一類(lèi)具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程周期解

周　剛，劉孝磊，趙文飛

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

一類(lèi)具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程周期解

周剛，劉孝磊，趙文飛

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺(tái)264001）

考慮了具有分布和離散時(shí)滯的方程周期解的存在性問(wèn)題。文章通過(guò)利用線性系統(tǒng)的指數(shù)二分性和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理得到了上述方程周期解存在唯一的充分條件，結(jié)論推廣和改進(jìn)了已有文獻(xiàn)的結(jié)果，并通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明該結(jié)果的優(yōu)越性。

分布時(shí)滯；離散時(shí)滯；周期解；指數(shù)二分性；不動(dòng)點(diǎn)定理

無(wú)窮時(shí)滯泛函微分方程周期解的存在性問(wèn)題一直受到人們的廣泛關(guān)注。

通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov泛函，可以得到標(biāo)量Volterra型積分微分方程

周期解存在性的充分條件。彭世國(guó)等［1］運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理在較弱的條件下，得到了方程（1）周期解存在唯一性。王全義［2］討論了中立型標(biāo)量積分微分方程：

利用Leray-Schauder和壓縮映像原理討論了方程（2）的周期解的存在性，唯一性和穩(wěn)定性問(wèn)題。文獻(xiàn)［3-8］研究了無(wú)窮時(shí)滯Volterra型積分微分方程周期解的存在性，得到了不少好的結(jié)果。楊喜陶［9］利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理研究了方程：

得到其周期解存在的條件。陳鳳德等［10］研究了方程：

利用指數(shù)二分性和不動(dòng)點(diǎn)定理，在不同的條件下，得到了不少有關(guān)周期解存在性的結(jié)果。

受文獻(xiàn)［8-12］的啟發(fā)，考慮如下更加廣泛的具有分布時(shí)滯和離散時(shí)滯中立型積分微分方程：

的周期解存在性問(wèn)題。

為方便起見(jiàn)，先做如下假設(shè)。

A1：設(shè)存在正的連續(xù)可微的T-周期函數(shù)di（t），i=1，2，…，n和連續(xù)的T-周期函數(shù)α1（t）滿(mǎn)足

A4：存在非負(fù)連續(xù)的T-周期函數(shù) ci（t），使得對(duì)于t∈?一致成立。

A5：存在常數(shù)，使得對(duì)于任給的t∈?，有，其中，α1（t）、ci（t）分別由A1和A4決定。

1　幾個(gè)引理

考慮周期系統(tǒng)

假設(shè)B：設(shè)存在正的連續(xù)可微的T-周期函數(shù)di（t），i=1，2，…，n和連續(xù)的T-周期函數(shù)α2（t）滿(mǎn)足：

引理1［12］：設(shè)X（t）是方程（4）的基本解矩陣，若A（t）滿(mǎn)足假設(shè)B和A2，則有且方程（5）存在唯一的T-周期解

引理2［11］：設(shè)λ（t）是連續(xù)的T-周期函數(shù)，則對(duì)任意的t∈?有

引理3［2］：設(shè)C（t，s）是n×n連續(xù)函數(shù)矩陣且滿(mǎn)足條件A3，f（t）是?上的n維連續(xù)的T-周期函數(shù)，則也是連續(xù)的T-周期函數(shù)。

引理 4［11］：若 T-周期函數(shù)α2（t）滿(mǎn)足，則：

引理5：［12］（Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)S是實(shí)Banach空間X中有界凸閉集，F(xiàn)，I:S→X，滿(mǎn)足：

1）F:S→S全連續(xù)；

2）I:S→S是壓縮映像；

3）對(duì)任意的u，v∈S，有Fu+Iv∈S，則F+I在S中至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

