一類中立型差分方程的三重正周期解

王麗麗，胡　猛

(安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽(yáng)　455000)

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一類中立型差分方程的三重正周期解

王麗麗，胡猛

(安陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南安陽(yáng)455000)

研究了一類中立型差分方程，運(yùn)用錐多重不動(dòng)點(diǎn)理論(Avery-Peterson不動(dòng)點(diǎn)理論)，給出了其至少存在三個(gè)正周期解的充分條件．

中立型差分方程；正周期解；錐不動(dòng)點(diǎn)

用差分方程描述的離散模型在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如生態(tài)系統(tǒng)中離散種群模型比連續(xù)模型能更好地模擬當(dāng)種群各代不相重疊時(shí)的情形.由于計(jì)算機(jī)的實(shí)際運(yùn)算與操作需要將微分方程離散化，而低維截面上的離散映像可以反映高維連續(xù)過(guò)程的一些規(guī)律，所以近年來(lái)，差分方程得到了學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-5]，但有關(guān)中立型差分方程多重正周期解的存在性研究還很少.

考慮如下中立型差分方程:

(1)

本文運(yùn)用Avery-Peterson錐不動(dòng)點(diǎn)定理，研究方程(1)的多重正周期解的存在性，并給出其至少存在三個(gè)正周期解的充分條件.

對(duì)于方程(1)，假設(shè)：

(A2)函數(shù)f(n,x)關(guān)于第二變?cè)獂是非減的.

1　預(yù)備知識(shí)

由引理1及A與A-1的定義可得，

(2)

其中

引理2x(n)是方程(2)的T-周期解，當(dāng)且僅當(dāng)(A-1x)(n)是方程(1)的T-周期解.

類似文獻(xiàn)[8]中引理3的證明，可得

引理3x(n)是方程(2)的一個(gè)T-周期解，當(dāng)且僅當(dāng)x(n)是方程

的一個(gè)T-周期解，其中

由條件(A1)可得0

引理4[9]如果c∈(-δ,0],x∈P,那么有

證明對(duì)?x∈P,有(Hx)(n+T)=(Hx)(n),所以Hx∈X.對(duì)?x∈P,有

由引理4及c∈(-δ,0]可知G(x(n))≥0,n∈Z.因此，

又因?yàn)?/p>

記集合

設(shè)r,θ是P上非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是P上非負(fù)連續(xù)凹泛函，ψ是P上非負(fù)連續(xù)函數(shù)，對(duì)于正實(shí)數(shù)a,b,c,d，定義下面的凸集：

和一個(gè)閉集

定理1[10]設(shè)r,θ是P上非負(fù)連續(xù)凸泛函，α是P上非負(fù)連續(xù)凹泛函,ψ是P上非負(fù)連續(xù)泛函，滿足ψ(ρx)≤ρψ(x),0≤ρ≤1,且存在正數(shù)E,d，使得

(3)

(i){x∈P(r,θ,α,b,c,d):α(x)>b}≠?,α(Hx)>b,x∈P(r,θ,α,b,c,d);

(ii)α(Hx)>b,?x∈P(r,α,b,d),θ(Hx)>c;

(iii)0?R(r,ψ,a,d),當(dāng)x∈R(r,ψ,a,d)時(shí)ψ(Hx)

2　主要結(jié)果

定義η,l∈[0,T],η≤l.設(shè)非負(fù)連續(xù)凹泛函α、非負(fù)連續(xù)凸泛函r,θ及非負(fù)連續(xù)函數(shù)ψ在錐P上的定義分別為

其中

顯然，上面定義的函數(shù)滿足

證明對(duì)?x∈P,有

另外，對(duì)于任意的x∈P,有

(4)

并且ψ(ρx)=ρψ(x),?ρ∈[0,1],?x∈P.由(4)式可知定理1中的條件(3)成立.

定理2假設(shè)條件(A1)～(A2),(S1)～(S2)成立，c∈(-δ,0]，則方程(1)至少存在三個(gè)正的T-周期解x1,x2,x3，且滿足

那么

即

由條件(A2),(S2)及引理4，得

其次，由錐P的定義,得

由(A2),(S3)及引理4，得

所以，定理1中的條件(iii)成立.

綜上所述，由定理1可得算子H至少存在三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即方程(2)至少存在三個(gè)正的T-周期解.再由引理2，方程(1)至少存在三個(gè)正的T-周期解.】

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(責(zé)任編輯馬宇鴻)

Triple positive periodic solutions for a class of neutral difference equation

WANG Li-li,HU Meng

(School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang 455000,Henan,China)

This paper is concerned with a class of neutral difference equation,by using a multiple fixed point theorem(Avery-Peterson fixed point theorem) in cones,several sufficient conditions are established for the existence of at least three positive periodic solutions for the equation.

neutral difference equation;positive periodic solution;fixed point in cones

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.004

2016-01-11;修改稿收到日期:2016-03-30

河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目(16A110008，15A110004)

王麗麗(1981—)，女，河南新鄉(xiāng)人，講師，碩士.主要研究方向?yàn)榉汉⒎址匠汤碚摷捌鋺?yīng)用.

E-mail:ay_wanglili@126.com

O 175.1

A

1001-988Ⅹ(2016)05-0014-04