索網(wǎng)張拉體系的性能優(yōu)化分析

尤國強(qiáng)，胡景勤，梁瑞

（西安翻譯學(xué)院陜西西安710105）

索網(wǎng)張拉體系的性能優(yōu)化分析

尤國強(qiáng)，胡景勤，梁瑞

（西安翻譯學(xué)院陜西西安710105）

針對索網(wǎng)張拉體系的特點和性能要求，對其進(jìn)行了優(yōu)化分析和設(shè)計。選取體系中索單元半徑為設(shè)計變量，并對不同類型的設(shè)計變量進(jìn)行了合理的歸并，繼而分別以形狀精度和基頻為優(yōu)化目標(biāo)建立了優(yōu)化數(shù)學(xué)模型?？紤]到索網(wǎng)體系有限元分析的非線性和復(fù)雜性，使用序列二次規(guī)劃法對模型進(jìn)行了優(yōu)化求解。通過算例分析可知，采用文中的優(yōu)化計算方法可以有效地提高索網(wǎng)張拉體系的結(jié)構(gòu)性能，取得的優(yōu)化結(jié)果和結(jié)論對于工程實踐具有一定的指導(dǎo)意義。關(guān)鍵詞：索網(wǎng)張拉體系；形狀精度；基頻；優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；序列二次規(guī)劃法

二十世紀(jì)四十年代，美國工程師富勒首次提出了索網(wǎng)張拉體系這一結(jié)構(gòu)形式概念。索網(wǎng)張拉體系主要利用索網(wǎng)系統(tǒng)自身的預(yù)應(yīng)力張拉成形特性，來使原本柔軟的索網(wǎng)在施加張力后能夠展開成為具有一定預(yù)定形狀和剛度的結(jié)構(gòu)體系。自該結(jié)構(gòu)體系概念得到應(yīng)用以來，世界各國的相關(guān)研究人員已對索網(wǎng)張拉體系在靜、動力學(xué)性能方面進(jìn)行了系統(tǒng)而深入的研究。在實際應(yīng)用層面上看，此類結(jié)構(gòu)體系已在地面大型建筑中的索穹頂結(jié)構(gòu)和太空衛(wèi)星上的可展開結(jié)構(gòu)中得到了廣泛的應(yīng)用，而這兩類應(yīng)用方面的國內(nèi)外研究文獻(xiàn)也已較為多見［1_3］。

索網(wǎng)張拉體系在施加張力之前屬柔性體，對其施加預(yù)張力之后能否得到滿足預(yù)定工作性能要求的形狀和剛度是一個工程中需要解決的主要問題，只有當(dāng)索網(wǎng)張拉體系的性能指標(biāo)能夠滿足指定要求時，其才能在地面或太空正常工作。對此，通過優(yōu)化設(shè)計來合理給定索網(wǎng)張拉體系的結(jié)構(gòu)參數(shù)是解決上述問題最為有效的方法。

本文所研究的索網(wǎng)張拉體系是一種常見的具有反雙曲形狀的索網(wǎng)體系，該索網(wǎng)體系由上弦索、下弦索和16根中間縱向索組成。其在施加預(yù)張力后可以得到美觀的造型，且在一定范圍內(nèi)還可以具有一定的承重作用。該索網(wǎng)體系與常見的剛性體不同，它在未施加預(yù)張力前屬于柔性體系，具有小變形、大位移的特點——當(dāng)索網(wǎng)體系的應(yīng)變處于材料彈性范圍之內(nèi)時，其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系仍遵從虎克定律，但其應(yīng)變與位移之間卻不同于一般情況，而呈幾何非線性關(guān)系。此類體系主要依靠自平衡預(yù)應(yīng)力來維持自身的穩(wěn)定，在未施加預(yù)應(yīng)力之前，體系將處于不穩(wěn)定的機(jī)構(gòu)狀態(tài)，該特點使得索網(wǎng)張拉體系的力學(xué)性能分析和優(yōu)化計算與工程中常見的普通剛性結(jié)構(gòu)有著很大區(qū)別［4_5］。

對索網(wǎng)張拉體系進(jìn)行形態(tài)設(shè)計時，其所有索節(jié)點在張拉成形后應(yīng)均處于預(yù)設(shè)的理想位置。但對這一理想形態(tài)下的索網(wǎng)張拉體系施加初始預(yù)張力后，體系中的索節(jié)點在張力的作用下將偏離其初始設(shè)計中的理想位置而導(dǎo)致索網(wǎng)張拉體系難以得到理想情況下的形狀和工作性能。因此，若希望在初始預(yù)張力已經(jīng)確定的情況下提高體系的形狀精度性能，則需要通過優(yōu)化的方法來給出更為合理的索單元橫截面大小，從而使平衡態(tài)時的索網(wǎng)形狀更為接近理想形狀，以達(dá)到提高索網(wǎng)形狀精度和動力性能的目的。同時，由索單元切線剛度矩陣表達(dá)式可知，索單元橫截面大小也是影響單元切線剛度矩陣的因素之一。