2　主要結(jié)果

由定理?xiàng)l件及引理2、4易知h（t）是連續(xù)的T-周期函數(shù)。

設(shè)Xu（t）是方程（6）的基本解矩陣，故根據(jù)定理的條件及引理1知方程（7）有唯一的T-周期解：

今在CT中定義算子F、I和G如下：

易知F、I和G是CT上的自映射。

（Ⅰ）F:DN→DN全連續(xù)；

（Ⅱ）I:DN→DN是壓縮映像；

（Ⅲ）對(duì)任意的u，v∈DN，有Fu+Iv∈DN。

首先，證明（Ⅰ）。

1）證明存在自然數(shù)N，使得F:DN→DN。

以及充分大的自然數(shù)Nl+1，使得?，F(xiàn)在取M＞max｛N1，N2，…，Nl，Nl+1｝，則當(dāng)N＞M時(shí)，

同時(shí)成立。

于是，由定理?xiàng)l件及引理1和式（8）、（9）可得當(dāng)N＞M時(shí)，有：

因此，當(dāng)n充分大時(shí)，‖F(xiàn)u（t）‖＜n，即存在充分大的自然數(shù)N，使得F:DN→DN。

2）證明FDN是CT中的緊子集。事實(shí)上，因?yàn)镕DN?DN，所以｛Fu（t）|u∈DN｝是一致有界的。又

從而對(duì)任意的u∈DN有：

故｛Fu（t）|u∈DN｝是等度連續(xù)的，由Ascoli-Arezela定理可知FDN是CT中的緊子集。

3）證明F在DN上連續(xù)。對(duì)任意的u1，u2∈DN，因?yàn)間i（t，x）在［0，T］×RN上是一致連續(xù)的，且關(guān)于t是T-周期的，故gi（t，x）在?×RN上是一致連續(xù)的，從而對(duì)于任意的ε＞0，存在δi=δi（ε）＞0（i=1，2，…，l），使得當(dāng)‖u1-u2‖≤δi時(shí)，有

同樣，也存在δl+1＞0，使得當(dāng)時(shí)，有

另外，有：

現(xiàn)取

于是由定理?xiàng)l件可知對(duì)于任意的u1，u2∈DN，t∈?，只要，就有

綜合上面的證明可知F:DN→DN是全連續(xù)算子。

其次，證明（Ⅱ）。

因?yàn)閷?duì)于任意u∈DN，有

所以，I在DN上是壓縮映像的。

最后，證明（Ⅲ）。

由前面的證明可知對(duì)于任意的u，v∈DN，有‖F(xiàn)u‖≤N（1-q）和‖Iv‖≤Nq，從而可得

即，F(xiàn)u+Iv∈DN。

故根據(jù)引理5知F+I在DN上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)u0（t），從而有

就是方程（7）在u（t）=u0（t）時(shí)的周期解，這也說(shuō)明了方程（3）至少存在一個(gè)連續(xù)的T-周期解。

注1：與文獻(xiàn)［1］的結(jié)果相比，其條件（1）是本文中di（t）≡1，B（t，s）=Q（s-t）的特殊情況；其條件（2）中要求存在，本文中不需要這個(gè)條件。實(shí)際上，一般情況下這個(gè)條件不易滿(mǎn)足，例如簡(jiǎn)單情形A（t，x）=x就不滿(mǎn)足。

注2：文獻(xiàn)［10］中的定理2.2是本文中B（t，s）≡0時(shí)的特殊情況。

3　應(yīng)用舉例

考慮下列二維具有無(wú)窮時(shí)滯中立型泛函積分微分方程：

從而定理1的條件滿(mǎn)足，因而可知方程（10）至少有一個(gè)2π-周期解。

顯然，方程（10）的2π-周期解的存在性用已有文獻(xiàn)所提供的方法是無(wú)法判斷的。

［1］彭世國(guó)，朱思銘.具有無(wú)窮時(shí)滯泛函微分方程的周期解［J］.數(shù)學(xué)年刊，2002，23A（3）：371-380. PENG SHIGUO，ZHU SIMING.Periodic solutions of functional differential equations with infinite delay［J］. Chinese Annals Of Mathematics，2002，23A（3）：371-380.（in Chinese）

［2］王全義.具有無(wú)限時(shí)滯的積分微分方程解的存在性唯一性及穩(wěn)定性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，21（2）：312-318. WANG QUANYI.The existence，uniqueness and stability of solution on a integro-differential equation with infinite delay［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，1998，21（2）：312-318.（in Chinese）

