矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖

曾慶雨，易　忠，唐高華，劉衍民，李　湘

(1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義　563002；2.桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西桂林　541004；3.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧　530023)

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矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖

曾慶雨1，易忠2，唐高華3，劉衍民1，李湘1

(1.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，貴州遵義563002；2.桂林航天工業(yè)學(xué)院理學(xué)部，廣西桂林541004；3.廣西師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530023)

矩陣環(huán)；中心圖；連通性；直徑；圍長

3.College of Mathematics and Statistics,Guangxi Teachers Education University,Nanning 530023,Guangxi,China)

0　引言

有限環(huán)是代數(shù)學(xué)中非常重要的研究對象，它在眾多數(shù)學(xué)分支及工程科學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用.用圖的性質(zhì)去研究代數(shù)結(jié)構(gòu)，是近20年來非常熱門的一個課題，它建立了環(huán)論和圖論兩大數(shù)學(xué)分支之間的聯(lián)系，同時也導(dǎo)出了很多迷人的結(jié)果.

2011年，Balakrishnan等[1]提出了群的中心圖的概念，記群G的中心圖為Γ(G)，其頂點集為G中所有的元素，且任意兩個頂點a與b相連當且僅當ab∈Z(G).文獻[2-4]研究了一些特殊群的中心圖；文獻[5]引進環(huán)的中心圖的概念，并研究了群環(huán)ZnS3的中心圖的連通性和直徑.本文研究矩陣環(huán)Mn(R)的中心圖.在不引起混淆的情況下，記任意環(huán)R的中心圖為Γ(R)，其頂點集為R(R)，兩個不同的頂點a與b相連當且僅當ab∈Z(R)或ba∈Z(R)，這里Z(R)是R的中心.

記交換環(huán)R的所有零因子做成的集合為D(R)，R的單位群為U(R)，R上的n階矩陣環(huán)Mn(R)的所有可逆矩陣、零因子矩陣、對合矩陣和弱對合矩陣做成的集合為Un(R),Dn(R),εn(R),ωn(R).記數(shù)域F上的n階矩陣環(huán)Mn(F)的所有n×n可逆矩陣、零因子矩陣、對合矩陣和弱對合矩陣做成的集合為Un(F),Dn(F),εn(F),ωn(F).

1　主要引理

首先，A∈Mn(R)稱為對合矩陣，若A2=E，其中E是Mn(R)的單位元.

定義1設(shè)R是任意交換環(huán)，A∈Mn(R)稱為弱對合矩陣，若對某個u∈U(R)，有A2=uE，其中E是Mn(R)的單位元.

引理1[6]設(shè)F是有限域且ch(F)≠2，則

引理2[7]設(shè)F是有限域，則

引理3設(shè)A≠0是Mn(F)的零因子，則存在0≠B∈Mn(F)，使得AB∈Z(Mn(F))當且僅當AB=0.

證明首先，Z(Mn(F))=kE，E是Mn(F)的單位元.設(shè)A≠0是Mn(F)的零因子，那么A?Z(Mn(F)).若存在0≠B∈Mn(F)，使得AB∈Z(Mn(F))，則B既不是中心元，也不是單位元.事實上，若B∈Z(Mn(F))，則對某個0≠t∈F有B=tE，但對某個k∈F有AB=kE，因此A=t-1kE，這與A?Z(Mn(F))矛盾.進一步，若B∈Un，AB=kE,則A=kEB-1，即A是可逆矩陣，矛盾.反之顯然.】

引理4[6]設(shè)Mn(F)是有限域F上的n階矩陣環(huán)，則Γ(Dn(F))是連通的且diam(Γ(Dn(F)))=2.

引理6[9]一個有限圖是可平面的當且僅當其不含K5或K3,3的子圖.

引理7[6]設(shè)R是交換環(huán).若每個R的有限零因子集都有非零零化子，則diam(Γ(Dn(R)))=2.

2　主要結(jié)果與證明

定理2設(shè)F是一個有限域，

情形1若S=T，說明A是一個弱對合矩陣，因此Γ(S∪T)?Kp-1.

另一方面，設(shè)C∈U(Mn(R))，C?S∪T,若對某個k∈U(R),AC∈kE,那么C=kA-1，所以C∈S∪T，這是一個矛盾.所以Γ(Un(R))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kp-1或Kp-1,p-1.】

若F是有限域且特征不等于2，由引理1～2以及定理1，我們能得到以下結(jié)果:

個連通分支.