因此，基于以上考慮，本文將體系中索單元的橫截面積參數(shù)作為索網(wǎng)體系優(yōu)化計算中的設(shè)計變量來研究它對體系性能的影響規(guī)律。

1　索網(wǎng)體系優(yōu)化設(shè)計性能參數(shù)的選取

本文研究的索網(wǎng)張拉體系的有限元模型如圖1所示。該模型采用兩節(jié)點直桿索單元建立，圖中標(biāo)號1_36為節(jié)點號。體系中的上、下弦索為具有相同曲率的拋物線，且沿中軸線對稱分布，它們均由17個索單元平滑連接組成；而中間縱向索則由在對稱節(jié)點位置連接上、下弦索的16個豎直方向的索單元組成；整個單片索網(wǎng)體系共包含50個索單元。

圖1　索網(wǎng)張拉體系

索網(wǎng)張拉體系能夠正常工作的首要前提是確保其在施加預(yù)張力后能夠具有預(yù)定的形狀。在地面索穹頂結(jié)構(gòu)中，索網(wǎng)張拉體系需要具有預(yù)定的形狀以達(dá)到得到美觀造型和具有一定承重能力的目的，而在太空展開結(jié)構(gòu)中，索網(wǎng)張拉體系更需要具有精確的形狀以滿足特定的空間位置需要。但實際上，當(dāng)對某一索網(wǎng)張拉體系施加預(yù)張力后，往往不容易使其具有精確的預(yù)定形狀，從而令索網(wǎng)張拉體系的工作性能難以得到保證。考慮到這一點，文中以索網(wǎng)張拉體系中具有承重或展開位置要求的上弦索形狀精度作為優(yōu)化設(shè)計的性能指標(biāo)之一，該指標(biāo)能夠較好的反映索網(wǎng)張拉體系施加預(yù)張力后的實際形狀與預(yù)定理想形狀之間的變形偏差情況。

另外，由于索網(wǎng)張拉體系在地面或太空工作時都必然會遇到振動的情況，故需要盡量提高體系的基頻，使其遠(yuǎn)離激勵頻率，從而避免諧振現(xiàn)象對索網(wǎng)張拉體系的破環(huán)，確保體系的動力性能?；谝陨显颍闹幸运骶W(wǎng)張拉體系的基頻作為優(yōu)化設(shè)計的另一個性能指標(biāo)。

由于索單元截面積與索單元切線剛度矩陣及索單元初始預(yù)應(yīng)力均有關(guān)聯(lián)，故它的取值情況必然會在很大程度上影響索網(wǎng)體系的剛度和索網(wǎng)平衡態(tài)時的幾何形狀；另外，考慮到體系中索單元的截面均為圓形，故可以通過改變索單元半徑值的大小來反應(yīng)索單元截面積的變化情況。因此，本文將索單元半徑作為優(yōu)化設(shè)計變量來進(jìn)行優(yōu)化計算，以研究它對索網(wǎng)張拉體系性能的影響規(guī)律。

為了便于加工制造和安裝，本文將索網(wǎng)張拉體系中的50個索單元半徑歸并為3類優(yōu)化設(shè)計變量，它們分別為上弦索的17個索單元半徑、中間縱向索的16個索單元半徑和下弦索的17個索單元半徑。

2　以形狀精度為目標(biāo)函數(shù)時的優(yōu)化計算分析

以形狀精度最小為目標(biāo)函數(shù)，以索單元半徑為設(shè)計變量，可以建立如下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

模型中，r1、r2和r3分別代表上弦索單元、中間縱向索單元和下弦索單元的半徑值；D為上弦索精度值；δi是平衡態(tài)時第i個采樣節(jié)點的實際位置與理想位置的坐標(biāo)偏差值；m為采樣節(jié)點數(shù)，文中將它的取值等同于上弦索節(jié)點數(shù)；σe和［σ］分別為體系中第e個索單元的實際應(yīng)力值和許用應(yīng)力值；ru和rl分別為索單元半徑的上、下限值。

以圖1所示的索網(wǎng)張拉體系為優(yōu)化對象進(jìn)行優(yōu)化計算時，索網(wǎng)體系的材料單元彈性模量和密度分別取為1.24e11 N/m2和1.45e3 kg/m3；同時將索單元的初始預(yù)張力均設(shè)為50 N，將索單元半徑取值的上、下限設(shè)為2 mm和0.1 mm，優(yōu)化計算時其初始值均取為1 mm。

采用序列二次規(guī)劃法［6_9］對上述優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖2所示。優(yōu)化計算共進(jìn)行了21次迭代，其中第17步時得到的結(jié)果為最優(yōu)解。在該最優(yōu)解處，r1、r2和r3的值分別為2 mm、2 mm和0.145 4 mm；索網(wǎng)體系的表面精度值為0.010 98 mm，它與計算初始值0.086 18 mm相比下降了87.26%；另外，此時的基頻值為2.452 Hz。