［3］常嘯.一類(lèi)具無(wú)窮時(shí)滯中立型積分微分方程周期解［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（2）：62-64. CHANG XIAO.The periodic solutions for a class of neutral integro-differential equations with infinite delays［J］. College Mathematics，2007，23（2）：62-64.（in Chinese）

［4］陳鳳德.具無(wú)限時(shí)滯的非線性積分微分方程的周期解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，26（1）：141-148. CHEN FENGDE.Periodic solutions of nonlinear integrodifferential equations with infinite delay［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2003，26（1）：141-148.（in Chinese）

［5］江嬌，徐建華.具有無(wú)窮時(shí)滯中立型積分微分方程的周期解［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2008，28A（5）：897-905. JIANG JIAO，XU JIANHUA.Periodic solutions of neutral integro-differential equations with infinite delay［J］. Acta Mathematica Scientia，2008，28A（5）：897-905.（in Chinese）

［6］羅芳瓊.一類(lèi)具有無(wú)窮時(shí)滯的中立型泛函微分方程的周期解［J］.柳州師專(zhuān)學(xué)報(bào)，2010，25（1）：120-128. LUO FANGQIONG.Periodic solution for a class of neutral type functional differential equations with infinite delays［J］.Journal of Liuzhou Teachers College，2010，25（1）：120-128.（in Chinese）

［7］張洪彥，王奇，丁敏敏.一類(lèi)具有無(wú)窮時(shí)滯中立型泛函微分方程反周期解的存在性［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，30（1）：151-154. ZHANG HONGYAN，WANG QI，DING MINMIN.Existence of anti-periodic solution for a class of neutral functional differential equation with infinite delays［J］.Journal of Jiamusi University，2012，30（1）：151-154.（in Chinese）

［8］王曉，李志祥，張浩.具有無(wú)窮時(shí)滯中立型泛函積分微分方程周期解的存在性［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，19（4）：804-811. WANG XIAO，LI ZHIXIANG，ZHANG HAO.The existence of periodic solution on a neutral integro-differential equation with infinite delay［J］.Mathematica Applicata，2006，19（4）：804-811.（in Chinese）

［9］YANG XITAO.Existence and exponential stability of al-most periodic solution for hopfieldneural network equations with almost periodic imput［J］.Journal of Northeasten Mathematics，2006，22（2）：199-205.

［10］陳鳳德，孫德獻(xiàn)，史金麟.一類(lèi)積分微分方程周期解的存在性和唯一性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，47（5）：973-984. CHEN FENGDE，SUN DEXIAN，SHI JINLIN.On the existence and uniqueness of periodic solutions of a kind of integro-differential equations［J］.Acta Mathematica Sinica，2004，47（5）：973-984.（in Chinese）

［11］ZHOU ZONGFU，ZENG LI，JIA BAORUI.Periodic solutions for a class of neutral functional differential equations with distributed and discrete delays［J］.Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2012，27（4）：485-494.

［12］謝勝利.有阻尼的二階脈沖無(wú)窮時(shí)滯泛函微分方程解的存在性［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2015，35A（1）：97-109. XIE SHENGLI.Existence results of damped second order impulsive functional differential equations with infinite delay［J］.Acta Mathematica Scientia，2015，35A（1）：97-109.（in Chinese）

Periodic Solutions for a Class of Neutral Integro-differential Equations with Distributed and Discrete Delays

ZHOU Gang，LIUXiaolei，ZHAO Wenfei
（Department of Basic Science，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

Using the exponential dichotomy and Krasnoselskii’s fixed point theorem，the existence of periodic solutions for a class of integral- differential equations with distributed and discrete delayswere discussed.These results improves and extends the existing results，which was constructed by an example to illustrate the feasibility.

distributed delays；discrete delays；periodic solutions；exponential dichotomy；fixed point theorem

O175.13

A

1673-1522（2016）04-0495-06

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.016

2016-05-23；

2016-06-28

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（ZR2014AM006）

周剛（1975-），男，副教授，碩士。