīng)用，而且從人才素質(zhì)全面培養(yǎng)來說，這門課程是不可或缺的.既然概率統(tǒng)計(jì)有如此重要的地位，因此我們應(yīng)更注重對概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí).本文旨在通過對不同知識點(diǎn)的說明，讓學(xué)生更容易地理解概率統(tǒng)計(jì)中容易引起混淆的幾點(diǎn)問題.

2.事件和隨機(jī)變量的區(qū)別和聯(lián)系

首先，本書第一章中通常用大寫字母A、B、C等表示隨機(jī)事件，不同的事件用不同的字母表示，在第一章學(xué)習(xí)中我們會覺得這樣的方法很簡單明了，而當(dāng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量之后，我們就不再如此表示事件，而是用一種更簡單的方法表示，也就是用隨機(jī)變量的不同取值表示不同的事件.這時，很多學(xué)生會產(chǎn)生疑問：用隨機(jī)變量表示事件的方式有什么好處？這里不妨用一個例子說明：

例1：接連進(jìn)行三次射擊，每次擊中目標(biāo)的概率均為p，試表示以下事件：

（1）三次射擊恰好命中兩次；

（2）三次射擊至少命中兩次；

（3）三次射擊都未命中.

解：我們現(xiàn)在有兩種方法表示以上三個事件：

第一，用事件表示：

設(shè)A ={第i次擊中目標(biāo)}，i=1，2，3.

（1）三次射擊恰好命中兩次：；A A ∪A A ∪ A A ；

（2）三次射擊至少命中兩次：A A ∪A A ∪A A ；

（3）三次射擊都未命中： .

第二，用隨機(jī)變量表示：

用隨機(jī)變量X表示“三次射擊中命中目標(biāo)的次數(shù)”，

（1）三次射擊恰好命中兩次：{X=2}；

（2）三次射擊至少命中兩次：{X≥2}；

（3）三次射擊都未命中：{X=0}.

兩者對比，顯然用隨機(jī)變量表示，形式上更加簡單、直觀，便于操作，實(shí)用性更強(qiáng).

3.二維離散型隨機(jī)變量的表示方法

在講授二維離散型隨機(jī)變量分布的時候，我們以一維情形作基礎(chǔ)，由于學(xué)習(xí)一維離散型時，我們是用分布律或者概率函數(shù)的形式描述隨機(jī)變量X的分布規(guī)律：

因此，處理二維離散情形時，如果仍然按照一維的方法：首先列出二維隨機(jī)變量（X，Y）的可能取值，因?yàn)檫@些可能值是一些二元有序數(shù)組，我們會發(fā)現(xiàn)分布律的二元有序數(shù)組中會重復(fù)出現(xiàn)多次x （i=1，2，…），y （i=1，2，…），這種情況將會導(dǎo)致分布律無法直觀有效地描述一個二維離散型隨機(jī)變量的分布規(guī)律.因此，處理這類問題時，我們就可以采取另外一種方法將X的可能值與Y的可能值單獨(dú)列出，再找出對應(yīng)每一對可能取值的概率：

這樣做不僅在形式上更簡單，而且更容易觀察（X，Y）的分布規(guī)律.

4.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布

學(xué)習(xí)二維隨機(jī)變量（X，Y）的邊緣分布時，我們要利用二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)求X和Y的邊緣密度函數(shù)f （x）和f （y），此處有一類情況需要更詳細(xì)的說明.

例2：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，其中D={（x，y）|x +y ≤1}，求X和Y的邊緣密度函數(shù)f （x）和f （y）.

解：由題意，（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：

求二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度時，往往要對聯(lián)合密度函數(shù)在一個變量取值范圍內(nèi)進(jìn)行積分.當(dāng)聯(lián)合概率密度函數(shù)是分段函數(shù)時，計(jì)算積分時應(yīng)特別注意積分區(qū)間.

5.結(jié)語

通過一個學(xué)期對概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)沒有良好的數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識不可能很好地掌握現(xiàn)實(shí)中越來越多的關(guān)于統(tǒng)計(jì)信息的相關(guān)問題，此外，概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)中還會遇到各種各樣的問題，需要一一解答.如何有效提高學(xué)生利用概率統(tǒng)計(jì)方法解決問題的能力顯得尤為重要.

要學(xué)好概率統(tǒng)計(jì)這門課程，首先需要大家對概率統(tǒng)計(jì)有初步的認(rèn)識，了解其重要性，以便提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；其次，教學(xué)中應(yīng)給予學(xué)生更多的關(guān)注，讓學(xué)生有充分思考的時間，謹(jǐn)防對所學(xué)知識一知半解，導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)際運(yùn)算中存在困難.由于工科專業(yè)學(xué)生在高中學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累一定的概率統(tǒng)計(jì)知識，并且養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，可以充分發(fā)揮學(xué)生的優(yōu)勢，兼顧效率和平衡；最后，針對學(xué)生的課堂反饋及時調(diào)整教學(xué)方法，根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，注重安排教學(xué)活動的靈活性，為提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力和解題能力做出努力.

整個教學(xué)過程中會有各種各樣的問題需要解決，要求教師和學(xué)生充分利用各種學(xué)校資源和網(wǎng)絡(luò)資源，不僅在課堂上及時調(diào)整學(xué)習(xí)和教學(xué)方法，更要在課后進(jìn)行總結(jié)，以便達(dá)到最好的學(xué)習(xí)和教學(xué)效果.

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基金項(xiàng)目：宿州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（szxy2015jy09）。