由定理3，以下結(jié)果是顯然的.

定理5設(shè)F是有限域，

定理6若F是一個有限域，則g(Γ(Dn(F)))=3.

證明令

則A1,A2和A3是Dn(F)中不同的零因子，使得A1A2=A2A3=A3A1=0.】

定理7對任意的交換環(huán)R，g(Γ(Mn(R)))=3.

證明過程與定理6的證明類似.

證明由定理1，Γ(ωn(F))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kq-1.再由引理6，結(jié)果顯然.】

證明由定理3，Γ(Un(F))的每一個連通分支都同構(gòu)于Kp-1或Kp-1,p-1.結(jié)合引理6，結(jié)果顯然.】

由引理3，4和定理3，4，我們有以下結(jié)果:

定理10設(shè)F是有限域且ch(F)≠2，則Γ(Mn(F))有

個連通分支，而且，

個連通分支同構(gòu)于Kp-1,p-1，而

定理11設(shè)R是交換環(huán)且每個R的有限零因子集都有非零零化子，則Γ(Mn(R))是連通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.

情形1若A,B∈Un(R),則存在C,D∈Un(R)和k,l∈D(R)，使得AC=DB=E,kl=0,從而kC,lD∈Dn(R).因此A-kC-lD-B是一條路.

情形2若A,B∈Dn(R)，則由定理7，結(jié)果顯然.

情形3若A∈Dn(R),B∈Un(R),則存在k∈D(R)和C∈Un(R),使得kC∈Dn(R)，CB=E，由引理7結(jié)果顯然.

結(jié)合情形1～3可知，Γ(Mn(R))是連通的且diam(Γ(Mn(R)))=3.】

[1]BALAKRISHNANP，SATTANATHANM，KALAR.Thecentergraphofagroup[J].South Asian Journal of Mathematics，2011，1(1):21.

[2]MA Xuan-long，WEI Hua-Quan，ZHONG Guo，et al.The center graph on dihedral group[J].JournalofGuangxiTeachersEducationUniversity(NaturalScienceEdition)，2012，29(2)：6.

[3]蘇華東，馬儇龍，鐘國，等.Sn和An的中心圖[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011,28(4)：10.

[4]韋華全，馬儇龍，蘇華東，等.D2n和Q4n的中心圖[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013,52(1)：5.

[5]曾慶雨，易忠，唐高華，等.群環(huán)ZnS3的中心圖[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014,32(1)：64.

[6]BOZIC I，PETROVIC Z.Zero-divisor graphas of mathrices over commutative rings[J].CommunicationsinAlgebra，2009,37(4)：1186.

[7]MCDONALD B R.LinearAlgebraOverCommutativeRings[M].New York:Marcel Dekker Inc，1984:56.

[8]AKBARI S，MOHAMMADIAN A.Zero-divisor graphs of non-commutative rings[J].JournalofAlgebra，2006,296(2):462.

[9]邦迪J A，默蒂U S R.圖論及其應(yīng)用[M].吳望名，李念祖，吳蘭芳，等譯.北京：科學(xué)出版社，1984:163.

(責任編輯馬宇鴻)

The center graph of matrix ringMn(R)

ZENG Qing-yu1,YI Zhong2,TANG Gao-hua3,LIU Yan-min1,LI Xiang1

(1.School of Mathematics and Computing Science,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,Guizhou,China；2.Faculty of Science,Guilin University of Aerospace Technology,Guilin 541004,Guangxi,China；

matrixring;centergraph;connectivity;diameter;girth

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.008

2015-01-27;修改稿收到日期:2016-01-10

國家自然科學(xué)基金資助項目(11161006,11171142,71461027);貴州省科學(xué)技術(shù)基金資助項目(黔科合LH字[2015]7050,黔科合[2012]2340,黔科合LH字[2015]7047,LKZS[2012]10);貴州省自然科學(xué)基金資助項目(黔教合[2014]295)

曾慶雨(1987—)，男，貴州仁懷人，講師，碩士.主要研究方向為代數(shù)圖論.

E-mail:963738522@qq.com

O 153.3

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0032-04