圖2　以形狀精度為目標(biāo)時的優(yōu)化迭代過程

最優(yōu)解處上弦索和中間縱向索的半徑均為設(shè)計變量取值范圍內(nèi)的最大值，而下弦索半徑卻為一較小值。取得這樣的結(jié)果是由于，當(dāng)以上弦索形狀精度為目標(biāo)函數(shù)時，要求上弦索單元節(jié)點的位移要達(dá)到最小，因此優(yōu)化過程中會盡量增大上弦索和中間縱向索的半徑來提高上弦索的剛度以減小其節(jié)點變形量，從而保持表面精度能夠取得最小值。

3　以基頻為目標(biāo)函數(shù)時的優(yōu)化計算分析

以體系的基頻最大為優(yōu)化目標(biāo)，以三類索單元半徑為設(shè)計變量，可以建立以下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

該優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中，ω表示索網(wǎng)張拉體系的基頻值；其余符號的含義與上一節(jié)優(yōu)化模型中的描述相同。

采用與上節(jié)相同的有限元模型和材料參數(shù)設(shè)置來進(jìn)行優(yōu)化計算，并同樣將索單元的初始預(yù)張力值均設(shè)為50 N，將索單元半徑取值的上、下限設(shè)為2 mm和0.1 mm，優(yōu)化計算時其初始值均取為1 mm。

使用序列二次規(guī)劃法對優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到的優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。優(yōu)化計算共進(jìn)行了8次迭代，其中第5步得到的結(jié)果為最優(yōu)解。在該最優(yōu)解處，r1、r2和r3的值均為0.1 mm；體系的基頻值為43.44 Hz，它是計算初始值4.303 Hz的10.10倍；另外，此時的形狀精度值為8.559 mm。

圖3　以基頻為目標(biāo)時的優(yōu)化迭代過程

由圖3可知，索單元截面積的大小對體系基頻值影響很大，在最優(yōu)解處三類索單元半徑均為設(shè)計變量取值范圍內(nèi)的最小值。由此可知，索網(wǎng)體系中索單元半徑越小時，基頻值越大，兩者之間成反比關(guān)系。這是由于索網(wǎng)體系存在著應(yīng)力剛化效應(yīng)，當(dāng)索單元半徑越小時，索單元內(nèi)的應(yīng)力則越大，這使得體系的剛度增大，動力性能增強(qiáng)，基頻值也隨之上升。

4　結(jié)論

1）算例表明，以索單元半徑為優(yōu)化設(shè)計變量，應(yīng)用序列二次規(guī)劃法，可以較好的解決包含精度、頻率等復(fù)雜優(yōu)化目標(biāo)的幾何非線性索網(wǎng)張拉體系的優(yōu)化問題，得到的優(yōu)化結(jié)果對于工程實踐具有一定的指導(dǎo)意義。

2）通過以索網(wǎng)形狀精度為目標(biāo)的優(yōu)化計算可知，當(dāng)上弦索和中間縱向索的半徑取較大值時，索網(wǎng)張拉體系會因上弦索和中間縱向索剛度的相應(yīng)提高而具有較小的上弦索節(jié)點變形量，從而令上弦索形狀精度能夠取得最小值。由此可知，欲得到理想的形狀精度指標(biāo)，就需要在一定程度上增大上弦索和中間縱向索的橫截面積。

3）當(dāng)以索網(wǎng)張拉體系基頻為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化計算時，最后取得的最優(yōu)解處，三類索單元半徑均為設(shè)計變量取值范圍的最小值。取得這樣的優(yōu)化結(jié)果的原因是，由于索網(wǎng)張拉體系存在應(yīng)力剛化效應(yīng)，故當(dāng)索單元半徑越小時，基頻值越大，索網(wǎng)張拉體系的動力性能越好。而這樣一來，此處的減小索單元半徑以增大基頻的結(jié)論，與上面的增大索單元半徑以增大表面精度的結(jié)論，就形成了一對互為矛盾的設(shè)計要求。因此，在實際設(shè)計中還應(yīng)根據(jù)具體的工程需要來處理好這一矛盾，以得到符合設(shè)計指標(biāo)要求的索網(wǎng)張拉體系。

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0Ptlmlzatlon for a cable-net system

YOU Guo_qiang，HU Jing_qin，LIANG Rui
（Xi'an FANYI University，Xi'an 710105，China）

In order to get high structura1 properties，an optimization design method is proposed here for a cab1e_net system according to its specia1 features and structura1 demands.In this method，the optimum mathematic mode1 is estab1ished with radii of cab1e e1ements as variab1es，shape precision and natura1 frequency as objectives.And the sequentia1 quadratic programming method is used to so1ve this comp1ex non1inear mathematic mode1.The resu1ts of examp1e suggest that the optimization can effective1y improve the structura1 properties of cab1e_net system，and these resu1ts can be he1pfu1 for engineering practice.

cab1e_net systemjshape precisionjnatura1 frequencyjoptimum mathematic mode1jsequentia1 quadratic programming

TN03

A

1674_6236（2016）10_0052_03

2015_06_15稿件編號：201506158

陜西省教育廳項目（14JK2040）；學(xué)校專項科研項目（BK001）

尤國強(qiáng)（1980—），男，河北定興人，博士，講師。研究方向：天線優(yōu)化設(shè)計、嵌入式設(shè)計。